《線性代數(shù)習題》word版

習題一 向量及其線性運算 一、填空題：1 下列等式何時成立：1），當；2），當；3），當；4），當。2，當。3指出下列向量組是線性相關還是線性無關：1）是 線性相關 ；2）不平行，是 線性無關 ；3）共面，是 線性相關 ;4），不共面，是 線性無關 。二、用幾何作圖證明：1） 2）證明：三、設為線段上任一點，證明：存在數(shù)，使得。證明： 與平行，可設 所以，。四、已知向量，問向量是否共面？如果共面，寫出它們的線性表示式。解：因為 （1）所以向量共面。線性表示式為（1）式。習題二 空間直角坐標系一、填空題：1在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標是；關于平面的對稱點是；關于平面的對稱點是；關于原點的對稱點是。2在空間直角坐標系中，點的對稱點的坐標是；關于軸的對稱點是 ；關于軸的對稱點是。3在空間直角坐標系中，點在平面上的投影點坐標是；在平面上的投影點是；在平面上的投影點是；在軸上的投影點是；在軸上的投影點是；在軸上的投影點是。4在空間直角坐標系中，點平面的距離是 3 ；到平面的距離是 2 ；到平面的距離是 1 ；到原點的距離是；到軸的距離是；到軸的距離是；到軸的距離是。二、 已知點，點在連接、的直線上，且，求點的坐標。解：設的坐標為，則有由條件， 。三、 已知向量，求的方向余弦及與平行的單位向量。解：設的方向余弦為，則 。四、 設，計算。解：。五、 設三力作用于一點，求合力的大小和方向余弦。解：合力方向余弦為： 。 習題三 向量的內(nèi)積和外積一、判斷題：1若，且，則。 （ 錯 ）2共面的充分必要條件是。 （ 對 ）3。 （ 錯 ）4 （ 對 ）二、已知向量，試計算1 2 3解：1）；2）3）。三、證明：向量和向量垂直。證明：由于，所以與垂直。四、已知垂直，且，計算：1； 2。解：1）因為與都垂直，所以與也垂直，因此， =。注：因為垂直，所以。2）。五、已知向量不共線，證明：的充要條件是。證明：類似可證。，若于，平行于，從而共線，矛盾，所以。六、已知：。問：1）為何值時，與平行； 2）為何值時，與垂直。解1），當與平行時，與平行時，。2），因為與垂直，所以。七、 已知：，求。解：，因此，。八、若與垂直，垂直，求的夾角。解：由題設， 由（1）、（2）可得：。九、已知，其中，求三角形的面積。解： 習題四 向量運算的坐標表示及其運算一、填空題：1平行于軸的向量一般表示式是；平行于軸的向量一般表示式是；平行于軸的向量一般表示式是。2向量，它們的夾角。3向量，當=與=時，平行。二、設三力，作用于一質(zhì)點，使質(zhì)點產(chǎn)生的位移向量，求合力所做的功。解：合力。一、 若向量的起點和點重合，試確定它的終點的坐標。解：設的坐標為，則，所以，。二、 從點作向量，使，其中，且，求點的坐標。解：設的坐標為，則，由于平行于，所以不妨設，則，由知： ， ，所以或。三、 向量上的投影向量。解：向量上的投影向量為 。四、 求單位向量，使它和向量都垂直。解：顯然同時垂直于，所以所求單位向量為 。五、 三角形的三個頂點為，求其面積。解：。六、 （1）向量是否共面？若不共面，試計算以這三個向量為棱所作的平行六面體體積。解：因為所以不共面，以這三個向量為棱所作的平行六面體體積。（2）已知以向量為棱所作的平行六面體體積等于4，求的值。解：因為所以，所以。 習題五 平面及其方程一、填空題：1 平行于平面且與此平面的距離為3的平面方程是 。2如果平面與平行，則2；若垂直，則 -10 。二、求滿足下列條件的平面方程：1過原點引平面的垂線，垂足是點的平面方程。解：平面的法向量，故由平面的點法式方程知平面方程為：即。2 通過點且平行于向量的平面方程。解：平面的法向量可取為，由點法式知平面方程為： 即。3 通過點和且平行于軸的平面方程。解：，由題設可取平面的法向量，所以所求平面方程為，即。4 通過點且在軸上截距相等的平面方程。解：設所求平面方程為由條件得： ，因此，所求平面方程為。5 求通過三點的平面方程。解：解：由三點式方程可得所求平面方程為： 化簡得：。三、求過軸且垂直于平面的平面方程。解：所求平面的法向量可取為，由于平面過原點，所以所求平面方程為即。四、求過點且垂直于平面的平面方程。解：平面的法向量可取為，所以所求平面方程為：，即。五、已知兩平面，求平分它們所夾二面角的平面方程。 解：設為所求平面上任一點，則到兩平面的距離相等，因此， 即，化簡可得：或。習題六 空間直線及其方程一、 填空題： 1過點的直線方程是。2過點且垂直于直線的平面方程是。3過點且垂直于平面的直線方程是 ，點在此平面上的投影點坐標是；點關于此平面的對稱點坐標是。4求下列各組中的直線和平面的關系（相交、平行、垂直或直線在平面上）：（1）， 平行 ；（2）， 垂直 ；（3）， 直線在平面上 。二、求直線的對稱式與參數(shù)式方程。解：在直線上取一點直線的方向向量可取為： ，所以，直線的對稱式方程為直線的參數(shù)式方程為為參數(shù)。三、求過點且通過直線的平面方程。解：設所給點為在直線上取一點直線的方向向量為所求平面的法向量可取為所以所求平面方程為：即。四、求點到直線的距離。解：設所給點為在直線上取一點直線的方向向量可取為 與的夾角所以點到所給直線的距離為。五、求過點且與直線和直線都垂直的直線方程。解：第一條直線的方向向量為第而條直線的方向向量為所以所求直線的方向向量可取為： ， 因此，所求直線方程為：。六、 求垂直于平面，并通過從點的垂線的平面方程。解：直線的方向向量可取為過點且垂直于直線的平面的方程為即，該平面與直線的交點為點的垂線的方程為，由于所求平面垂直于平面，且通過直線，故其法向量可取為，從而所求平面的方程為： 即。七、 過點引直線，使它平行于平面且與直線相交，求該直線的方程。解：設所求直線的方向向量為由題設：由于與平行，所以 在直線上取一點，由于所求直線過點且與直線相交，所以向量與直線的方向向量直線的方向向量共面，因此， 即由（1）、（2）得所以所求直線方程為 。八、 判斷兩直線：，：是否在同一平面內(nèi)？若是，是否平行？若相交，求它們的交點坐標。解：在直線上取一點在直線上取一點，直線的方向向量直線的方向向量，由于 =0，所以與共面。由于，故與不平行，因此相交。設其交點為，則 解得故所求交點為。 習題七 矩陣的概念及代數(shù)運算一、 填空題：1取，若，則3；1；9；-3。2設，則13；。3設，則當且僅當時，。4的充分必要條件是。二、設，試計算：1）；2）；3）；4）。解：1）2）3）4）。三、設，試計算：；及（為正整數(shù)）。解：。四、計算：1） 設，求。解：；。2） 設，求（為正整數(shù)）。解：。五、設，試求（為正整數(shù)）。解：其中 一般地，當時， 。六、 設，計算：；。解：；。七、 1）設、為階方陣，且為對稱矩陣，則也是對稱矩陣。2）設、均為階對稱矩陣，則是對稱矩陣的充分必要條件是。證明：1），所以也是對稱矩陣。2）已知、均為階對稱矩陣，則是對稱矩陣。八、 設、為階矩陣，且滿足，及，證明：。證明：因為，所以。這樣， ，因此，所以，。 習題八 行列式一、 填空題：1設，則。2設，則。3設，則。4設，則 0 ， 0 。二、計算下列行列式：1） 2）=100 =2000。 。3） 4）。 。5） 6）5） 。6） =。三、解下列方程：1） 2）解1）左邊= 解2）注意方程的左邊是Vandermonde行列式，故 左邊=，。 。四、設，是中元素的代數(shù)余子式。求的值。解：=。五、設均為可微函數(shù)。證明：證明：左邊 +=右邊。16