(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第16練 立體幾何試題.docx
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第16練立體幾何明晰考情1.命題角度:高考中考查線面的位置關(guān)系和線面角,更多體現(xiàn)傳統(tǒng)方法.2.題目難度:中檔難度考點(diǎn)一空間中的平行、垂直關(guān)系方法技巧(1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行,比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系,利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系(2)證明線線垂直的常用方法利用特殊平面圖形的性質(zhì),如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直;利用勾股定理的逆定理;利用線面垂直的性質(zhì)1如圖,在六面體ABCDE中,平面DBC平面ABC,AE平面ABC.(1)求證:AE平面DBC;(2)若ABBC,BDCD,求證:ADDC.證明(1)過點(diǎn)D作DOBC,O為垂足又平面DBC平面ABC,平面DBC平面ABCBC,DO平面DBC,DO平面ABC.又AE平面ABC,AEDO.又AE平面DBC,DO平面DBC,故AE平面DBC.(2)由(1)知,DO平面ABC,AB平面ABC,DOAB.又ABBC,且DOBCO,DO,BC平面DBC,AB平面DBC.DC平面DBC,ABDC.又BDCD,ABDBB,AB,DB平面ABD,DC平面ABD.又AD平面ABD,ADDC.2(2018江蘇)如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中, AA1AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.證明(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,因此AB1A1B.又因?yàn)锳B1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBCB,A1B,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.3(2018全國)如圖,在三棱錐PABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O為AC的中點(diǎn)(1)證明:PO平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離(1)證明因?yàn)镻APCAC4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)PAC,且OP2.如圖,連接OB.因?yàn)锳BBCAC,所以ABC為等腰直角三角形,所以O(shè)BAC,OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因?yàn)镺POB,OPAC,OBACO,OB,AC平面ABC,所以PO平面ABC.(2)解作CHOM,垂足為H,又由(1)可得OPCH,因?yàn)镺MOPO,OM,OP平面POM,所以CH平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離由題意可知OCAC2,CMBC,ACB45,所以在OMC中,由余弦定理可得OM,CH.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.4如圖所示,三棱錐PABC中,PA平面ABC,PA1,AB1,AC2,BAC60.(1)求三棱錐PABC的體積;(2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得ACBM,并求的值解(1)AB1,AC2,BAC60,SABCABACsin60.由PA平面ABC可知,PA是三棱錐PABC的高,且PA1,三棱錐PABC的體積VSABCPA.(2)在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)B作BNAC,垂足為N,在平面PAC內(nèi),過點(diǎn)N作MNPA交PC于點(diǎn)M,連接BM.PA平面ABC,AC平面ABC,PAAC,MNAC.又BNAC,BNMNN,BN,MN平面BMN,AC平面MBN.又BM平面MBN,ACBM.在RtBAN中,ANABcosBAC,從而NCACAN,由MNPA,得.考點(diǎn)二空間角的求解要點(diǎn)重組設(shè)直線l,m的方向向量分別為a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)平面,的法向量分別為u(a3,b3,c3),v(a4,b4,c4)(以下相同)(1)線線角設(shè)l,m所成的角為,則cos.(2)線面角設(shè)直線l與平面所成的角為,則sin|cosa,u|.(3)二面角設(shè)l的平面角為,則|cos|cosu,v|.方法技巧求空間角的兩種方法(1)按定義作出角,然后利用圖形計算(2)利用空間向量,計算直線的方向向量和平面的法向量,通過向量的夾角計算5(2018諸暨模擬)如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAD是邊長為2的等邊三角形,底面ABCD是直角梯形,BADCDA,AB2CD2,E是CD的中點(diǎn)(1)證明:AEPB;(2)設(shè)F是棱PB上的點(diǎn),EF平面PAD,求EF與平面PAB所成角的正弦值(1)證明取AD的中點(diǎn)G,連接PG,BG,平面PAD平面ABCD,PGAD,平面PAD平面ABCDAD,PG平面PAD,PG平面ABCD,AEPG.又tanDAEtanABG,AEBG.又PGBGG,PG,BG平面PBG,AE平面PBG,AEPB.(2)解作FHAB交PA于點(diǎn)H,連接DH,EF平面PAD,平面FHDE平面PADDH,EFDH.四邊形FHDE為平行四邊形HFDEAB,即H為PA的一個四等分點(diǎn)又ABAD,平面ABCD平面PAD,平面ABCD平面PADAD,AB平面ABCD,AB平面PAD,作DKPA于點(diǎn)K,ABDK,DKPA,PAABA,PA,AB平面PAB,DK平面PAB,DHK為所求線面角,sinDHK.6在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面AA1B1B是邊長為2的正方形,點(diǎn)C在平面AA1B1B上的射影H恰好為A1B的中點(diǎn),且CH,設(shè)D為CC1的中點(diǎn)(1)求證:CC1平面A1B1D;(2)求DH與平面AA1C1C所成角的正弦值方法一(幾何法)(1)證明因?yàn)镃C1AA1且在正方形AA1B1B中AA1A1B1,所以CC1A1B1,取A1B1的中點(diǎn)E,連接DE,HE,則HEBB1CC1且HEBB1CC1.又D為CC1的中點(diǎn),所以HECD且HECD,所以四邊形HEDC為平行四邊形,因此CHDE,又CH平面AA1B1B,所以CHHE,DEHE,所以DECC1,又A1B1DEE,A1B1,DE平面A1B1D,所以CC1平面A1B1D.(2)解取AA1的中點(diǎn)F,連接CF,作HKCF于點(diǎn)K,因?yàn)镃HDE,F(xiàn)HA1B1,CHFHH,DEA1B1E,所以平面CFH平面A1B1D,由(1)得CC1平面A1B1D,所以CC1平面CFH,又HK平面CFH,所以HKCC1,又HKCF,CFCC1C,CF,CC1平面AA1C1C,所以HK平面AA1C1C,所以DH與平面AA1C1C所成的角為HDK.在RtCFH中,CF2,KH,在RtDHK中,由于DH2,sinHDK,故DH與平面AA1C1C所成角的正弦值為.方法二(向量法)(1)證明如圖,以H為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,),C1(,),A1(,0,0),B1(0,0),D,所以(,0),.所以0,0,因此CC1平面A1B1D.(2)解設(shè)平面AA1C1C的法向量為n(1,x,y),由于(,0),(,0,),則nx0,ny0,得x1,y,所以n.又,設(shè)為DH與平面AA1C1C所成的角,所以sin,故DH與平面AA1C1C所成角的正弦值為.7(2018浙江省杭州市第二中學(xué)模擬)如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,ABD30,AB2CD2AD2,DE平面ABCD,EFBD,且BD2EF.(1)求證:平面ADE平面BDEF;(2)若二面角CBFD的大小為60,求CF與平面ABCD所成角的正弦值(1)證明在ABD中,ABD30,由AD2AB2BD22ABBDcos30,解得BD,所以AD2BD2AB2,根據(jù)勾股定理得ADB90,ADBD.又因?yàn)镈E平面ABCD,AD平面ABCD,所以ADDE.又因?yàn)锽DDED,BD,DE平面BDEF,所以AD平面BDEF,又AD平面ADE,所以平面ADE平面BDEF,(2)解方法一如圖,由(1)可得ADB90,ABD30,則BDC30,則BCD為銳角為30的等腰三角形CDCB1, 則CG.過點(diǎn)C作CHDA,交DB,AB于點(diǎn)G,H,則點(diǎn)G為點(diǎn)F在平面ABCD上的投影連接FG,則CGBD,DE平面ABCD,則CG平面BDEF.過點(diǎn)G作GIBF于點(diǎn)I,連接HI,CI,則BF平面GCI,即GIC為二面角CBFD的平面角,則GIC60.則tan60,CG,則GI.在直角梯形BDEF中,G為BD的中點(diǎn),BD,GIBF,GI,設(shè)DEx,則GFx,SBGFBGGFBFGI,則DE.tanFCG,則sinFCG,即CF與平面ABCD所成角的正弦值為.方法二由題意可知DA,DB,DE兩兩垂直,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DB,DE所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)DEh,則D(0,0,0),B(0,0),C,F(xiàn).,設(shè)平面BCF的法向量為m(x,y,z),則所以取x,所以m,取平面BDEF的法向量為n(1,0,0),由|cosm,n|cos60,解得h,則DE,又,則|,設(shè)CF與平面ABCD所成的角為,則sin.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為.8.如圖,在四棱錐PABCD,底面ABCD為梯形,ADBC,ABBCCD1,DA2,DP平面ABP,O,M分別是AD,PB的中點(diǎn)(1)求證:PD平面OCM;(2)若AP與平面PBD所成的角為60,求線段PB的長(1)證明連接OB,設(shè)BD與OC的交點(diǎn)為N,連接MN.因?yàn)镺為AD的中點(diǎn),AD2,所以O(shè)AOD1BC.又因?yàn)锳DBC,所以四邊形OBCD為平行四邊形,所以N為BD的中點(diǎn),又因?yàn)镸為PB的中點(diǎn),所以MNPD.又因?yàn)镸N平面OCM,PD平面OCM,所以PD平面OCM.(2)解由四邊形OBCD為平行四邊形,知OBCD1,所以AOB為等邊三角形,所以BAD60所以BD,即AB2BD2AD2,即ABBD.因?yàn)镈P平面ABP,所以ABPD.又因?yàn)锽DPDD,BD,PD平面BDP,所以AB平面BDP,所以APB為AP與平面PBD所成的角,即APB60,所以在RtABP中,可得PB.例(15分)如圖,已知在矩形ABCD中,AB4,AD3,現(xiàn)將DAC沿著對角線AC向上翻折到PAC的位置,此時PAPB.(1)求證:平面PAB平面ABC;(2)求直線AB與平面PAC所成角的正弦值審題路線圖(1)(2)方法一(作角)方法二(向量法)規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)(1)證明因?yàn)镻APB,PAPC,PBPCP,所以PA平面PBC,2分所以PABC,又BCAB,ABAPA,所以BC平面PAB,4分又BC平面ABC,所以平面PAB平面ABC.6分(2)解方法一如圖,作BDPC于點(diǎn)D,連接AD,由(1)知,PA平面PBC,所以PABD,而BDPC,PAPCP,PA,PC平面PAC,所以BD平面PAC,所以BAD為直線AB與平面PAC所成的角9分在RtPBC中,BC3,PC4,PB,所以BD,又AB4,在RtADB中,sinBAD,13分所以直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分方法二由(1)知平面PAB平面ABC,所以在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E,則PE平面ABC,如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系(z軸與直線PE平行),在RtPBC中,BC3,PC4,PB,在RtAPB中,AP3,AB4,PE,BE,可知A(0,4,0),B(0,0,0),C(3,0,0),P,(3,4,0),10分則易得平面PAC的一個法向量為m,12分(0,4,0),所以cos,m,故直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分構(gòu)建答題模板方法一第一步找垂直:利用圖形中的線線垂直推證線面垂直和面面垂直第二步作角:利用定義結(jié)合垂直關(guān)系作出所求角第三步計算:將所求角放在某三角形中,計算方法二第一步找垂直:利用圖形中的線線垂直推證線面垂直和面面垂直,同時為建系作準(zhǔn)備第二步寫坐標(biāo):建立空間直角坐標(biāo)系,寫出特殊點(diǎn)的坐標(biāo)第三步求向量:求直線的方向向量或平面的法向量第四步求夾角:計算向量的夾角,得到所求的線面角或二面角1在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,底面ABCD為梯形,ABCD,ABCBCD90,BCCD2.(1)證明:BDPA;(2)若PAD為正三角形,求直線PA與平面PBD所成角的余弦值(1)證明在直角梯形ABCD中,因?yàn)锳D2,BD2,AB4,所以AD2BD2AB2,所以BDAD.又側(cè)面PAD底面ABCD,側(cè)面PAD底面ABCDAD,BD底面ABCD,所以BD平面PAD,又PA平面PAD,所以BDPA.(2)解方法一如圖,取PD的中點(diǎn)M,連接AM,BM.因?yàn)镻AD為正三角形,所以AMPD.又由(1)知,BD平面PAD,所以平面PBD平面PAD,又平面PAD平面PBDPD,AM平面PAD,所以AM平面PBD,故APM即為直線PA與平面PBD所成的角故cosAPM,即直線PA與平面PBD所成角的余弦值為.方法二在平面PAD內(nèi),過點(diǎn)P作PQAD,垂足為Q,取AB的中點(diǎn)N,連接QN,易知,PQ,AQ,QN兩兩垂直以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),QA,QN,QP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示則P(0,0,),A(,0,0),B(,2,0),D(,0,0)設(shè)n(x,y,z)為平面PBD的法向量由n0,n0,且(0,2,0),(,0,),得取z1,則n( ,0,1),又(,0,),所以cosn,因此直線PA與平面PBD所成角的余弦值為.2設(shè)平面ABCD平面ABEF,ABCD,ABEF,BAFABC90,BCCDAFEF1,AB2.(1)證明:CE平面ADF;(2)求直線DF與平面BDE所成角的正弦值(1)證明ABCD, ABEF,CDEF.又CDEF,四邊形CDFE是平行四邊形CEDF,又CE平面ADF,DF平面ADF,CE平面ADF.(2)解取AB的中點(diǎn)G,連接CG交BD于點(diǎn)O,連接EO,EG.CDEF,DF與平面BDE所成的角等于CE與平面BDE所成的角ABAF,平面ABCD平面ABEF,AF平面ABCD.又EGAF,EG平面ABCD,EGBD.連接DG,在正方形BCDG中,BDCG,故BD平面ECG.平面BDE平面ECG.在平面CEO中,作CHEO,交直線EO的延長線于點(diǎn)H,得CH平面BDE.CEH是CE與平面BDE所成的角過點(diǎn)G作GQEO.OCOG,CHGQ.CE,sinCEH.3(2018寧波模擬)如圖,在四棱錐PABCD中,PAD為正三角形,四邊形ABCD為直角梯形,CDAB,BCAB,平面PAD平面ABCD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,CP的中點(diǎn),ADAB2CD2.(1)證明:直線EF平面PAB;(2)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值(1)證明設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接EM,F(xiàn)M,易知EMAB,F(xiàn)MPB,因?yàn)镋MAB,EM平面PAB,AB平面PAB,所以EM平面PAB.同理FM平面PAB.又EMFMM,EM平面FEM,F(xiàn)M平面FEM,所以平面FEM平面PAB,又EF平面FEM,所以直線EF平面PAB.(2)解連接PE,PM,因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,且PEAD,PE平面PAD,所以PE平面ABCD,PEBC.又因?yàn)镋MBC,PEEME,所以BC平面PEM,所以平面PBC平面PEM.過點(diǎn)E作EHPM于點(diǎn)H,連接FH,由平面PBC平面PEM可知,EH平面PBC.所以直線EF與平面PBC所成的角為EFH.易求得EFPC,EH,所以sinEFH.4如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),將ADE沿直線DE折起至ADE的位置,使得平面ADE平面BCDE,F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn)(1)求證:BF平面ADE;(2)求直線AB與平面ADE所成角的正切值(1)證明取AD的中點(diǎn)M,連接FM,EM,F(xiàn)為AC的中點(diǎn),F(xiàn)MCD且FMCD,又E為AB的中點(diǎn),且ABCD,且ABCD,BECD且BECD,BEFM且BEFM,四邊形BFME為平行四邊形BFEM,又EM平面ADE,BF平面ADE,BF平面ADE.(2)解在平面BCDE內(nèi)作BNDE,交DE的延長線于點(diǎn)N,平面ADE平面BCDE,平面ADE平面BCDEDE,BN平面BCDE,BN平面ADE,連接AN,則BAN為AB與平面ADE所成的角易知BNEDAE,又BE1,BN,EN.在ADE中,作APDE,垂足為P,AE1,AD2,AP,EP.在RtAPN中,PNPEEN,AP,AN.在RtABN中,tanBAN,直線AB與平面ADE所成角的正切值為.- 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