《《線性代數(shù)習(xí)題》word版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《線性代數(shù)習(xí)題》word版（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 習(xí)題一 向量及其線性運(yùn)算 一、填空題：1 下列等式何時(shí)成立：1），當(dāng)；2），當(dāng)；3），當(dāng)；4），當(dāng)。2，當(dāng)。3指出下列向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)：1）是 線性相關(guān) ；2）不平行，是 線性無(wú)關(guān) ；3）共面，是 線性相關(guān) ;4），不共面，是 線性無(wú)關(guān) 。二、用幾何作圖證明：1） 2）證明：三、設(shè)為線段上任一點(diǎn)，證明：存在數(shù)，使得。證明： 與平行，可設(shè) 所以，。四、已知向量，問(wèn)向量是否共面？如果共面，寫出它們的線性表示式。解：因?yàn)?（1）所以向量共面。線性表示式為（1）式。習(xí)題二 空間直角坐標(biāo)系一、填空題：1在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是；關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是；
2、關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是。2在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是 ；關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是。3在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是；在平面上的投影點(diǎn)是；在平面上的投影點(diǎn)是；在軸上的投影點(diǎn)是；在軸上的投影點(diǎn)是；在軸上的投影點(diǎn)是。4在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)平面的距離是 3 ；到平面的距離是 2 ；到平面的距離是 1 ；到原點(diǎn)的距離是；到軸的距離是；到軸的距離是；到軸的距離是。二、 已知點(diǎn)，點(diǎn)在連接、的直線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)的坐標(biāo)為，則有由條件， 。三、 已知向量，求的方向余弦及與平行的單位向量。解：設(shè)的方向余弦為，則 。四、 設(shè)，計(jì)算。解：。五、 設(shè)三力作用于一點(diǎn)，求合力的大
3、小和方向余弦。解：合力方向余弦為： 。 習(xí)題三 向量的內(nèi)積和外積一、判斷題：1若，且，則。 （ 錯(cuò) ）2共面的充分必要條件是。 （ 對(duì) ）3。 （ 錯(cuò) ）4 （ 對(duì) ）二、已知向量，試計(jì)算1 2 3解：1）；2）3）。三、證明：向量和向量垂直。證明：由于，所以與垂直。四、已知垂直，且，計(jì)算：1； 2。解：1）因?yàn)榕c都垂直，所以與也垂直，因此， =。注：因?yàn)榇怪保浴?）。五、已知向量不共線，證明：的充要條件是。證明：類似可證。，若于，平行于，從而共線，矛盾，所以。六、已知：。問(wèn)：1）為何值時(shí)，與平行； 2）為何值時(shí)，與垂直。解1），當(dāng)與平行時(shí)，與平行時(shí)，。2），因?yàn)榕c垂直，所以。七、 已知：
4、，求。解：，因此，。八、若與垂直，垂直，求的夾角。解：由題設(shè)， 由（1）、（2）可得：。九、已知，其中，求三角形的面積。解： 習(xí)題四 向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算一、填空題：1平行于軸的向量一般表示式是；平行于軸的向量一般表示式是；平行于軸的向量一般表示式是。2向量，它們的夾角。3向量，當(dāng)=與=時(shí)，平行。二、設(shè)三力，作用于一質(zhì)點(diǎn)，使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移向量，求合力所做的功。解：合力。一、 若向量的起點(diǎn)和點(diǎn)重合，試確定它的終點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)的坐標(biāo)為，則，所以，。二、 從點(diǎn)作向量，使，其中，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)的坐標(biāo)為，則，由于平行于，所以不妨設(shè)，則，由知： ， ，所以或。三、 向量上的投影向量。解：向
5、量上的投影向量為 。四、 求單位向量，使它和向量都垂直。解：顯然同時(shí)垂直于，所以所求單位向量為 。五、 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，求其面積。解：。六、 （1）向量是否共面？若不共面，試計(jì)算以這三個(gè)向量為棱所作的平行六面體體積。解：因?yàn)樗圆还裁?，以這三個(gè)向量為棱所作的平行六面體體積。（2）已知以向量為棱所作的平行六面體體積等于4，求的值。解：因?yàn)樗?，所以?習(xí)題五 平面及其方程一、填空題：1 平行于平面且與此平面的距離為3的平面方程是 。2如果平面與平行，則2；若垂直，則 -10 。二、求滿足下列條件的平面方程：1過(guò)原點(diǎn)引平面的垂線，垂足是點(diǎn)的平面方程。解：平面的法向量，故由平面的點(diǎn)法式方程知平面
6、方程為：即。2 通過(guò)點(diǎn)且平行于向量的平面方程。解：平面的法向量可取為，由點(diǎn)法式知平面方程為： 即。3 通過(guò)點(diǎn)和且平行于軸的平面方程。解：，由題設(shè)可取平面的法向量，所以所求平面方程為，即。4 通過(guò)點(diǎn)且在軸上截距相等的平面方程。解：設(shè)所求平面方程為由條件得： ，因此，所求平面方程為。5 求通過(guò)三點(diǎn)的平面方程。解：解：由三點(diǎn)式方程可得所求平面方程為： 化簡(jiǎn)得：。三、求過(guò)軸且垂直于平面的平面方程。解：所求平面的法向量可取為，由于平面過(guò)原點(diǎn)，所以所求平面方程為即。四、求過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的平面方程。解：平面的法向量可取為，所以所求平面方程為：，即。五、已知兩平面，求平分它們所夾二面角的平面方程。 解：設(shè)為
7、所求平面上任一點(diǎn)，則到兩平面的距離相等，因此， 即，化簡(jiǎn)可得：或。習(xí)題六 空間直線及其方程一、 填空題： 1過(guò)點(diǎn)的直線方程是。2過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的平面方程是。3過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線方程是 ，點(diǎn)在此平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是；點(diǎn)關(guān)于此平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是。4求下列各組中的直線和平面的關(guān)系（相交、平行、垂直或直線在平面上）：（1）， 平行 ；（2）， 垂直 ；（3）， 直線在平面上 。二、求直線的對(duì)稱式與參數(shù)式方程。解：在直線上取一點(diǎn)直線的方向向量可取為： ，所以，直線的對(duì)稱式方程為直線的參數(shù)式方程為為參數(shù)。三、求過(guò)點(diǎn)且通過(guò)直線的平面方程。解：設(shè)所給點(diǎn)為在直線上取一點(diǎn)直線的方向向量為所求平面的法向量可取
8、為所以所求平面方程為：即。四、求點(diǎn)到直線的距離。解：設(shè)所給點(diǎn)為在直線上取一點(diǎn)直線的方向向量可取為 與的夾角所以點(diǎn)到所給直線的距離為。五、求過(guò)點(diǎn)且與直線和直線都垂直的直線方程。解：第一條直線的方向向量為第而條直線的方向向量為所以所求直線的方向向量可取為： ， 因此，所求直線方程為：。六、 求垂直于平面，并通過(guò)從點(diǎn)的垂線的平面方程。解：直線的方向向量可取為過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的平面的方程為即，該平面與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)的垂線的方程為，由于所求平面垂直于平面，且通過(guò)直線，故其法向量可取為，從而所求平面的方程為： 即。七、 過(guò)點(diǎn)引直線，使它平行于平面且與直線相交，求該直線的方程。解：設(shè)所求直線的方向向量為由題
9、設(shè)：由于與平行，所以 在直線上取一點(diǎn)，由于所求直線過(guò)點(diǎn)且與直線相交，所以向量與直線的方向向量直線的方向向量共面，因此， 即由（1）、（2）得所以所求直線方程為 。八、 判斷兩直線：，：是否在同一平面內(nèi)？若是，是否平行？若相交，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：在直線上取一點(diǎn)在直線上取一點(diǎn)，直線的方向向量直線的方向向量，由于 =0，所以與共面。由于，故與不平行，因此相交。設(shè)其交點(diǎn)為，則 解得故所求交點(diǎn)為。 習(xí)題七 矩陣的概念及代數(shù)運(yùn)算一、 填空題：1取，若，則3；1；9；-3。2設(shè)，則13；。3設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。4的充分必要條件是。二、設(shè)，試計(jì)算：1）；2）；3）；4）。解：1）2）3）4）。三、設(shè)，試計(jì)
10、算：；及（為正整數(shù)）。解：。四、計(jì)算：1） 設(shè)，求。解：；。2） 設(shè)，求（為正整數(shù)）。解：。五、設(shè)，試求（為正整數(shù)）。解：其中 一般地，當(dāng)時(shí)， 。六、 設(shè)，計(jì)算：；。解：；。七、 1）設(shè)、為階方陣，且為對(duì)稱矩陣，則也是對(duì)稱矩陣。2）設(shè)、均為階對(duì)稱矩陣，則是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是。證明：1），所以也是對(duì)稱矩陣。2）已知、均為階對(duì)稱矩陣，則是對(duì)稱矩陣。八、 設(shè)、為階矩陣，且滿足，及，證明：。證明：因?yàn)椋?。這樣， ，因此，所以，。 習(xí)題八 行列式一、 填空題：1設(shè)，則。2設(shè)，則。3設(shè)，則。4設(shè)，則 0 ， 0 。二、計(jì)算下列行列式：1） 2）=100 =2000。 。3） 4）。 。5） 6）5） 。6） =。三、解下列方程：1） 2）解1）左邊= 解2）注意方程的左邊是Vandermonde行列式，故 左邊=，。 。四、設(shè)，是中元素的代數(shù)余子式。求的值。解：=。五、設(shè)均為可微函數(shù)。證明：證明：左邊 +=右邊。16
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