2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1

第二單元 圓錐曲線與方程1橢圓的定義在解題中的妙用橢圓定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)有些問題，如果恰當(dāng)運(yùn)用定義來解決，可以起到事半功倍的效果，下面通過幾個(gè)例子進(jìn)行說明1求最值例1線段|AB|4，|PA|PB|6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM的長度的最小值是()A2 B. C. D5解析由于|PA|PB|6>4|AB|，故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn)，A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且a3，c2，b.于是PM的長度的最小值是b.答案C2求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)例2橢圓1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P，由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a10，所以|PF1|·|PF2|2225，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時(shí)取等號(hào)由解得|PF1|PF2|5a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(±3,0)答案(±3,0)點(diǎn)評(píng)由橢圓的定義可得“|PF1|PF2|10”，即兩個(gè)正數(shù)|PF1|，|PF2|的和為定值，結(jié)合均值不等式可求|PF1|，|PF2|積的最大值，結(jié)合圖形可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo)3求焦點(diǎn)三角形面積例3如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)P在第二象限，且PF1F2120°，求PF1F2的面積解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.將代入，得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120°××2×，即PF1F2的面積是.點(diǎn)評(píng)在PF1F2中，由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程組，消去|PF2|可求|PF1|.從以上問題，我們不難發(fā)現(xiàn)，凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問題，我們應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解2如何求橢圓的離心率1由橢圓的定義求離心率例1以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于4個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為_解析如圖所示，設(shè)橢圓的方程為1 (a>b>0)，半焦距為c，由題意知F1AF290°，AF2F160°.|AF2|c，|AF1|2c·sin 60°c.|AF1|AF2|2a(1)c.e1.答案1點(diǎn)評(píng)本題利用了圓及正六邊形的幾何性質(zhì)，并結(jié)合橢圓的定義，化難為易，使問題簡(jiǎn)單解決2解方程(組)求離心率例2橢圓1 (a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(c,0)，A(a，0)、B(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F1到直線AB的距離為，則橢圓的離心率e_.解析如圖所示，直線AB的方程為1，即bxayab0.點(diǎn)F1(c,0)到直線AB的距離為，|ac|，即7a214ac7c2a2b2.又b2a2c2，整理，得5a214ac8c20.兩邊同除以a2并由e知，8e214e50，解得e或e(舍去)答案3利用數(shù)形結(jié)合求離心率例3在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1(a>b>0)的焦距為2，圓O的半徑為a，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，且這兩條切線互相垂直，則離心率e_.解析如圖所示，切線PA、PB互相垂直，PAPB.又OAPA，OBPB，OAOB，則四邊形OAPB是正方形，故OPOA，即a，e.答案4綜合類例4設(shè)M為橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，如果MF1F275°，MF2F115°，求橢圓的離心率解由正弦定理得，e.點(diǎn)評(píng)此題可推廣為若MF1F2，MF2F1，則橢圓的離心率e.3活用雙曲線定義妙解題在解雙曲線中的有關(guān)求離心率、最值等問題時(shí)，若能靈活應(yīng)用雙曲線的定義，能把大題化為小題，起到事半功倍的作用下面舉例說明1求焦點(diǎn)三角形的周長例1過雙曲線1左焦點(diǎn)F1的直線與左支交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB長為6，則ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長是_解析由雙曲線的定義知|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8，兩式相加得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)|AF2|BF2|AB|16，從而有|AF2|BF2|16622，所以ABF2的周長為|AF2|BF2|AB|22628.答案28點(diǎn)評(píng)與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形周長問題，常借助雙曲線的定義解決，注意解決問題時(shí)的拼湊技巧2最值問題例2已知F是雙曲線y21的右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(4,2)，求|PM|PF|的最小值解設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，則F(2,0)，由雙曲線的定義知：|PF|PF|2a2，所以|PF|PF|2，所以|PM|PF|PM|PF|2，要使|PM|PF|取得最小值，只需|PM|PF|取得最小值，由圖可知，當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|PF|最小，此時(shí)|MF|2，故|PM|PF|的最小值為22.點(diǎn)評(píng)本題利用雙曲線的定義對(duì)F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再根據(jù)共線易求得最小值另外同學(xué)們不妨思考一下：若將M坐標(biāo)改為M(1,1)，其他條件不變，如何求解呢？若P是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，如何求解呢？3求離心率范圍例3已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，試求雙曲線離心率的取值范圍解因?yàn)閨PF1|4|PF2|，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以設(shè)|PF2|m，則|PF1|4m，由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|4mm2a，所以ma.又|PF1|PF2|F1F2|，即4mm2c，所以mc，即ac，所以e.又e>1，所以雙曲線離心率的取值范圍為1<e.點(diǎn)評(píng)本題利用雙曲線的定義及三角形的兩邊之和與第三邊之間的關(guān)系建立了關(guān)于雙曲線基本量a，c的不等關(guān)系，使問題得以巧妙地轉(zhuǎn)化、獲解4解析幾何中的定值與最值問題的解法1定點(diǎn)、定值問題對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口例1已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與a(3，1)共線設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 (，R)，求證：22為定值證明M是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，則，此時(shí)1，0，221，現(xiàn)在需要證明22為定值1.設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0.直線ON的方向向量為，a，.a23b2，橢圓方程為x23y23b2，又直線方程為yxc.聯(lián)立得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又設(shè)M(x，y)，則由，得代入橢圓方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22為定值例2已知拋物線y22px (p>0)上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M(x0，y0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列求證：線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)(x0p,0)證明設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由拋物線定義，知|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0.因?yàn)閨AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列，所以2|MF|AF|BF|，即x0.設(shè)AB的中點(diǎn)為(x0，t)，t.則kAB.所以線段AB的垂直平分線方程為yt(xx0)，即tx(x0p)py0.所以線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)(x0p,0)2最值問題解決圓錐曲線中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_解析設(shè)右焦點(diǎn)為F，由題意可知F坐標(biāo)為(4,0)，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|PF|4，|PF|PA|4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P、F、A三點(diǎn)共線，最小值即4|FA|4459.答案9點(diǎn)評(píng)“化曲為直”法求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問題常用此法例4已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求·的最小值解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡(jiǎn)得y22x2|x|.當(dāng)x0時(shí)，y24x；當(dāng)x<0時(shí)，y0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x (x0)和y0 (x<0)(2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x22，x1x21.因?yàn)閘1l2，所以l2的斜率為.設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3x424k2，x3x41.故·()·()····|·|·|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111(24k2)18484×216.當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時(shí)，·取得最小值16.5圓錐曲線中存在探索型問題的求解方法存在探索型問題作為探索性問題之一，具備了內(nèi)容涉及面廣、重點(diǎn)題型豐富等命題要求，方便考查分析、比較、猜測(cè)、歸納等綜合能力，因而受到命題人的喜愛圓錐曲線存在探索型問題是指在給定題設(shè)條件下是否存在某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、性質(zhì)、圖形)使某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的數(shù)學(xué)問題本文僅就圓錐曲線中的存在探索型問題展開，幫助復(fù)習(xí)1常數(shù)存在型問題例1直線yax1與雙曲線3x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線y2x對(duì)稱？請(qǐng)說明理由分析先假設(shè)實(shí)數(shù)a存在，然后根據(jù)推理或計(jì)算求出滿足題意的結(jié)果，或得到與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，從而否定假設(shè)，得出某數(shù)學(xué)對(duì)象不存在的結(jié)論解設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線l：y2x對(duì)稱，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為.依題設(shè)有2·，即y1y22(x1x2)，又A，B在直線yax1上，y1ax11，y2ax21，y1y2a(x1x2)2，由，得2(x1x2)a(x1x2)2，即(2a)(x1x2)2，聯(lián)立得(3a2)x22ax20，x1x2，把代入，得(2a)·2，解之得a，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，kAB，而kl2，kAB·kl×231.故不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a.2點(diǎn)存在型問題例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓與直線yx相切于原點(diǎn)O，橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由分析假設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q存在，根據(jù)其滿足的幾何性質(zhì)，求出Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q存在，若求不出Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q就不存在解(1)由題意知圓心在yx上，設(shè)圓心的坐標(biāo)是(p，p) (p>0)，則圓的方程可設(shè)為(xp)2(yp)28，由于O(0,0)在圓上，p2p28，解得p2，圓C的方程為(x2)2(y2)28.(2)橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10，由橢圓的定義知2a10，a5，橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)使|QF|OF|，則有且m2n20，解得故圓C上存在滿足條件的點(diǎn)Q.3直線存在型問題例3試問是否能找到一條斜率為k (k0)的直線l與橢圓y21交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且使M，N到點(diǎn)A(0，1)的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由分析假設(shè)滿足條件的直線l存在，由平面解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解解設(shè)直線l：ykxm為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只要APMN即可由得(13k2)x26mkx3m230.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則xP，yPkxPm，kAP.APMN， (k0)，故m.由36m2k24(13k2)(3m23)9(13k2)·(1k2)>0，得1<k<1，且k0.故當(dāng)k(1,0)(0,1)時(shí)，存在滿足條件的直線l.6圓錐曲線中的易錯(cuò)點(diǎn)剖析1求軌跡方程時(shí)，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)法不當(dāng)而致誤例1長為a的線段AB，兩端點(diǎn)分別在兩坐標(biāo)軸上移動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程錯(cuò)解如圖所示，設(shè)A(0，y)，B(x,0)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P點(diǎn)坐標(biāo)為，連接OP，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)有|OP|AB|a.故222，即所求的軌跡方程為x2y2a2.錯(cuò)因分析求軌跡方程，即求軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，并檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都是軌跡上的點(diǎn)，因此，應(yīng)設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y).上述解法是因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)的不對(duì)，即運(yùn)用方法不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解設(shè)中點(diǎn)P(x，y)，A(0，m)，B(n,0)，則m2n2a2，x，y，于是所求軌跡方程為x2y2a2.2忽視定義中的條件而致誤例2平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0,4)的距離之和為8，則點(diǎn)M的軌跡為()A橢圓 B圓C直線 D線段錯(cuò)解根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡為橢圓，故選A.錯(cuò)因分析在橢圓的定義中，點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和必須大于兩定點(diǎn)的距離，即|MF1|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本題中|MF1|MF2|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.正解因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.答案D3忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤例3設(shè)拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線與直線y1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線方程為y.又與直線y1的距離為3的直線為y2或y4.故2或4.m8或m16.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y8x2或y16x2.錯(cuò)因分析錯(cuò)解忽視了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)，應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征，故本題應(yīng)先化為x2y的形式，再求解.正解由于ymx2 (m0)可化為x2y，其準(zhǔn)線方程為y.由題意知2或4，解得m或m.則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y或x216y.4涉及弦長問題時(shí)，忽視判別式>0這一隱含條件而致誤例4正方形ABCD的A，B兩點(diǎn)在拋物線yx2上，另兩點(diǎn)C，D在直線yx4上，求正方形的邊長錯(cuò)解AB與直線yx4平行，設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，|AB|3或|AB|5.錯(cuò)因分析在考慮直線AB與拋物線相交時(shí)，必須有方程x2xb0的判別式>0，以此來限制b的取舍.正解AB與直線yx4平行，設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，14b>0，b>.b2或b6都滿足>0，b2或b6.|AB|3或|AB|5.7圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用1方程思想方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或解方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決本章中，方程思想的應(yīng)用最為廣泛例1已知直線yx2和橢圓1 (a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且a2b，若|AB|2，求橢圓的方程解由消去y并整理得x24x82b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x24，x1x282b2.|AB|2， ·2，即·2，解得b24，故a24b216.所求橢圓的方程為1.2函數(shù)思想很多與圓錐曲線有關(guān)的問題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，都是相互聯(lián)系、相互制約的，它們之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系這類問題若用函數(shù)思想來分析、尋找解題思路，會(huì)有很好的效果一些最值問題常用函數(shù)思想，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長問題，是經(jīng)常使用的方法例2若點(diǎn)(x，y)在1 (b>0)上運(yùn)動(dòng)，求x22y的最大值解1 (b>0)，x240，即byb.x22y42y2y424.當(dāng)b，即0<b4時(shí)，若y，則x22y取得最大值，其最大值為4；當(dāng)>b，即b>4時(shí)，若yb，則x22y取得最大值，其最大值為2b.綜上所述，x22y的最大值為3轉(zhuǎn)化和化歸思想在解決圓錐曲線的綜合問題時(shí)，經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化題中的已知條件和所求，真正化歸為直線和圓錐曲線的基本問題這里的轉(zhuǎn)化和化歸非常關(guān)鍵，沒有轉(zhuǎn)化和化歸，就很難找到解決問題的途徑和方法例3如圖所示，已知橢圓1，直線l：x12，P是l上任意一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在線段OP上，且滿足|OQ|·|OP|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程解設(shè)P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，POx.|OR|2|OQ|·|OP|，2·.由題意知xR>0，x>0，xx·12.又O，Q，R三點(diǎn)共線，kOQkOR，即.由得y.點(diǎn)R(xR，yR)在橢圓1上，1.由得2(x1)23y22 (x>0)，點(diǎn)Q的軌跡方程是2(x1)23y22 (x>0)4分類討論思想本章中，涉及的字母參數(shù)較多，同時(shí)圓錐曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以必須要注意分類討論例4求與雙曲線y21有共同的漸近線且焦距為10的雙曲線的方程分析由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為y2 (0)，將分為>0，<0兩種情況進(jìn)行討論解由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為y2 (0)，即1 (0)當(dāng)>0時(shí)，c24525，即5，所求雙曲線的方程為1.當(dāng)<0時(shí)，c2(4)()525，即5，所求雙曲線的方程為1.綜上所述，所求雙曲線的方程為1或1.5數(shù)形結(jié)合思想利用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決某些最值、軌跡、參數(shù)范圍等問題例5在ABC中，BC邊固定，頂點(diǎn)A在移動(dòng)，設(shè)|BC|m，當(dāng)三個(gè)角滿足條件|sin Csin B|sin A|時(shí)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：則B，C.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x，y)，由題設(shè)，得|sin Csin B|sin A|.根據(jù)正弦定理，得|AB|AC|m.可知點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線上這里2am，a.又cm，b2c2a2m2.故所求點(diǎn)A的軌跡方程為1(y0)16