概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案.docx

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30 概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題1.11用集合的形式寫出下列隨機試驗的樣本空間與隨機事件A：（1）拋一顆骰子，觀察向上一面的點數(shù) A表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”（2）對一個目標進行射擊，一旦擊中便停止射擊，觀察射擊的次數(shù) A表示“射擊不超過3次”（3）把單位長度的一根細棒折成三段，觀察各段的長度A表示“三段細棒能構成一個三角形”2把表示成n個兩兩互不相容事件的和3 在某班學生中任選一個同學，以A表示選到的是男同學，B表示選到的人不喜歡唱歌，C表示選到的人是運動員（1）表述ABC及ABC；（2）什么條件下成立ABC=A；（3）何時成立CB；（4）何時同時成立A=B與A=C4設A,B,C為三個隨機事件，用A,B,C的運算及關系表示下列各事件： （1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生；（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；（3）A,B,C中至少有一個發(fā)生；（4）A,B,C都發(fā)生；（5）A,B,C都不發(fā)生；（6）A,B,C中不多于一個發(fā)生；（7）A,B,C中不多于兩個發(fā)生；（8）A,B,C中至少有兩個發(fā)生習題1.21某城市共發(fā)行三種報紙A,B,C已知城市居民訂購A的占45%，訂購B的占35%，訂購C的占30%，同時訂購A與B的占10%，同時訂購A與C的占8%，同時訂購B與C的占5%，同時訂購A,B,C的占3%，求下列事件的概率：（1）只訂購A；（2）只訂購A與B；（3）只訂購一種報紙；（4）正好訂購兩種報紙； （5）至少訂購一種報紙；（6）不訂購任何報紙；（7）至多訂一種報紙2設在統(tǒng)計課考試中，學生A不及格的概率是0.5，學生B不及格的概率是0.2，兩人同時不及格的概率是0.1，求：（1）兩人中至少有一人不及格的概率；（2）兩人都及格的概率；（3）兩人中只有一個人不及格的概率3設A,B為兩個隨機事件，PA=0.7,PA-B=0.3，求PAB 4設PA=PB=0.5，證明：PAB=PA B5設A,B為任意兩個隨機事件，證明：PABABABAB=06證明：在兩個事件A,B中，只有一件發(fā)生的概率為PA+PB-2PAB7人體血型的一個簡化模型包括4種血型和2種抗體：A、B、AB與O型，抗A與抗B抗體根據(jù)血型與人的血液以不同的形式發(fā)生作用，抗A只與A、AB型血發(fā)生作用，不與B、O型血作用，抗B只與B、AB型血發(fā)生作用，不與A、O型血作用假設一個人的血型是O型血的概率為0.5，是A型血的概率為0.34，是B型血的概率為0.12求：（1）抗A、抗B分別與任意一人的血型發(fā)生作用的概率；（2）一個人的血型與兩種抗體都發(fā)生作用的概率習題1.314張卡片上分別寫有字母d,g,o,o，把它們隨機地排列，求恰好組成“good”的概率2在1500個產(chǎn)品中，有400個次品，1100個正品，從中任取200個，求：（1）恰有90個次品的概率；（2）至少有2個次品的概率3一個口袋里裝有10只球，分別編有號碼1,2, ,10，隨機地從這個口袋里取3只球，求：（1）最小號碼是5的概率；（2）最大號碼是5的概率4某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶在搬運中所有標簽脫落，交貨人便隨意將這些油漆發(fā)給顧客問一個訂貨為4桶白漆，3桶黑漆，2桶紅漆的顧客，能按所定顏色得到訂貨的概率是多少？5進行一個試驗：先拋一枚均勻的硬幣，然后拋一個均勻的骰子（1）描述該試驗的樣本空間；（2）硬幣是正面且骰子點數(shù)是奇數(shù)的概率是多少？6假設2個叫Davis的男孩，3個叫Jones的男孩，4個叫Smith的男孩隨意地坐在一排9座的座位上那么叫Davis的男孩剛好坐在前兩個座位上，叫Jones的男孩坐在挨著的3個座位上，叫Smith的男孩坐在最后4個座位上的概率是多少？7某碼頭只能容納一只船現(xiàn)知某日將獨立地來兩只船，且在24小時內(nèi)各時刻來到的可能性相等若它們需要?？康臅r間分別為3小時和4小時，那么有一只船需要等待進入碼頭的概率是多少？8設在長度為T的時間段內(nèi)，有長短不等的兩個信號隨機地進入了同一接收機，長信號持續(xù)的時間為t1(t1T)，短信號持續(xù)的時間為t2(t2T)求兩個信號互不干擾的概率9把長為l的線段任意折成3段，求它們能構成三角形的概率習題1.41已知PA=0.8, PB=0.7, PAB=0.8，求PA B.2已知PA=0.3,PB=0.4,PAB=0.5，求PB(AB) 3據(jù)以往資料，某一3口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P孩子得病0.6，P母親得病孩子得病0.5，P父親得病母親及孩子得病0.4求母親及孩子得病但父親未得病的概率4若M件產(chǎn)品中有m件廢品，今在其中任取兩件（1）已知取出的兩件中至少有一件是廢品，求另一件也是廢品的概率；（2）已知兩件中至少有一件不是廢品，求另一件是廢品的概率；（3）求取出的兩件中至少有一件是廢品的概率5為防止意外事故，礦井內(nèi)同時安裝了兩個警報系統(tǒng)A與B每個系統(tǒng)單獨使用時，有效率A為0.92，B為0.93在A失靈條件下B的有效率為0.85求：（1）發(fā)生事故時，這兩個警報系統(tǒng)至少有一個有效的概率；（2）在B失靈條件下，A有效的概率6一顧客每次購買牙膏都選擇品牌A或B假定初次購買后，以后每次購買時他仍選擇上一次品牌的概率為13設該顧客第一次購買時選擇A或B的概率相等，求他第一次和第二次都購買A牌牙膏而第三次和第四次都購買B牌牙膏的概率7假定一個箱子里共裝有一個藍色卡片和四個分別標記為A, B, C, D的紅色卡片設從箱子中一次隨機地取出兩個卡片（1）若已知卡片A被取出，求取出的兩個卡片都是紅色的概率；（2）若已知至少取出一個紅色卡片，求兩個卡片都是紅色的概率 8某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號求他撥號不超過三次就接通所要撥打的電話的概率若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？習題1.51已知產(chǎn)品中96%是合格的，現(xiàn)有一種簡化的檢查方法，它把真正的合格品確認為合格品的概率為0.98，而誤認廢品為合格品的概率為0.05，求以簡化法檢查為合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率2炮戰(zhàn)中，在距目標250米、200米、150米處發(fā)射的概率分別為0.1、0.7、0.2，命中目標的概率分別為0.05、0.1、0.2現(xiàn)在已知目標被擊毀，求擊毀目標的炮彈是由距目標250米處發(fā)射的概率3已知男性有5%是色盲患者，女性有0.25%是色盲患者今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人為男性的概率是多少？4某種產(chǎn)品50件為一批，每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為0.35，有1,2,3,4件次品的概率分別為0.25,0.2,0.18,0.02今從某批產(chǎn)品中隨機地取出了10件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中的次品不超過2件的概率5將兩條信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息也是A的概率是多少？6一盒中裝有15個球，其中9個是新球第一次比賽時從中任取3個使用，但賽后都放回盒中，第二次比賽再從盒中任取3個，（1）求第二次取出的都是新球的概率；（2）已知第二次取出的球都是新球，求第一次恰好取出2個新球的概率7有兩箱同種類的零件第一箱裝50只，其中10只是一等品；第二箱裝30只，其中18只是一等品今從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中不放回地抽取零件兩次，每次任取一只求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的零件也是一等品的概率習題1.61設PA1=PA2=PA3=13, A1,A2,A3相互獨立，求：（1）A1,A2,A3至少發(fā)生一個的概率；（2）A1,A2,A3恰好發(fā)生一個的概率；（3）A1,A2,A3最多發(fā)生一個的概率.2一旦危險情況C發(fā)生，報警電路會閉合發(fā)出警報借助兩個或更多開關并聯(lián)的報警電路可以增強報警系統(tǒng)的可靠性現(xiàn)在有兩個開關并聯(lián)的報警電路，每個開關具有0.96的可靠性，問這個報警系統(tǒng)的可靠性是多少？如果要求報警系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999，則至少需要多少只開關并聯(lián)？假設各開關的閉合與否是相互獨立的3求下圖所示的兩個系統(tǒng)的可靠性假設元件i的可靠性為 pi，各元件正常工作與否相互獨立3題圖(a) 3題圖(b)4根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸某種物資損壞的情況共有三種：損壞2% （記為A1），損壞10%（記為A2），損壞90%（記為A3），且PA1=0.8,PA2=0.15,PA3=0.05現(xiàn)在從已被運輸?shù)奈镔Y中隨機地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B）求PA1B, PA2B,PA3B（這里假設物品件數(shù)很多，取出一件后不影響后一件是否為好品的概率）5將A,B,C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它字母的概率都是1-/2今將字母串AAAA, BBBB, CCCC之一輸入信道，輸入AAAA, BBBB, CCCC的概率分別為p1 ,p2 ,p3p1 +p2 +p3=1若已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設信道傳輸各個字母的工作是相互獨立的）6 設在第一臺車床上制造一級品零件的概率為0.7，在第二臺車床上制造一級品零件的概率為0.8；第一臺車床制造了2個零件，第二臺車床制造了3個零件求這5個零件均為一級品的概率7設實驗室產(chǎn)生甲類細菌和乙類細菌的機會是相等的若某次產(chǎn)生了2n個細菌，求：（1）至少有一個是甲類細菌的概率；（2）甲、乙兩類細菌各占一半的概率8設每次射擊打中目標的概率是0.001，射擊5000次，求至少擊中兩彈的概率9某人向一目標獨立重復射擊，每次擊中目標的概率均為p(0p1)，求此人第5次射擊恰好第2次命中目標的概率10設A,B是兩個隨機事件，且0PA0，每個卵變?yōu)槌上x的概率為p，且各卵是否變?yōu)槌上x是相互獨立的，（1）求每蠶養(yǎng)出k個成蟲的概率；（2）若某蠶養(yǎng)出k個成蟲，求它產(chǎn)了n個卵的概率習題2.11. 舉出幾個你所熟悉的能用隨機變量來描述的社會或生活現(xiàn)象.習題2.21. 問c取何值才能使下列數(shù)列（1） fk=cN, k=1,2,N； （2） fk=ckk!, k=1,2,0為常數(shù)成為分布律.2. 已知隨機變量X取四個值-1,0,1,2，相應概率分別為12c,34c,58c,716c，試確定常數(shù)c，并計算PX1X0.3. 一批產(chǎn)品分一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品是二級品的一半. 從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一個檢驗質(zhì)量，試用隨機變量描述檢驗的可能結果，并寫出其分布律.4. 某運動員的投籃命中率為0.4，寫出他一次投籃命中數(shù)X的分布律. 5. 上拋兩枚硬幣，寫出正面朝上的個數(shù)Y的分布律.6. 一批花生種子的發(fā)芽率為0.9，如果每穴播種3粒，求發(fā)芽數(shù)X的分布律. 7. 設隨機變量XB(6,p)，已知PX=1=PX=5，求PX=2的值.8. 已知事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于三次時，指示燈將發(fā)出信號.若按以下兩種方式進行試驗，分別求指示燈發(fā)出信號的概率. （1）進行5次重復獨立的試驗；（2）進行7次重復獨立的試驗.9. 某實驗室有自動控制的儀器10只，相互獨立地運行，發(fā)生故障的概率都是0.03. 在一般情況下，一臺儀器的故障需要一個技師處理，問配備多少技師可以保證在設備發(fā)生故障時不能及時處理的概率小于0.05. 10. 從五批零件中各抽取一個零件組裝一種產(chǎn)品，每批抽出非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率均為1/6如果5個零件中有超過3件的非優(yōu)質(zhì)品就制不成產(chǎn)品，求制不成產(chǎn)品的概率.11. 某救援站在長度為t的時間（單位：h）內(nèi)收到救援信號的次數(shù)X服從Pt2分布且與時間的起點無關，試求某天下午救援站在1點至6點間至少收到一次救援信號的概率. 12. 若XP()且PX=2=PX=3，求PX=5. 13. 設步槍射擊飛機的命中率為0.001，今射擊6000次，試按泊松分布近似計算步槍至少擊中飛機兩彈的概率，并求最可能擊中數(shù).14. 有大量汽車通過一個繁忙的汽車站，經(jīng)統(tǒng)計每輛汽車在一天某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001.若在某天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率（利用泊松定理近似計算）是多少？15. 在有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中隨機地取3件，寫出取出的次品數(shù)X的分布律. 16. 在一副撲克牌中（按54張計）隨機地抽出5張，求抽出黑桃張數(shù)的概率分布. 17. 一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從中任取20件，現(xiàn)已初步查出2件次品，求20件中次品數(shù)不少于3的概率.18. 自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p，且生產(chǎn)過程中一旦出現(xiàn)廢品即刻重新進行調(diào)整.求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律.19. 某射手有5發(fā)子彈，每射一發(fā)子彈的命中率都是0.7，如果命中目標便停止射擊，不中目標就一直射擊到子彈用完為止，試求所用子彈數(shù)X的分布律.20. 從有10件正品、3件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取，設每次抽取時，各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等. 在下列三種情形下，分別寫出直到取得正品為止所需抽取次數(shù)X的分布律.（1）每次取出的產(chǎn)品不再放回； （2）每次取出的產(chǎn)品立即放回； （3）每次取出一件產(chǎn)品后隨即放回一件正品.習題2.31. 已知隨機變量Xfx=cx2, 0x3,0, 其它. 求：(1)常數(shù)c ；(2) P1X2, PX1,PX=2. 2. 證明函數(shù)fx=xce-x22c, x0,0, x0 (c為正的常數(shù))為密度函數(shù).3. 設隨機變量XU-2,3，寫出X的密度函數(shù).4. 設隨機變量Xfx=c, 1x5,0, 其它. 求：(1)常數(shù)c；(2) P1X2.5. 設隨機變量XU-1,1，事件A=0X1,B=|X|14，則正確的是 . (A) P(AB)=0; (B) P(AB)=P(A); (C) PA+P(B)=1; (D) P(AB)=PAP(B).6. 設隨機變量XE2，(1)寫出X的密度函數(shù)；(2)求 P-1X2,P1X4.7. 假定打一次電話所用時間(以分計)服從=0.1的指數(shù)分布，試求在排隊打電話的人中，后一個人等待前一個人的時間超過10分鐘的概率和在10分鐘到20分鐘之內(nèi)的概率.8. 設隨機變量XN-2,9，寫出X的密度函數(shù).9. 設隨機變量Xfx=ce-x2+x，求常數(shù)c.10. 設隨機變量XN-1,16，求PX-1.48,PX-2.8, P|X|1.11. 設隨機變量XN,2，方程y2+4y+X=0無實根的概率為0.5，求. 12. 設隨機變量XN(2,2)，且P2X4=0.3，求PX0. 13. 設隨機變量XN(,2)，則隨著的增大，概率PX-必然是 .(A) 單調(diào)增大； (B) 單調(diào)減??； (C) 保持不變； (D) 增減不定.14. 隨機變量X N(1,12),Y N(2,22)，且PX-1PY-21，則正確的是 .(A) 12； (C) 12.15. 某機器生產(chǎn)的螺栓的長度(cm)服從參數(shù)為=10.05,=0.06的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍10.050.12內(nèi)為合格品，求一只螺栓為不合格品的概率.16. 設隨機變量XN(160,2)，若P120X0,bf2x, x0 (a0,b0)為密度函數(shù)，則a ,b應該滿足什么條件？習題2.41. 寫出分布函數(shù)的定義式以及離散與連續(xù)兩種類型隨機變量的分布函數(shù)計算公式.2. 寫出習題2.2第3題中的隨機變量的分布函數(shù).3. 寫出習題2.2第15題中的隨機變量的分布函數(shù).4. 設隨機變量X的密度函數(shù)fx=2x, 0xA,0, 其它. 求：(1)常數(shù)A；(2) X的分布函數(shù).5. 設隨機變量X的密度函數(shù)為fx=x, 0x1,2-x, 1x2,0, 其它. 求X的分布函數(shù)F(x)，并計算概率PX=1,P0.5X5.6. 設隨機變量X的密度函數(shù)為fx=Ae-x，求X的分布函數(shù).7. 求與密度函數(shù)fx=0.5ex, x0,0.25, 0x0,0, x0.(1)求常數(shù)A,B；(2)求 P-2X2；(3) X是連續(xù)型隨機變量嗎？如果是，則求X的密度函數(shù).9. 在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點，設質(zhì)點落在0,a內(nèi)任意一小區(qū)間上的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，若以X表示這個質(zhì)點的坐標，試求X的分布函數(shù).10. 一個靶子是半徑為2m的圓盤，設擊中靶上同心圓盤上任意一點的概率與該圓盤的面積成正比，并且每次射擊都能中靶若以X表示彈著點與圓心的距離，試求X的分布函數(shù).11. 設F1(x)與F2(x)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，若Fx=aF1x-bF2(x)為隨機變量的分布函數(shù)，則a, b應該滿足什么條件？12*. 設隨機變量X的概率密度為(x)，-x=(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，下列選項正確的是 .(A) F-a=1-0axdx； (B) F-a=12-0axdx；(C) F-a=F(a)； (D) F-a=2Fa-1.13*. 設X1和X2是任意兩個連續(xù)型隨機變量，它們的密度函數(shù)分別為f1(x)和f2(x)，分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，則下列選項正確的是 .(A) f1x+f2(x)必為某一隨機變量的密度函數(shù)；(B) f1xf2(x)必為某一隨機變量的密度函數(shù)；(C) F1x+F2(x)必為某一隨機變量的分布函數(shù)；(D) F1xF2(x)必為某一隨機變量的分布函數(shù).14*. 設隨機變量X的分布函數(shù)Fx=0, x0,12, 0x1,1-e-x, x1,求PX=1.問X是連續(xù)型隨機變量嗎？15*. 函數(shù)Fx=c1-x2, 0x2,0, 其它 是分布函數(shù)嗎？說明理由.習題2.51. 已知隨機變量X的分布律為X-1 0 1 1.5 P0.1 0.2 0.3 0.4 求Y=2X-1與Z=X2的分布律.2. 測量一個正方形的邊長，結果是一個離散型隨機變量X(為方便起見把它看成是離散型的)，分布律為X 9 10 11 12P0.2 0.3 0.4 0.1求該正方形的周長和面積的分布律.3. 設X的密度函數(shù)為fx=2x, &0x0,0, x0. 求Y=X2的密度函數(shù).5.（1）設Xfx，求Y=X3的密度函數(shù)；（2）設XE，求Y=X3的密度函數(shù)；（3）設XE1，求Y=eX的概率密度.6. 設XU0, 1，求：（1）Y=3X+1的密度函數(shù)；（2）Y-2lnX的密度函數(shù)；（3）YeX的密度函數(shù).7. 設XN0, 1，求：（1）YeX的密度函數(shù)；（2）YX2的密度函數(shù)；（3）YX的密度函數(shù).8. 設隨機變量Xfx=x, -1x1,0, 其它. 令Y=X2+1，求:（1）Y的密度函數(shù)fYy；（2）P-1Y0,0, X=0,-1, & X0. 試求隨機變量Y的分布律.11*. 假設由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑(單位:mm)服從正態(tài)分布N11,1，內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損已知銷售利潤Y(單位：元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關系：Y=-1, X12. 求Y的分布律.章末習題21. 下面給出的數(shù)列哪些是隨機變量的分布律？說明理由.(1)Pi=i15,i=0,1,2,3,4,5； (2) Pi=(5-i2)6,i=0,1,2,3；(3)Pi=14,i=2,3,4,5； (4) Pi=i+125,i=1,2,3,4,5.2. 試確定常數(shù)c，使PX=i=C2i(i=0,1,2,3,4)為分布律，并求：PX2;P0.5Xx和PX-ax.5. 火炮向某目標獨立射擊，每發(fā)炮彈命中目標的概率為0.6，且只要命中一發(fā)目標就被摧毀.今發(fā)射4發(fā)，求摧毀目標的概率.若使目標被摧毀的概率達到0.999以上，則至少要發(fā)射多少發(fā)炮彈？6. 已知隨機變量 X的概率密度fx=2x, 0x1,0, 其它. 現(xiàn)對X進行n次獨立的重復觀測，并以Vn表示觀測值不大于0.1的次數(shù)，求Vn的概率分布.7. 某種生物出現(xiàn)畸形的概率為0.001，如果在相同的環(huán)境中觀察5000例，試按泊松分布近似計算其中至多有兩例是畸形的概率，并求最可能畸形例數(shù). 8. 某試驗的成功概率為0.75，失敗概率為0.25，若以X表示試驗獲得首次成功所進行的試驗次數(shù)，寫出X的分布律. 9. 袋中裝有1個白球、4個紅球，每次從中任取一球，直到取出白球為止，試寫出取球次數(shù)X的分布律.假定取球方式為每次取出的紅球不再放回，或者為每次取出的紅球仍然放回. 10. 已知fx=K1+x-a2 (a為常數(shù))是概率密度函數(shù)，稱為參數(shù)為a的柯西(Cauchy)分布，求常數(shù)K.11. 設X是區(qū)間0,1中的隨機數(shù)，試確定滿足條件0a p2； (C) p1u=.若PXx=，則x等于 .(A) u2 ； (B) u1-2 ； (C) u1-2 ； (D) u1-. 16. 設隨機變量Xfx=A2x, 0x1,0, 其它, 計算PX0.20.1X0.5，求X的分布函數(shù)Fx，畫出Fx的圖形.17. 設隨機變量X的密度函數(shù)為fx=1+x, -1x0, 1-x, 0x1, 0, 其它. 求X的分布函數(shù)F(x).18. 設隨機變量X的分布函數(shù)為Fx=A, x0,Bx2, 0x1,Cx-x22-1, 12. (1)求常數(shù)A,B,C；(2)求PX12；(3)X是連續(xù)型隨機變量嗎？如果是，則求X的密度函數(shù).19. 設隨機變量X的密度函數(shù)為fx=13, x0,1,29, x3,6,0, 其它. 若k使得PXk=23，求k的取值范圍. 20. 已知隨機變量X的分布律為X-2 0 1 1.5 3P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1求X+2、-X+1與 X2的分布律.21. 設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y=1-e-2X服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布.22. 設隨機變量Xfx=21+x2, x0,0, x0. 求Y=lnX的密度函數(shù).23. 隨機變量X的密度函數(shù)為fXx=12, -1x0,14, 0x2,0, 其它. 求Y=X2的密度函數(shù).24. 設隨機變量X服從參數(shù)為=5的指數(shù)分布，則隨機變量Y=minX,2的分布函數(shù)是 .(A) 連續(xù)函數(shù)； (B) 至少有兩個間斷點； (C) 階梯函數(shù)； (D) 恰好有一個間斷點.25*. 設隨機變量X的分布函數(shù)Fx=0, x0,cx3, 0x3,1, x3.若PX=3=0.1，求常數(shù)c，問X是連續(xù)型隨機變量嗎？習題3.11. 舉出幾個你所熟悉的能用多維隨機變量來描述的社會或生活現(xiàn)象.習題3.21. 袋中裝有3個球，分別標有數(shù)字1,2,2.從袋中順次取兩次球，每次任取一個以X,Y分別記第一、二次取到的球上的數(shù)字，試就有放回和不放回兩種取球方式，寫出X,Y的分布律. 2. 袋中裝有1個紅球、2個黑球與3個白球.現(xiàn)從袋中取兩次，每次取一個球，以X,Y,Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù). 若每次取出的球(1)立即放回袋中，再取下一個，或者(2)不放回袋中接著便取下一個，就這兩種取球方式，寫出X,Y的概率分布，求PX=1Z=0.3. 將一硬幣連擲三次，以X表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對值，試寫出X和Y的聯(lián)合分布律. 4. 以X表示在整數(shù)1,2,3,4中隨機取的一個值，以Y表示在整數(shù)1X中隨機取的另一個值，求X,Y的分布律.5. 一射手射擊命中目標的概率為p0p-1. Y=-1, 若U1,1, 若U1.求X和Y的聯(lián)合概率分布.8. 設A,B為隨機事件，且PA=14,PBA=13,PAB=12，令X=1, A發(fā)生, 0, A不發(fā)生. Y=1, B發(fā)生, 0, B不發(fā)生.求隨機變量(X,Y)的概率分布.9. 已知隨機變量X1,X2的概率分布為X1-101141214 , X2 011212 ， 且PX1X2=0=1，求X1和X2的聯(lián)合概率分布.10. 設二維離散型隨機變量X,Y的分布律為YX-2 -1 0 1 2 1230.02 0.10 0.05 0.08 0.010.00 0.03 0.11 0.15 0.200.08 0.00 0.06 0.04 0.07求：（1）邊緣分布律；（2）在X=1條件下Y的條件分布律和在Y=0條件下X的條件分布律；（3）PXY,PX+Y=0.11. 已知隨機變量X服從參數(shù)為p=0.6的0-1分布，且在X=0、X=1條件下隨機變量Y的條件分布律為YX=01 2 3與YX=11 2 3P14 12 14 P12 16 13 求X,Y的分布律.習題3.31. 設隨機變量X,Y的密度函數(shù)為fx,y=ax2y, x2y0.5,PY0.5. 2. 設隨機變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=bx, 0xy1,0, 其它. 求：(1)常數(shù)b；(2) PX+Y1.3. 設隨機變量X,Y fx,y=ce-x, 0yx,0, 其它. 求：(1)常數(shù)c；(2)PX1Y1 .4. 對第1題-第3題，求邊緣密度函數(shù)與條件密度函數(shù).5. 設二維隨機變量(X,Y)在平面區(qū)域D上服從均勻分布，其中區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0,x=1,x=e2圍成，寫出(X,Y)的密度函數(shù)，并求(X,Y)關于X的邊緣密度函數(shù)在x=2的值.6. 隨機變量X,Y在區(qū)域D上服從均勻分布，其中D為x軸、y軸及直線y=2x+1圍成的三角形區(qū)域，求條件密度函數(shù)fYXyx. 7. 已知隨機變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=Ae-2x2+2xy-y2, -x+,-y+，求常數(shù)A及條件密度函數(shù)fYXyx.習題3.41. 對習題3.2的第1題，求隨機變量(X,Y)的分布函數(shù).2. 對習題3.3的第3題，求隨機變量(X,Y)的分布函數(shù).3. 對第1、2題，求隨機變量(X,Y)的邊緣分布函數(shù).4. 已知連續(xù)型隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為Fx,y=1-e-0.5x-e-0.5y+e-0.5x+y, x0,y0,0, 其它. 求：（1）X,Y的邊緣分布函數(shù)；（2）X,Y皆大于0.1的概率. 5. 隨機變量X的密度函數(shù)為fXx=12, -1x0,14, 0x0,0, x+y0 不是分布函數(shù).習題3.51. 對習題3.2的第1、4題，判斷隨機變量X,Y是否相互獨立.2. 對習題3.3的第3、7題，判斷隨機變量X,Y是否相互獨立.3. 隨機變量X, Y相互獨立， X,Y的分布律為X-1 0 1 和Y-2 2 P1 3 13 13 P1 2 12 寫出X,Y的分布律，并求PX+Y=1和PXY=0.4. 設隨機變量X,Y相互獨立且有相同的分布， X的分布律為X1 2P2 3 1 3 記U=maxX,Y,V=minX,Y，求(U,V)的分布律.5. 下表列出了隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律與邊緣分布律中的部分數(shù)值，如果X與Y相互獨立，試在表中的空白處填上其余數(shù)值. YX y1y2y3PXx118 x218 PY16 16設隨機變量X與Y相互獨立且有相同的分布：PX=-1=PY=-1= 12,PX=1=PY=1= 12，則下列選項正確的是 .（A）PX=Y= 12；（B）PX=Y=1；（C）PX+Y=0= 14；（D）PXY=1= 14.7. 設隨機變量(X,Y)的概率分布為Y X0 1010.4 a b 0.1且事件X=0與X+Y=1相互獨立，求常數(shù)a,b. 8. 已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度fx,y=4xy, 0x1,0y1,0, 其它. 求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，計算事件0X0.5,0Y0,y0,0, 其它. 求X,Y的分布函數(shù)F(x,y)，計算事件X5、Y10的概率.10. 設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y1. 11. 在區(qū)間0,1中隨機地取兩個數(shù)，求兩數(shù)之差的絕對值小于0.5的概率. 12. 設隨機變量 X和Y相互獨立，XU0,0.2,YE(5) （1）寫出X,Y的密度函數(shù)；（2）求 PYX.13. 設隨機變量XiN,2(i=1,2,n)，且它們相互獨立，寫出X1,X2,Xn的聯(lián)合密度函數(shù).習題3.61. 已知隨機變量X,Y的分布律 Y X-1 0 1 -110.3 0.2 0 0 0.4 0.1求Z=2X-Y,U=minX,Y,V=maxX,Y和W=XY的分布律.2. 設二維隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律為 Y X-2 -1 0 1 2 1230.02 0.10 0.05 0.08 0.010.00 0.03 0.11 0.15 0.200.08 0.00 0.06 0.04 0.07 求：(1) Z=X+Y,U=maxX,Y和V=minX,Y的分布律；(2) PX=2Y=2,PX=3Y=0.3. 一個儀器的長度是它的兩個主要組成部件的長度的和，設這兩個部件的長度X和Y為兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布律分別為X9 10 11與Y6 7P0.3 0.5 0.2P0.4 0.6求此儀器長度的分布律.4. 設隨機變量 X與Y相互獨立，且均服從U0,1，求Z=X+Y的概率密度函數(shù).5. 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為fx,y=e-x, 0y0,y0,0, 其它. 求Z=X+Y2的概率密度函數(shù).7. 若隨機變量X,Y相互獨立，且均服從N0,1，證明Z=X2+Y2的概率密度函數(shù)為fZz=12e-z2, z0,0, z0. 8. 設隨機變量X,Y相互獨立，且有相同的分布函數(shù)F(x)，則Z=maxX,Y的分布函數(shù)為 .(A) F2x； (B)FxFy； (C) 1-1-Fx2； (D) 1-Fx1-Fy.9. 某電子元件的壽命X(單位：小時)服從參數(shù)為0.0015的指數(shù)分布，現(xiàn)有6個元件在獨立地工作，求6個元件工作時間均在800小時以上的概率和不超過3000小時的概率.10*. 設隨機變量X,Y相互獨立，且X的分布律為PX=i=1/3i=-1,0,1，Y的概率密度函數(shù)為fYy=1, 0y10, 其它 ，記Z=X+Y，（1）求Z的概率分布；（2）求PZ12X=0.章末習題31. 設隨機變量X,Y在區(qū)域D=x,y|x2+y21且y0內(nèi)服從均勻分布，在三次重復獨立觀察中事件XY出現(xiàn)的次數(shù)為Z，試求PZ=2.2. 袋中裝有1個紅球、4個白球，任意取出2個球，若以X表示其中的紅球數(shù)，以Y表示其中的白球數(shù)，試求隨機變量X,Y的分布律和分布函數(shù).3. 設隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 XY0 1 2-11225 a 125 b 325 225 且PY=1X=0=35，求常數(shù)a,b的值.4. 已知隨機變量Xi-1 0 1 14 12 14 (i=1,2)，且PX1X2=0=1，則PX1=X2等于 .(A) 0； (B)1/4； (C) 1/2； (D) 1.5. 設隨機變量X,Y的分布律為X,Y1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3P 1 6 19 118 13 a b 若X,Y相互獨立，試求常數(shù)a, b的值.6. 設隨機變量X與Y相互獨立，它們的分布律分別為X-2 -1 0 0.5和Y -0.5 1 3P 14 13 112 13 P 12 14 14 求X,Y的分布律及PX+Y=1和PX+Y0.7. 設二維離散型隨機變量X,Y的分布律為Y X1 2 3 4-1010.20 0.03 0.21 0.10 0 0.08 0.11 0.090.07 0.11 0 0 求：（1）邊緣分布律；（2）在X=-1和在Y=2條件下的條件分布律；（3）PXY,PX0.8. 設X和Y為兩個隨機變量，且PX0,Y0=3/7,PX0=PY0=4/7，求PmaxX,Y0.9. 一個商店每周四進貨，以備星期五、六、日銷售. 根據(jù)多周統(tǒng)計，這三天的銷售件數(shù)X1,X2,X3彼此獨立，且有如下的分布律X110 11 12X213 14 15X317 18 19P0.2 0.7 0.1P0.3 0.6 0.1P0.1 0.8 0.1問三天的銷售總量這個隨機變量可以取那些值？進貨45件不夠賣的概率有多大？進貨40件夠賣的概率又是多少？10. 設二維隨機變量X,Y在區(qū)域G=x,yx2yx上服從均勻分布，試求X,Y的概率密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù). 11. 已知隨機變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=1e-12x2+2xy+5y2, -x,y0,y0,0, 其它. 若X,Y相互獨立，求聯(lián)合分布函數(shù)Fx,y.15. 設隨機變量X1,X2相互獨立， X1Bn1,p, X2Bn2,p，證明：X1+X2Bn1+n2,p.16. 設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上的均勻分布，求：（1）X,Y的分布函數(shù)；（2）隨機變量U=|X-Y|的密度函數(shù).17. 兩臺同樣自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 首先開動其中一臺，當其發(fā)生故障時停用而另一臺自行開動，試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T的概率密度f(t).18. 設X與Y相互獨立且都服從N(0,1)，試求Z=X2+Y2的密度函數(shù).19. 一電路裝有三個同種電氣元件，工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間均服從參數(shù)為0的指數(shù)分布. 當三個元件都無故障時電路正常工作，否則整個電路不能正常工作. 試求電路正常工作時間T的概率分布.20. 若隨機變量X1,X2,Xn相互獨立，且皆服從參數(shù)分別為1,2,n的指數(shù)分布，試求Y=minX1,X2,Xn概率分布.21. 有四個獨立工作的元件Rij(i.j=1,2)，它們的壽命(單位：小時)均服從參數(shù)為的指數(shù)分布.若R11與R12串聯(lián)為子系統(tǒng)R1，R21與R22串聯(lián)為子系統(tǒng)R2，子系統(tǒng)R1與R2并聯(lián)為系統(tǒng)R，R的壽命為Z，試求Z的壽命分布.22. 設隨機變量X1,X2,X5相互獨立，且均服從正態(tài)分布N(12,5)，求.習題4.11（1）在下面的句子中隨機地取一單詞，以X表示取到的單詞中的字母個數(shù)，寫出X的分布律，并求EX（2）在下面句子的30個字母中隨機地取一字母，以Y表示取到的字母所在單詞中的字母數(shù)，寫出Y的分布律，并求EY“THE GIRL PUT ON HER BEAU