2022年高三數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案

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1、2022年高三數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ①理解等差數(shù)列的概念； ②探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式； ③體會(huì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系；等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系； ④掌握等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)； 【自主學(xué)習(xí)】 一. 要點(diǎn)梳理 1、等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從 起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于 ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ，通常用字母 表示。 2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差是，則其通項(xiàng)公式為 ;掌握公式的推導(dǎo)方法

2、 3、等差中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)成 ，則叫做和的等差中項(xiàng)，且有= 4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式 = = （二次型）;掌握公式的推導(dǎo)方法 5、等差數(shù)列的判定方法 （1）定義法： 是等差數(shù)列 （2）等差中項(xiàng)： 是等差數(shù)列 （3）通項(xiàng)公式法： 是等差數(shù)列 （4）前項(xiàng)和法： 是等差數(shù)列 6

3、、等差數(shù)列的性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣： （2）若是等差數(shù)列，且，則 （3）若是等差數(shù)列 ，公差為，則也是等差數(shù)列，公差為 （4）若是等差數(shù)列 ，則組成公差為 的等差數(shù)列。 （5）若、是等差數(shù)列 ，則是 7、 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)和有關(guān)的性質(zhì) （1）若是等差數(shù)列，則也成 數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的 （2）分別是的前項(xiàng)，前項(xiàng)，前項(xiàng)的和， 成等差數(shù)列 ，公差為 （3）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有 ； ，

4、 （4若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有 ； ， ， （5）若、是等差數(shù)列 ，設(shè)其前項(xiàng)和分別為 ，則 （6）是等差數(shù)列①若有 值，何時(shí)取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)確定。 ② 若有 值，何時(shí)取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)確定。 （7）等差數(shù)列中，①若，則 等差數(shù)列中，②若，則 等差數(shù)列中，③若，則 8、常用的方法與技巧 （1）三數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：、 、

5、 ，為公差。 四數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：、 、 、 ，公差 。 （2）會(huì)用方程的思想處理等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式涉及五個(gè)量：，“知三求二”，同時(shí)還應(yīng)注意整體代換。 二、 基礎(chǔ)自測(cè) 1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 …… （ ） A、12 B、10 C、8 D、6 2、等差數(shù)列中，已知，則為……（ ） A、48 B、49 C、50 D、51 3、首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第十項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是……（ ）

6、 A、 B、 C、 D、 4、一個(gè)有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)和為34,最后5項(xiàng)和為146，所有項(xiàng)和為234，則它的第七項(xiàng)等于……（ ） A、22 B、21 C、 19 D、18 5、設(shè)等差數(shù)列、，其前項(xiàng)和分別為 ，若對(duì)任意的自然數(shù)都有，則的值為 【典例分析】 ★等差數(shù)列的基本運(yùn)算 例1、設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和且成等比數(shù)列。 （1）證明； （2）求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式。 例2、（xx安徽卷文）已知為等差數(shù)列，，則等于……（ ）

7、 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 例3、（四川文7）等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100,則n=（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 例4、(xx全國(guó)Ⅰ卷理)已知等差數(shù)列滿足，，則它的前10項(xiàng)的和（ ） A．138 B．135 C．95 D．23 ※練習(xí)： 1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知。 （1）求通項(xiàng)及前項(xiàng)和； （2）若，求。 2、在等差數(shù)列中，，則=……（ ） A、 24 B、 22 C、 20

8、 D、-8 3、一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前110項(xiàng)和為 4、（xx福建卷理）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 =6，=4， 則公差d等于……（ ）A． B C.- 2 D 3 5、（xx寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差列。若=1，則=……（ ） （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 6、xx寧夏海南卷理）等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m=_______ 7、(xx海南、寧夏文)已知{an}為等差數(shù)列，a3 + a8

9、= 22，a6 = 7，則a5 = _____ 8、已知等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若從數(shù)列中依次取出第2，4，8，……，，……項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，試求新的數(shù)列的前項(xiàng)和 9、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 ；一般地，若，則 10、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則等于……（ ） A、 120 B、 105 C、 90 D、75 10、下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”： 4 7 （ ） （ ） （ ） …… …… 7 12

10、（ ） （ ） （ ） …… …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …… …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列的數(shù)。 （1）寫(xiě)出的值； （2）寫(xiě)出的計(jì)算公式，以及xx這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置。 11、已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線上，且， （1）求數(shù)

11、列的通項(xiàng)公式 （2）數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ★等差數(shù)列的判定 例5、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足。 （1）求證：是等差數(shù)列； （2） 求的表達(dá)式。 ※練習(xí)： 1、已知數(shù)列滿足，令，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列。 2、數(shù)列滿足，又，則使得為等差數(shù)列的實(shí)數(shù) 3、設(shè)實(shí)數(shù)，且函數(shù)有最小值，若數(shù)列的前項(xiàng)和，令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 ★等差數(shù)列的性質(zhì) 例6、（1）

12、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知前6項(xiàng)和為36,，最后6項(xiàng)和為180，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)及； （2）等差數(shù)列、設(shè)其前項(xiàng)和分別為 ，且，求的值。 （3）若，則 ； （4）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，求數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)。 ※練習(xí)： 1、等差數(shù)列中，，則 2、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為為377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且前項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為:6，則中間項(xiàng)為 3、等差數(shù)列中，已知，則= 4、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知

13、，則等于……（ ） A、13 B、35 C、 49 D、63 5、在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，則……（ ） A、-2 B、 0 C、 1 D、2 6、如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則……（ ） A、 B、 C、 D、 7、等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和為216，偶數(shù)項(xiàng)和為192，首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末和通項(xiàng)公式。 8、等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，，則的值為 9、 等差數(shù)列的公差為2，若，則的值為 10、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于……（ ）

14、 A、 B、 C、 D、 11、 已知兩個(gè)等差數(shù)列、，其前項(xiàng)和分別為 ，且，則使得 為正整數(shù)的個(gè)數(shù)是……（ ）。 A、 2 B、 3 C、4 D、5 ★等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題 例7、在等差數(shù)列中，已知，前項(xiàng)和為，且，求當(dāng)取何值時(shí)， 取得最大值，并求出它的最大值。 ※練習(xí)： 1、已知數(shù)列， （1）求證：是等差數(shù)列； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和為的最小值。 2、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為已知。 （1）求公差的取值范圍； （2）中哪一個(gè)值最大？并說(shuō)明理由。 3、在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則在， ，……，中最大的是……（ ） A、 B、 C、 D、 4、在等差數(shù)列中，，且，若的前項(xiàng)和為，則的最大值是……（ ） A、17 B、 18 C、 19 D、20 5、(xx四川理)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為_(kāi)__________。 6、已知是一個(gè)等差數(shù)列，且。 （1）求的通項(xiàng)公式 （2）求的前項(xiàng)和為的最大值