《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二單元 圓錐曲線與方程1橢圓的定義在解題中的妙用橢圓定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)有些問(wèn)題，如果恰當(dāng)運(yùn)用定義來(lái)解決，可以起到事半功倍的效果，下面通過(guò)幾個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明1求最值例1線段|AB|4，|PA|PB|6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM的長(zhǎng)度的最小值是()A2 B. C. D5解析由于|PA|PB|64|AB|，故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn)，A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且a3，c2，b.于是PM的長(zhǎng)度的最小值是b.答案C2求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)例2橢圓1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P，由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a1
2、0，所以|PF1|PF2|2225，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時(shí)取等號(hào)由解得|PF1|PF2|5a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)答案(3,0)點(diǎn)評(píng)由橢圓的定義可得“|PF1|PF2|10”，即兩個(gè)正數(shù)|PF1|，|PF2|的和為定值，結(jié)合均值不等式可求|PF1|，|PF2|積的最大值，結(jié)合圖形可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo)3求焦點(diǎn)三角形面積例3如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面積解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 12
3、0，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.將代入，得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面積是.點(diǎn)評(píng)在PF1F2中，由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程組，消去|PF2|可求|PF1|.從以上問(wèn)題，我們不難發(fā)現(xiàn)，凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問(wèn)題，我們應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解2如何求橢圓的離心率1由橢圓的定義求離心率例1以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于4個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為_(kāi)解析如圖所示，設(shè)
4、橢圓的方程為1 (ab0)，半焦距為c，由題意知F1AF290，AF2F160.|AF2|c，|AF1|2csin 60c.|AF1|AF2|2a(1)c.e1.答案1點(diǎn)評(píng)本題利用了圓及正六邊形的幾何性質(zhì)，并結(jié)合橢圓的定義，化難為易，使問(wèn)題簡(jiǎn)單解決2解方程(組)求離心率例2橢圓1 (ab0)的左焦點(diǎn)為F1(c,0)，A(a，0)、B(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F1到直線AB的距離為，則橢圓的離心率e_.解析如圖所示，直線AB的方程為1，即bxayab0.點(diǎn)F1(c,0)到直線AB的距離為，|ac|，即7a214ac7c2a2b2.又b2a2c2，整理，得5a214ac8c20.兩邊同除以a2并由
5、e知，8e214e50，解得e或e(舍去)答案3利用數(shù)形結(jié)合求離心率例3在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1(ab0)的焦距為2，圓O的半徑為a，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，且這兩條切線互相垂直，則離心率e_.解析如圖所示，切線PA、PB互相垂直，PAPB.又OAPA，OBPB，OAOB，則四邊形OAPB是正方形，故OPOA，即a，e.答案4綜合類例4設(shè)M為橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，如果MF1F275，MF2F115，求橢圓的離心率解由正弦定理得，e.點(diǎn)評(píng)此題可推廣為若MF1F2，MF2F1，則橢圓的離心率e.3活用雙曲線定義妙解題在解雙曲線中的有關(guān)求離心率、最值等問(wèn)題時(shí)，若能靈活應(yīng)用雙曲
6、線的定義，能把大題化為小題，起到事半功倍的作用下面舉例說(shuō)明1求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)例1過(guò)雙曲線1左焦點(diǎn)F1的直線與左支交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB長(zhǎng)為6，則ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長(zhǎng)是_解析由雙曲線的定義知|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8，兩式相加得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)|AF2|BF2|AB|16，從而有|AF2|BF2|16622，所以ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|BF2|AB|22628.答案28點(diǎn)評(píng)與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形周長(zhǎng)問(wèn)題，常借助雙曲線的定義解決，注意解決問(wèn)題時(shí)的拼湊技巧2最值問(wèn)題例2已知F是雙曲線y21的右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(4,2)，求|PM
7、|PF|的最小值解設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，則F(2,0)，由雙曲線的定義知：|PF|PF|2a2，所以|PF|PF|2，所以|PM|PF|PM|PF|2，要使|PM|PF|取得最小值，只需|PM|PF|取得最小值，由圖可知，當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|PF|最小，此時(shí)|MF|2，故|PM|PF|的最小值為22.點(diǎn)評(píng)本題利用雙曲線的定義對(duì)F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再根據(jù)共線易求得最小值另外同學(xué)們不妨思考一下：若將M坐標(biāo)改為M(1,1)，其他條件不變，如何求解呢？若P是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，如何求解呢？3求離心率范圍例3已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|
8、PF1|4|PF2|，試求雙曲線離心率的取值范圍解因?yàn)閨PF1|4|PF2|，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以設(shè)|PF2|m，則|PF1|4m，由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|4mm2a，所以ma.又|PF1|PF2|F1F2|，即4mm2c，所以mc，即ac，所以e.又e1，所以雙曲線離心率的取值范圍為1b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0.直線ON的方向向量為，a，.a23b2，橢圓方程為x23y23b2，又直線方程為yxc.聯(lián)立得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又設(shè)M(x，y)，則由，得代入橢圓方程整
9、理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22為定值例2已知拋物線y22px (p0)上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M(x0，y0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列求證：線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x0p,0)證明設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由拋物線定義，知|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0.因?yàn)閨AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列，所以2|MF|AF|BF|，即x0.設(shè)AB的中點(diǎn)為(x0，t)，t.則kAB.所以線段AB的
10、垂直平分線方程為yt(xx0)，即tx(x0p)py0.所以線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)(x0p,0)2最值問(wèn)題解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_(kāi)解析設(shè)右焦點(diǎn)為F，由題意可知F坐標(biāo)為(4,0)，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|PF|4，|PF|PA|
11、4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P、F、A三點(diǎn)共線，最小值即4|FA|4459.答案9點(diǎn)評(píng)“化曲為直”法求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問(wèn)題常用此法例4已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求的最小值解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡(jiǎn)得y22x2|x|.當(dāng)x0時(shí)，y24x；當(dāng)x0
12、時(shí)，y0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x (x0)和y0 (x0)，則圓的方程可設(shè)為(xp)2(yp)28，由于O(0,0)在圓上，p2p28，解得p2，圓C的方程為(x2)2(y2)28.(2)橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10，由橢圓的定義知2a10，a5，橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)使|QF|OF|，則有且m2n20，解得故圓C上存在滿足條件的點(diǎn)Q.3直線存在型問(wèn)題例3試問(wèn)是否能找到一條斜率為k (k0)的直線l與橢圓y21交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且使M，N到點(diǎn)A(0，1)的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析假
13、設(shè)滿足條件的直線l存在，由平面解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解解設(shè)直線l：ykxm為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只要APMN即可由得(13k2)x26mkx3m230.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則xP，yPkxPm，kAP.APMN， (k0)，故m.由36m2k24(13k2)(3m23)9(13k2)(1k2)0，得1k|F1F2|，亦即2a2c.而本題中|MF1|MF2|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.正解因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.答案D3忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤例3設(shè)拋物線ymx2 (m
14、0)的準(zhǔn)線與直線y1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線方程為y.又與直線y1的距離為3的直線為y2或y4.故2或4.m8或m16.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y8x2或y16x2.錯(cuò)因分析錯(cuò)解忽視了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)，應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征，故本題應(yīng)先化為x2y的形式，再求解.正解由于ymx2 (m0)可化為x2y，其準(zhǔn)線方程為y.由題意知2或4，解得m或m.則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y或x216y.4涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，忽視判別式0這一隱含條件而致誤例4正方形ABCD的A，B兩點(diǎn)在拋物線yx2上，另兩點(diǎn)C，D在直線yx4上，求正方形的邊長(zhǎng)錯(cuò)解AB與直線yx4平行，
15、設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，|AB|3或|AB|5.錯(cuò)因分析在考慮直線AB與拋物線相交時(shí)，必須有方程x2xb0的判別式0，以此來(lái)限制b的取舍.正解AB與直線yx4平行，設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，14b0，b.b2或b6都滿足0，b2或b6
16、.|AB|3或|AB|5.7圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用1方程思想方程思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或解方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決本章中，方程思想的應(yīng)用最為廣泛例1已知直線yx2和橢圓1 (ab0)相交于A，B兩點(diǎn)，且a2b，若|AB|2，求橢圓的方程解由消去y并整理得x24x82b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x24，x1x282b2.|AB|2， 2，即2，解得b24，故a24b216.所求橢圓的方程為1.2函數(shù)思想很多與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，都
17、是相互聯(lián)系、相互制約的，它們之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系這類問(wèn)題若用函數(shù)思想來(lái)分析、尋找解題思路，會(huì)有很好的效果一些最值問(wèn)題常用函數(shù)思想，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長(zhǎng)問(wèn)題，是經(jīng)常使用的方法例2若點(diǎn)(x，y)在1 (b0)上運(yùn)動(dòng)，求x22y的最大值解1 (b0)，x240，即byb.x22y42y2y424.當(dāng)b，即0b，即b4時(shí)，若yb，則x22y取得最大值，其最大值為2b.綜上所述，x22y的最大值為3轉(zhuǎn)化和化歸思想在解決圓錐曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化題中的已知條件和所求，真正化歸為直線和圓錐曲線的基本問(wèn)題這里的轉(zhuǎn)化和化歸非常關(guān)鍵，沒(méi)有轉(zhuǎn)化和化歸，就很難找到解決問(wèn)題的途徑和方法例
18、3如圖所示，已知橢圓1，直線l：x12，P是l上任意一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在線段OP上，且滿足|OQ|OP|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程解設(shè)P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，POx.|OR|2|OQ|OP|，2.由題意知xR0，x0，xx12.又O，Q，R三點(diǎn)共線，kOQkOR，即.由得y.點(diǎn)R(xR，yR)在橢圓1上，1.由得2(x1)23y22 (x0)，點(diǎn)Q的軌跡方程是2(x1)23y22 (x0)4分類討論思想本章中，涉及的字母參數(shù)較多，同時(shí)圓錐曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以必須要注意分類討論例4求與雙曲線y21有共同的漸近線
19、且焦距為10的雙曲線的方程分析由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為y2 (0)，將分為0，0時(shí)，c24525，即5，所求雙曲線的方程為1.當(dāng)0時(shí)，c2(4)()525，即5，所求雙曲線的方程為1.綜上所述，所求雙曲線的方程為1或1.5數(shù)形結(jié)合思想利用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決某些最值、軌跡、參數(shù)范圍等問(wèn)題例5在ABC中，BC邊固定，頂點(diǎn)A在移動(dòng)，設(shè)|BC|m，當(dāng)三個(gè)角滿足條件|sin Csin B|sin A|時(shí)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：則B，C.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x，y)，由題設(shè)，得|sin Csin B|sin A|.根據(jù)正弦定理，得|AB|AC|m.可知點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線上這里2am，a.又cm，b2c2a2m2.故所求點(diǎn)A的軌跡方程為1(y0)16
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