2017-2018版高中數(shù)學 第三單元 導數(shù)及其應用 習題課 導數(shù)的應用教學案 新人教B版選修1-1

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1、第三單元 導數(shù)及其應用學習目標1.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導數(shù)的關系.3.掌握函數(shù)的單調性、極值與最值的綜合應用知識點一函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系定義在區(qū)間(a，b)內的函數(shù)yf(x)f(x)的正負f(x)的單調性f(x)0單調遞_f(x)0單調遞_知識點二求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當f(x0)0時，(1)如果在x0附近的左側_，右側_，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側_，右側_，那么f(x0)是極小值知識點三函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的求法1求函數(shù)yf(x)在(a，b)內的極值2將函數(shù)yf(x)的_與端點處的函數(shù)值

2、_比較，其中_的一個是最大值，_的一個是最小值類型一函數(shù)與其導函數(shù)之間的關系例1已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則yf(x)的圖象大致是()反思與感悟研究一個函數(shù)的圖象與其導函數(shù)圖象之間的關系時，注意抓住各自的關鍵要素，對于原函數(shù)，要重點考查其圖象在哪個區(qū)間內單調遞增，在哪個區(qū)間內單調遞減；而對于導函數(shù)，則應考察其函數(shù)值在哪個區(qū)間內大于零，在哪個區(qū)間內小于零，并考察這些區(qū)間與原函數(shù)的單調區(qū)間是否一致跟蹤訓練1設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()類型二構造函數(shù)求解命題角度1比較

3、函數(shù)值的大小例2已知定義域為R的奇函數(shù)yf(x)的導函數(shù)為yf(x)，當x0時，f(x)0，若af()，bf()，c(ln )f(ln )，則a，b，c的大小關系正確的是()Aacb BbcaCabc Dcaf(x)若a，b，則a與b的大小關系為_(用“”連接)命題角度2求解不等式例3定義域為R的可導函數(shù)yf(x)的導函數(shù)f(x)滿足f(x)2ex的解集為()A(，0) B(，2)C(0，) D(2，)反思與感悟根據(jù)所求結論與已知條件，構造函數(shù)g(x)，通過導函數(shù)判斷g(x)的單調性，利用單調性得到x的取值范圍跟蹤訓練3函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，f(x)2，則f(x)2

4、x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)命題角度3利用導數(shù)證明不等式例4已知x1，證明不等式x1ln x.反思與感悟利用函數(shù)的最值證明不等式的基本步驟(1)將不等式構造成f(x)0(或0時，22x2ex.類型三利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例5已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,0)，且在點P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結論下，關于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍反思與感悟(1)求極值時一般需確定f(x)0的點和單調性，對

5、于常見連續(xù)函數(shù)，先確定單調性即可得極值點，當連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時，相應的極值點必為函數(shù)的最值點(2)求閉區(qū)間上可導函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得跟蹤訓練5已知函數(shù)f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的圖象關于原點成中心對稱(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調區(qū)間及極值；(3)當x1,5時，求函數(shù)的最值1已知函數(shù)f(x)x3bx2cx的圖象如圖所示，則xx等于()A. B. C. D.2設f(x)、g(x)是定義在R上的恒大于0的可導函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，則當axf(b)g(b)Bf(x)g(a

6、)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)3若函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，則函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為_4函數(shù)f(x)x33x1，若對于區(qū)間3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，則實數(shù)t的最小值是_5已知x0，求證：xsin x.導數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調性、極值與最值等問題，都可以通過導數(shù)得以解決不但如此，利用導數(shù)研究得到函數(shù)的性質后，還可以進一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題，所以一定要熟練掌握利用導數(shù)來研究函數(shù)的各種方法答案精析知識梳理知識點一增減知識點

7、二(1)f(x)0f(x)0(2)f(x)0知識點三2極值f(a)，f(b)最大最小題型探究例1C當0x1時，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上為減函數(shù)，排除A、B選項當1x0，f(x)0，故yf(x)在(1,2)上為增函數(shù)，因此排除D.跟蹤訓練1A函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，當x2時，f(x)0；當x2時，f(x)0；當x2時，f(x)0.當2x0時，xf(x)0；當x2時，xf(x)0；當x0.由此觀察四個選項，故選A.例2B令g(x)xf(x)，則g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函數(shù)g(x)f(x)xf(x

8、)，f(x)0時，xf(x)f(x)0，當x0.g(x)在(0，)上是減函數(shù)ln 21，g()g(ln 2)g()又g(x)是偶函數(shù)，g()g()，g(ln )g(ln 2)，g()g(ln )b解析設g(x)，則當x0時，g(x)g(3)，即，所以ab.例3C設g(x)，則g(x).f(x)0，即函數(shù)g(x)單調遞增f(0)2，g(0)2，則不等式等價于g(x)g(0)函數(shù)g(x)單調遞增，x0，不等式的解集為(0，)，故選C.跟蹤訓練3B令g(x)f(x)2x4，f(x)2，則g(x)f(x)20.又由g(1)f(1)2(1)40，得g(x)0，即g(x)g(1)的解為x1，f(x)2x4

9、的解集為(1，)例4證明設f(x)x1ln x，x(1，)，則f(x)1，因為x(1，)，所以f(x)0，即函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)，又x1，所以f(x)f(1)11ln 10，即x1ln x0，所以x1ln x.跟蹤訓練4證明設f(x)22x2ex，則f(x)22ex2(1ex)當x0時，exe01，f(x)2(1ex)0.函數(shù)f(x)22x2ex在(0，)上是減函數(shù)f(x)0時，22x2ex0，22x2ex.例5解(1)因為f(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x2

10、2.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.當0t2時，在區(qū)間0，t上，f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當2t3時，當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個因為f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，則g(x)3x26x3x(x2)當x1,2)時，g(x)0.要使g(

11、x)0在1,3上恰有兩個相異的實根，則即解得2c0.即實數(shù)c的取值范圍為(2,0跟蹤訓練5解(1)函數(shù)f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的單調遞減區(qū)間為(4,4)，單調遞增區(qū)間為(，4)和(4，)，f(x)極大值f(4)128，f(x)極小值f(4)128.(3)由(2)知，函數(shù)在1,4上單調遞

12、減，在4,5上單調遞增，對f(4)128，f(1)47，f(5)115，當x1,5時，函數(shù)的最大值為47，最小值為128.當堂訓練1C由題意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函數(shù)的解析式為f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.令3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x242.2C由條件，得0.在(a，b)上是減函數(shù)，f(b)g(x)35解析函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，f(x)(x2c)(x2)2x.f(2)0，c40，c4，f(x)(x24)(x2)2x，函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為f(1)(14)(12)25.420解析由f(x)3x230，得x1，則f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由題意知，|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin20.5證明設f(x)xsin x(x0)，則f(x)1cos x0對x(0，)恒成立，函數(shù)f(x)xsin x在(0，)上單調遞增，又f(0)0，f(x)0對x(0，)恒成立，xsin x(x0)10