2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 三角函數(shù)及解三角形 1.1.2 三角恒等變換與解三角形課件 文.ppt

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第二講三角恒等變換與解三角形 熱點(diǎn)題型1三角恒等變換與求值 感悟經(jīng)典 典例 1 已知sin cos 則sin2 A B C D 2 2017 北京高考 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 角 與角 均以O(shè)x為始邊 它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 若sin 則cos 3 2018 浙江高考 已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合 始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 它的終邊過(guò)點(diǎn)P 1 求sin 的值 2 若角 滿(mǎn)足sin 求cos 的值 聯(lián)想解題 1 看到sin2 想到降冪公式 2 1 因?yàn)榻?與角 的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 所以 2k k Z 那么sin sin cos cos 2 代入余弦差角公式求解即可 3 1 看到角 的終邊過(guò)點(diǎn)P 想到三角函數(shù)的定義 看到求sin 想到誘導(dǎo)公式 2 看到求cos 想到 再利用差的余弦公式求解 規(guī)范解答 1 選B 由sin cos 兩邊平方得1 sin2 解得sin2 所以sin2 2 因?yàn)榻?與角 的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 所以 2k k Z 那么sin sin cos cos 所以cos cos cos sin sin cos2 sin2 2sin2 1 答案 3 1 由角 的終邊過(guò)點(diǎn)P 得sin 所以sin sin 2 由角 的終邊過(guò)點(diǎn)P 得cos 由sin 得cos 由 得cos cos cos sin sin 所以cos 或cos 規(guī)律方法 三角恒等變換的基本思路 1 異化同 切化弦 1的代換 是三角恒等變換的常用技巧 異化同 是指 化異名為同名 化異次為同次 化異角為同角 2 角的變換是三角變換的核心 如 2 等 3 常用的兩角間的關(guān)系 若 可看作 互余 若 可看作 互補(bǔ) 從對(duì)稱(chēng)角度 若 與 的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 則 2k k Z 若 與 的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 則 0 2k k Z 若 與 的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 則 2k k Z 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1 若sin cos2 則sin2 的值可以為 A 或1B C D 解析 選A 方法一 由已知得 sin cos sin2 cos2 所以sin cos 或sin cos 0 解得sin2 或1 方法二 由已知得sin sin 2 2sin cos 所以cos 或sin 0 則sin2 cos 2 2cos2 1 2 1 或sin2 1 2 2018 江蘇高考 已知 為銳角 tan cos 1 求cos2 的值 2 求tan 的值 解析 1 因?yàn)閠an tan 所以sin cos 因?yàn)閟in2 cos2 1 所以cos2 因此 cos2 2cos2 1 2 因?yàn)?為銳角 所以a 0 又因?yàn)閏os 所以sin 因此tan 2 因?yàn)閠an 所以tan2 因此 tan tan 2 提分備選 1 2018 株洲二模 若 則3cos2 sin 則sin2 的值為 A B C D 解析 選D 由3cos2 sin 可得3cos2 cos sin 3 cos2 sin2 cos sin 因?yàn)?所以sin cos 0 上式化為 sin cos 兩邊平方可得1 sin2 所以sin2 2 2018 石家莊二模 設(shè) 0 且滿(mǎn)足sin cos cos sin 1 則sin 2 sin 2 的取值范圍為 A 1 B 1 C 1 1 D 1 解析 選C 因?yàn)閟in cos sin cos sin 1 0 所以 可得 0 所以 0 所以 又因?yàn)?所以 所以cos 所以sin 2 sin 2 sin sin cos sin cos 1 1 熱點(diǎn)題型2解三角形 感悟經(jīng)典 典例 1 2018 江蘇高考 在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別為a b c ABC 120 ABC的平分線交AC于點(diǎn)D 且BD 1 則4a c的最小值為 2 2017 全國(guó)卷 ABC的內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 已知sinA cosA 0 a 2 b 2 1 求c 2 設(shè)D為BC邊上一點(diǎn) 且AD AC 求 ABD的面積 聯(lián)想解題 1 看到角平分線 想到面積法解題 2 1 由題意首先求得A 然后利用余弦定理列方程 邊長(zhǎng)取方程的正實(shí)數(shù)根可得c 4 2 利用題意首先求得 ACD的面積 然后結(jié)合 ABC的面積可求得 ABD的面積為 規(guī)范解答 1 由面積得 acsin120 asin60 csin60 化簡(jiǎn)得a c ac c a 1 4a c 4a 4a 1 4 a 1 5 2 5 9 當(dāng)且僅當(dāng)4 a 1 即a c 3時(shí)取等號(hào) 答案 9 2 1 因?yàn)閟inA cosA 0 所以sinA cosA 所以tanA 因?yàn)锳 0 所以A 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 代入a 2 b 2得c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 所以c 4 2 由 1 知c 4 因?yàn)閏2 a2 b2 2abcosC 所以16 28 4 2 2 2 cosC 所以cosC 所以sinC 所以tanC 在Rt CAD中 tanC 所以 即AD 則S ADC 2 由 1 知S ABC bc sinA 2 4 2 所以S ABD S ABC S ADC 2 規(guī)律方法 正 余弦定理的應(yīng)用思路 1 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式 要考慮用余弦定理 2 如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí) 則考慮用正弦定理 3 以上特征都不明顯時(shí) 要考慮兩個(gè)定理都有可能用到 另外 解題中一定要注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1 2018 北京高考 若 ABC的面積為 a2 c2 b2 且 C為鈍角 則 B 的取值范圍是 解析 由余弦定理 a2 c2 b2 2accosB ABC的面積S a2 c2 b2 2accosB 又S acsinB 所以cosB sinB 因?yàn)榻荂為鈍角 所以cosB 0 所以tanB 又0 B 所以B 由正弦定理 又sinC sin A B sinAcosB sinBcosA sinA cosA 所以 因?yàn)锽 A B C 所以A C A C 又02 即的取值范圍是 2 答案 2 2 2018 天津高考 在 ABC中 內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 已知bsinA acos 1 求角B的大小 2 設(shè)a 2 c 3 求b和sin 2A B 的值 解析 1 在 ABC中 由正弦定理 可得bsinA asinB 又由bsinA acos 得asinB acos 即sinB cos 所以sinB cosB sinB 可得tanB 又因?yàn)锽 0 可得B 2 在 ABC中 由余弦定理及a 2 c 3 B 有b2 a2 c2 2accosB 7 故b 由bsinA acos 可得sinA 因?yàn)閍 c 故cosA 因此sin2A 2sinAcosA cos2A 2cos2A 1 所以 sin 2A B sin2AcosB cos2AsinB 提分備選 如圖 在平面四邊形ABCD中 AB 1 BC 1 AD ABC 120 DAB 75 則CD A B 2C 2D 1 解析 選A 過(guò)D作DE AB于點(diǎn)E 過(guò)C作CF AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 則DE CF CBF 60 DE ADsinA CF BCsin CBF 1 所以四邊形DEFC是矩形 所以CD EF AB AE BF 因?yàn)锳E ADcosA BF BCcos CBF 1 所以CD 1 數(shù)學(xué)運(yùn)算 解三角形的綜合問(wèn)題中的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 相關(guān)鏈接 解三角形的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)題型1 解三角形和三角函數(shù) 三角恒等變換的綜合問(wèn)題 2 解三角形和函數(shù) 方程的綜合問(wèn)題 3 解三角形與向量的綜合問(wèn)題 4 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 命題角度1 解三角形與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題 典例1 2017 全國(guó)卷 ABC的內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 已知sin A C 8sin2 1 求cosB 2 若a c 6 ABC的面積為2 求b 規(guī)范解答 1 由題設(shè)及A B C 得 sinB 8sin2 故sinB 4 1 cosB 上式兩邊平方 整理得17cos2B 32cosB 15 0 解得cosB 1 舍去 cosB 2 由cosB 得sinB 故S ABC acsinB ac 又S ABC 2 則ac 由余弦定理及a c 6得 b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 1 cosB 36 2 4 所以b 2 典例2 在 ABC中 角A B C的對(duì)邊分別為a b c 且滿(mǎn)足 a c 1 求角B的大小 2 若 求 ABC面積的最大值 規(guī)范解答 1 a c 可化為 a c cosB cosC 即 a c cacosB cabcosC 所以 a c cosB bcosC 根據(jù)正弦定理有 sinA sinC cosB sinBcosC 所以sinAcosB sin C B 即sinAcosB sinA 因?yàn)閟inA 0 所以cosB 即B 2 因?yàn)?所以 即b2 6 根據(jù)余弦定理b2 a2 c2 2accosB 可得6 a2 c2 ac 有基本不等式可知6 a2 c2 ac 2ac ac 2 ac 即ac 3 2 故 ABC的面積S acsinB ac 即當(dāng)a c 時(shí) ABC的面積的最大值為 命題角度2 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 典例3 如圖 漁船甲位于島嶼A的南偏西60 方向的B處 且與島嶼A相距12海里 漁船乙以10海里 時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行 若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東 的方向追趕漁船乙 剛好用2小時(shí)追上 此時(shí)到達(dá)C處 1 求漁船甲的速度 2 求sin 的值 解析 1 依題意知 BAC 120 AB 12海里 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 海里 所以漁船甲的速度為 14 海里 時(shí) 2 由 1 知BC 28海里 在 ABC中 BCA 由正弦定理得 即sin 規(guī)律方法 1 解三角形的一般思路 1 根據(jù)正 余弦定理把邊的關(guān)系都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系 通過(guò)三角恒等變換解決問(wèn)題 2 根據(jù)正 余弦定理把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系 通過(guò)代數(shù)變換解決問(wèn)題 2 解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的求解關(guān)鍵關(guān)鍵是把測(cè)量目標(biāo)納入到一個(gè)可解三角形中 然后利用正 余弦定理求解 通關(guān)題組 1 在 ABC中 內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 且a b是方程x2 2x 2 0的兩根 2cos A B 1 則 ABC的面積為 A B C D 解析 選C 因?yàn)樵?ABC中 內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 且a b是方程x2 2x 2 0的兩根 所以ab 2 又2cos A B 1 所以A B 60 C 120 所以 ABC的面積為 absinC 2 已知 ABC中 AB AC 3 cos ABC 若圓O的圓心在邊BC上 且與AB和AC所在的直線都相切 則圓O的半徑為 A B C D 解析 選B 如圖 易得BC 4 由于 ABC為等腰三角形 故O應(yīng)為BC中點(diǎn) 本題即求BC中點(diǎn)O到AB距離 因?yàn)閏os ABC 所以sin ABO BO AB cos ABO 2 由S ABO AB BO sin ABO AB r 可得 3 2 3 r 解得r 3 2018 浙江高考 在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 若a b 2 A 60 則sinB c 解析 由正弦定理得 得sinB 由余弦定理得cosA 解得c 3 答案 3 提分備選 2018 北京高考 在 ABC中 a 7 b 8 cosB 1 求 A 2 求AC邊上的高 解析 方法一 1 由余弦定理 cosB 解得c 5 舍 或c 3 所以cosA 又因?yàn)? A 所以A 2 設(shè)AC邊上的高為h 則sinA 所以h csinA 3 sin 即AC邊上的高為 方法二 1 因?yàn)閏osB 0 sinB 由正弦定理 即sinA sinB 又因?yàn)? A 所以A 2 設(shè)AC邊上的高為h 則h asinC 由 1 及已知 sinC sin A B sinAcosB sinBcosA 所以h asinC 7 即AC邊上的高為