2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)案 新人教B版選修1-1

第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.3.掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用知識點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)f(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞_f(x)<0單調(diào)遞_知識點(diǎn)二求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時(shí)，(1)如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么f(x0)是極小值知識點(diǎn)三函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的求法1求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值2將函數(shù)yf(x)的_與端點(diǎn)處的函數(shù)值_比較，其中_的一個(gè)是最大值，_的一個(gè)是最小值類型一函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系例1已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則yf(x)的圖象大致是()反思與感悟研究一個(gè)函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí)，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對于原函數(shù)，要重點(diǎn)考查其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)考察其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，并考察這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()類型二構(gòu)造函數(shù)求解命題角度1比較函數(shù)值的大小例2已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)<0，若af()，bf()，c(ln )f(ln )，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()Aa<c<b Bb<c<aCa<b<c Dc<a<b反思與感悟本例中根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)xf(x)，通過g(x)確定g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)值的大小，此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)在定義域0，)上恒有f(x)>f(x)若a，b，則a與b的大小關(guān)系為_(用“>”連接)命題角度2求解不等式例3定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)<f(x)，且f(0)2，則不等式f(x)>2ex的解集為()A(，0) B(，2)C(0，) D(2，)反思與感悟根據(jù)所求結(jié)論與已知條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)，通過導(dǎo)函數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到x的取值范圍跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對任意xR，f(x)>2，則f(x)>2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)命題角度3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例4已知x>1，證明不等式x1>ln x.反思與感悟利用函數(shù)的最值證明不等式的基本步驟(1)將不等式構(gòu)造成f(x)>0(或<0)的形式(2)利用導(dǎo)數(shù)將函數(shù)yf(x)在所給區(qū)間上的最小值(或最大值)求出(3)證明函數(shù)yf(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可證得原不等式成立跟蹤訓(xùn)練4證明：當(dāng)x>0時(shí)，22x<2ex.類型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例5已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍反思與感悟(1)求極值時(shí)一般需確定f(x)0的點(diǎn)和單調(diào)性，對于常見連續(xù)函數(shù)，先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn)，當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn)(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得跟蹤訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(3)當(dāng)x1,5時(shí)，求函數(shù)的最值1已知函數(shù)f(x)x3bx2cx的圖象如圖所示，則xx等于()A. B. C. D.2設(shè)f(x)、g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)<0，則當(dāng)a<x<b時(shí)有()Af(x)g(x)>f(b)g(b)Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(b)>f(b)g(x)Df(x)g(x)>f(a)g(a)3若函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，則函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為_4函數(shù)f(x)x33x1，若對于區(qū)間3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，則實(shí)數(shù)t的最小值是_5已知x>0，求證：x>sin x.導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問題，都可以通過導(dǎo)數(shù)得以解決不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的各種方法答案精析知識梳理知識點(diǎn)一增減知識點(diǎn)二(1)f(x)>0f(x)<0(2)f(x)<0f(x)>0知識點(diǎn)三2極值f(a)，f(b)最大最小題型探究例1C當(dāng)0<x<1時(shí)，xf(x)<0，f(x)<0，故yf(x)在(0,1)上為減函數(shù)，排除A、B選項(xiàng)當(dāng)1<x<2時(shí)，xf(x)>0，f(x)>0，故yf(x)在(1,2)上為增函數(shù)，因此排除D.跟蹤訓(xùn)練1A函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x<2時(shí)，f(x)<0.當(dāng)2<x<0時(shí)，xf(x)<0；當(dāng)x2時(shí)，xf(x)0；當(dāng)x<2時(shí)，xf(x)>0.由此觀察四個(gè)選項(xiàng)，故選A.例2B令g(x)xf(x)，則g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函數(shù)g(x)f(x)xf(x)，f(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，當(dāng)x<0時(shí)，xf(x)f(x)>0.g(x)在(0，)上是減函數(shù)<ln 2<1<，g()<g(ln 2)<g()又g(x)是偶函數(shù)，g()g()，g(ln )g(ln 2)，g()<g(ln )<g()故選B.跟蹤訓(xùn)練2a>b解析設(shè)g(x)，則當(dāng)x0時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在0，)上是減函數(shù)，所以g(2)>g(3)，即>，所以a>b.例3C設(shè)g(x)，則g(x).f(x)<f(x)，g(x)>0，即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增f(0)2，g(0)2，則不等式等價(jià)于g(x)>g(0)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x>0，不等式的解集為(0，)，故選C.跟蹤訓(xùn)練3B令g(x)f(x)2x4，f(x)>2，則g(x)f(x)2>0.又由g(1)f(1)2×(1)40，得g(x)>0，即g(x)>g(1)的解為x>1，f(x)>2x4的解集為(1，)例4證明設(shè)f(x)x1ln x，x(1，)，則f(x)1，因?yàn)閤(1，)，所以f(x)>0，即函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)，又x>1，所以f(x)>f(1)11ln 10，即x1ln x>0，所以x1>ln x.跟蹤訓(xùn)練4證明設(shè)f(x)22x2ex，則f(x)22ex2(1ex)當(dāng)x>0時(shí)，ex>e01，f(x)2(1ex)<0.函數(shù)f(x)22x2ex在(0，)上是減函數(shù)f(x)<f(0)0，x(0，)即當(dāng)x>0時(shí)，22x2ex<0，22x<2ex.例5解(1)因?yàn)閒(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點(diǎn)，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.當(dāng)0<t2時(shí)，在區(qū)間0，t上，f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2<t<3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè)因?yàn)閒(t)f(0)t33t2t2(t3)<0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，則g(x)3x26x3x(x2)當(dāng)x1,2)時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x(2,3時(shí)，g(x)>0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則即解得2<c0.即實(shí)數(shù)c的取值范圍為(2,0跟蹤訓(xùn)練5解(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)<0，得4<x<4；令f(x)>0，得x<4或x>4.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(4,4)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，4)和(4，)，f(x)極大值f(4)128，f(x)極小值f(4)128.(3)由(2)知，函數(shù)在1,4上單調(diào)遞減，在4,5上單調(diào)遞增，對f(4)128，f(1)47，f(5)115，當(dāng)x1,5時(shí)，函數(shù)的最大值為47，最小值為128.當(dāng)堂訓(xùn)練1C由題意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函數(shù)的解析式為f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.令3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x242×.2C由條件，得<0.在(a，b)上是減函數(shù)，<<，f(x)g(b)>f(b)g(x)35解析函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，f(x)(x2c)(x2)×2x.f(2)0，c40，c4，f(x)(x24)(x2)×2x，函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為f(1)(14)(12)×25.420解析由f(x)3x230，得x±1，則f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由題意知，|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin20.5證明設(shè)f(x)xsin x(x>0)，則f(x)1cos x0對x(0，)恒成立，函數(shù)f(x)xsin x在(0，)上單調(diào)遞增，又f(0)0，f(x)>0對x(0，)恒成立，x>sin x(x>0)10