2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)及解三角形 1.1.2 三角恒等變換與解三角形課件 文.ppt

第二講三角恒等變換與解三角形 熱點題型1三角恒等變換與求值 感悟經(jīng)典 典例 1 已知sin cos 則sin2 A B C D 2 2017 北京高考 在平面直角坐標系xOy中 角 與角 均以Ox為始邊 它們的終邊關于y軸對稱 若sin 則cos 3 2018 浙江高考 已知角 的頂點與原點O重合 始邊與x軸的非負半軸重合 它的終邊過點P 1 求sin 的值 2 若角 滿足sin 求cos 的值 聯(lián)想解題 1 看到sin2 想到降冪公式 2 1 因為角 與角 的終邊關于y軸對稱 所以 2k k Z 那么sin sin cos cos 2 代入余弦差角公式求解即可 3 1 看到角 的終邊過點P 想到三角函數(shù)的定義 看到求sin 想到誘導公式 2 看到求cos 想到 再利用差的余弦公式求解 規(guī)范解答 1 選B 由sin cos 兩邊平方得1 sin2 解得sin2 所以sin2 2 因為角 與角 的終邊關于y軸對稱 所以 2k k Z 那么sin sin cos cos 所以cos cos cos sin sin cos2 sin2 2sin2 1 答案 3 1 由角 的終邊過點P 得sin 所以sin sin 2 由角 的終邊過點P 得cos 由sin 得cos 由 得cos cos cos sin sin 所以cos 或cos 規(guī)律方法 三角恒等變換的基本思路 1 異化同 切化弦 1的代換 是三角恒等變換的常用技巧 異化同 是指 化異名為同名 化異次為同次 化異角為同角 2 角的變換是三角變換的核心 如 2 等 3 常用的兩角間的關系 若 可看作 互余 若 可看作 互補 從對稱角度 若 與 的終邊關于y軸對稱 則 2k k Z 若 與 的終邊關于x軸對稱 則 0 2k k Z 若 與 的終邊關于原點對稱 則 2k k Z 對點訓練 1 若sin cos2 則sin2 的值可以為 A 或1B C D 解析 選A 方法一 由已知得 sin cos sin2 cos2 所以sin cos 或sin cos 0 解得sin2 或1 方法二 由已知得sin sin 2 2sin cos 所以cos 或sin 0 則sin2 cos 2 2cos2 1 2 1 或sin2 1 2 2018 江蘇高考 已知 為銳角 tan cos 1 求cos2 的值 2 求tan 的值 解析 1 因為tan tan 所以sin cos 因為sin2 cos2 1 所以cos2 因此 cos2 2cos2 1 2 因為 為銳角 所以a 0 又因為cos 所以sin 因此tan 2 因為tan 所以tan2 因此 tan tan 2 提分備選 1 2018 株洲二模 若 則3cos2 sin 則sin2 的值為 A B C D 解析 選D 由3cos2 sin 可得3cos2 cos sin 3 cos2 sin2 cos sin 因為 所以sin cos 0 上式化為 sin cos 兩邊平方可得1 sin2 所以sin2 2 2018 石家莊二模 設 0 且滿足sin cos cos sin 1 則sin 2 sin 2 的取值范圍為 A 1 B 1 C 1 1 D 1 解析 選C 因為sin cos sin cos sin 1 0 所以 可得 0 所以 0 所以 又因為 所以 所以cos 所以sin 2 sin 2 sin sin cos sin cos 1 1 熱點題型2解三角形 感悟經(jīng)典 典例 1 2018 江蘇高考 在 ABC中 角A B C所對的邊分別為a b c ABC 120 ABC的平分線交AC于點D 且BD 1 則4a c的最小值為 2 2017 全國卷 ABC的內角A B C的對邊分別為a b c 已知sinA cosA 0 a 2 b 2 1 求c 2 設D為BC邊上一點 且AD AC 求 ABD的面積 聯(lián)想解題 1 看到角平分線 想到面積法解題 2 1 由題意首先求得A 然后利用余弦定理列方程 邊長取方程的正實數(shù)根可得c 4 2 利用題意首先求得 ACD的面積 然后結合 ABC的面積可求得 ABD的面積為 規(guī)范解答 1 由面積得 acsin120 asin60 csin60 化簡得a c ac c a 1 4a c 4a 4a 1 4 a 1 5 2 5 9 當且僅當4 a 1 即a c 3時取等號 答案 9 2 1 因為sinA cosA 0 所以sinA cosA 所以tanA 因為A 0 所以A 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 代入a 2 b 2得c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 所以c 4 2 由 1 知c 4 因為c2 a2 b2 2abcosC 所以16 28 4 2 2 2 cosC 所以cosC 所以sinC 所以tanC 在Rt CAD中 tanC 所以 即AD 則S ADC 2 由 1 知S ABC bc sinA 2 4 2 所以S ABD S ABC S ADC 2 規(guī)律方法 正 余弦定理的應用思路 1 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式 要考慮用余弦定理 2 如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時 則考慮用正弦定理 3 以上特征都不明顯時 要考慮兩個定理都有可能用到 另外 解題中一定要注意三角形內角和定理的應用及角的范圍限制 對點訓練 1 2018 北京高考 若 ABC的面積為 a2 c2 b2 且 C為鈍角 則 B 的取值范圍是 解析 由余弦定理 a2 c2 b2 2accosB ABC的面積S a2 c2 b2 2accosB 又S acsinB 所以cosB sinB 因為角C為鈍角 所以cosB 0 所以tanB 又0 B 所以B 由正弦定理 又sinC sin A B sinAcosB sinBcosA sinA cosA 所以 因為B A B C 所以A C A C 又02 即的取值范圍是 2 答案 2 2 2018 天津高考 在 ABC中 內角A B C所對的邊分別為a b c 已知bsinA acos 1 求角B的大小 2 設a 2 c 3 求b和sin 2A B 的值 解析 1 在 ABC中 由正弦定理 可得bsinA asinB 又由bsinA acos 得asinB acos 即sinB cos 所以sinB cosB sinB 可得tanB 又因為B 0 可得B 2 在 ABC中 由余弦定理及a 2 c 3 B 有b2 a2 c2 2accosB 7 故b 由bsinA acos 可得sinA 因為a c 故cosA 因此sin2A 2sinAcosA cos2A 2cos2A 1 所以 sin 2A B sin2AcosB cos2AsinB 提分備選 如圖 在平面四邊形ABCD中 AB 1 BC 1 AD ABC 120 DAB 75 則CD A B 2C 2D 1 解析 選A 過D作DE AB于點E 過C作CF AB交AB延長線于點F 則DE CF CBF 60 DE ADsinA CF BCsin CBF 1 所以四邊形DEFC是矩形 所以CD EF AB AE BF 因為AE ADcosA BF BCcos CBF 1 所以CD 1 數(shù)學運算 解三角形的綜合問題中的數(shù)學素養(yǎng) 相關鏈接 解三角形的綜合問題的常見題型1 解三角形和三角函數(shù) 三角恒等變換的綜合問題 2 解三角形和函數(shù) 方程的綜合問題 3 解三角形與向量的綜合問題 4 解三角形的實際應用 命題角度1 解三角形與其他知識的綜合問題 典例1 2017 全國卷 ABC的內角A B C所對的邊分別為a b c 已知sin A C 8sin2 1 求cosB 2 若a c 6 ABC的面積為2 求b 規(guī)范解答 1 由題設及A B C 得 sinB 8sin2 故sinB 4 1 cosB 上式兩邊平方 整理得17cos2B 32cosB 15 0 解得cosB 1 舍去 cosB 2 由cosB 得sinB 故S ABC acsinB ac 又S ABC 2 則ac 由余弦定理及a c 6得 b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 1 cosB 36 2 4 所以b 2 典例2 在 ABC中 角A B C的對邊分別為a b c 且滿足 a c 1 求角B的大小 2 若 求 ABC面積的最大值 規(guī)范解答 1 a c 可化為 a c cosB cosC 即 a c cacosB cabcosC 所以 a c cosB bcosC 根據(jù)正弦定理有 sinA sinC cosB sinBcosC 所以sinAcosB sin C B 即sinAcosB sinA 因為sinA 0 所以cosB 即B 2 因為 所以 即b2 6 根據(jù)余弦定理b2 a2 c2 2accosB 可得6 a2 c2 ac 有基本不等式可知6 a2 c2 ac 2ac ac 2 ac 即ac 3 2 故 ABC的面積S acsinB ac 即當a c 時 ABC的面積的最大值為 命題角度2 解三角形的實際應用 典例3 如圖 漁船甲位于島嶼A的南偏西60 方向的B處 且與島嶼A相距12海里 漁船乙以10海里 時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行 若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東 的方向追趕漁船乙 剛好用2小時追上 此時到達C處 1 求漁船甲的速度 2 求sin 的值 解析 1 依題意知 BAC 120 AB 12海里 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 海里 所以漁船甲的速度為 14 海里 時 2 由 1 知BC 28海里 在 ABC中 BCA 由正弦定理得 即sin 規(guī)律方法 1 解三角形的一般思路 1 根據(jù)正 余弦定理把邊的關系都轉化為角的關系 通過三角恒等變換解決問題 2 根據(jù)正 余弦定理把角的關系轉化為邊的關系 通過代數(shù)變換解決問題 2 解三角形的實際應用問題的求解關鍵關鍵是把測量目標納入到一個可解三角形中 然后利用正 余弦定理求解 通關題組 1 在 ABC中 內角A B C的對邊分別為a b c 且a b是方程x2 2x 2 0的兩根 2cos A B 1 則 ABC的面積為 A B C D 解析 選C 因為在 ABC中 內角A B C的對邊分別為a b c 且a b是方程x2 2x 2 0的兩根 所以ab 2 又2cos A B 1 所以A B 60 C 120 所以 ABC的面積為 absinC 2 已知 ABC中 AB AC 3 cos ABC 若圓O的圓心在邊BC上 且與AB和AC所在的直線都相切 則圓O的半徑為 A B C D 解析 選B 如圖 易得BC 4 由于 ABC為等腰三角形 故O應為BC中點 本題即求BC中點O到AB距離 因為cos ABC 所以sin ABO BO AB cos ABO 2 由S ABO AB BO sin ABO AB r 可得 3 2 3 r 解得r 3 2018 浙江高考 在 ABC中 角A B C所對的邊分別為a b c 若a b 2 A 60 則sinB c 解析 由正弦定理得 得sinB 由余弦定理得cosA 解得c 3 答案 3 提分備選 2018 北京高考 在 ABC中 a 7 b 8 cosB 1 求 A 2 求AC邊上的高 解析 方法一 1 由余弦定理 cosB 解得c 5 舍 或c 3 所以cosA 又因為0 A 所以A 2 設AC邊上的高為h 則sinA 所以h csinA 3 sin 即AC邊上的高為 方法二 1 因為cosB 0 sinB 由正弦定理 即sinA sinB 又因為0 A 所以A 2 設AC邊上的高為h 則h asinC 由 1 及已知 sinC sin A B sinAcosB sinBcosA 所以h asinC 7 即AC邊上的高為