高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第4講 導數(shù)的熱點問題課件 文.ppt

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第4講導數(shù)的熱點問題 專題二函數(shù)與導數(shù) 欄目索引 2016 課標全國乙 已知函數(shù)f x x 2 ex a x 1 2有兩個零點 1 求a的取值范圍 高考真題體驗 解析答案 解f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 設a 0 則f x x 2 ex f x 只有一個零點 設a 0 則當x 1 時 f x 0 所以f x 在 1 上單調(diào)遞減 在 1 上單調(diào)遞增 故f x 存在兩個零點 解析答案 設a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 又當x 1時 f x 0 所以f x 不存在兩個零點 又當x 1時 f x 0 所以f x 不存在兩個零點 綜上 a的取值范圍為 0 2 設x1 x2是f x 的兩個零點 證明 x1 x2 2 證明不妨設x1f 2 x2 即f 2 x2 1時 g x 1時 g x 0 從而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2 解析答案 利用導數(shù)探求函數(shù)的極值 最值是函數(shù)的基本問題 高考中常與函數(shù)零點 方程根及不等式相結合 難度較大 考情考向分析 返回 熱點一利用導數(shù)證明不等式 用導數(shù)證明不等式是導數(shù)的應用之一 可以間接考查用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值 以及構造函數(shù)解題的能力 熱點分類突破 例1已知函數(shù)f x ex x2 a x R 曲線y f x 的圖象在點 0 f 0 處的切線方程為y bx 1 求函數(shù)y f x 的解析式 解根據(jù)題意 得f x ex 2x 則f 0 1 b 由切線方程可得切點坐標為 0 0 將其代入y f x 得a 1 故f x ex x2 1 解析答案 解析答案 證明令g x f x x2 x ex x 1 由g x ex 1 0 得x 0 當x 0 時 g x 0 g x 單調(diào)遞增 g x min g 0 0 f x x2 x 2 當x R時 求證 f x x2 x 解析答案 思維升華 3 若f x kx對任意的x 0 恒成立 求實數(shù)k的取值范圍 解f x kx對任意的x 0 恒成立等價于對任意的x 0 恒成立 思維升華 由 2 可知 當x 0 時 ex x 1 0恒成立 令 x 0 得x 1 令 x 0 得0 x 1 y x 的單調(diào)增區(qū)間為 1 單調(diào)減區(qū)間為 0 1 x min 1 e 2 k x min e 2 實數(shù)k的取值范圍為 e 2 用導數(shù)證明不等式的方法 1 利用單調(diào)性 若f x 在 a b 上是增函數(shù) 則 x a b 則f a f x f b 對 x1 x2 a b 且x1 x2 則f x1 f x2 對于減函數(shù)有類似結論 2 利用最值 若f x 在某個范圍D內(nèi)有最大值M 或最小值m 則對 x D 則f x M 或f x m 3 證明f x g x 可構造函數(shù)F x f x g x 證明F x 0 思維升華 解析答案 跟蹤演練1已知函數(shù)f x alnx 1 a 0 令 x 0 則x 1 當01時 x 0 所以 x 在 1 上單調(diào)遞增 故 x 在x 1處取到極小值也是最小值 故 x 1 0 解析答案 2 在區(qū)間 1 e 上f x x恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 故h x 在區(qū)間 1 e 上單調(diào)遞增 所以h x h 1 0 因為h x 0 所以g x 0 即g x 在區(qū)間 1 e 上單調(diào)遞增 熱點二利用導數(shù)討論方程根的個數(shù)方程的根 函數(shù)的零點 函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念 解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性 極值與最值 畫出函數(shù)圖象的走勢 通過數(shù)形結合思想直觀求解 解析答案 例2已知函數(shù)f x ax2 x 1 ex 其中e是自然對數(shù)的底數(shù) a R 1 若a 1 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 解當a 1時 f x x2 x 1 ex 所以f x x2 x 1 ex 2x 1 ex x2 3x ex 所以曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線斜率為k f 1 4e 又因為f 1 e 所以所求切線的方程為y e 4e x 1 即4ex y 3e 0 思維升華 解析答案 解當a 1時 f x x2 x 1 ex f x x2 x ex 所以y f x 在 1 上單調(diào)遞減 在 1 0 上單調(diào)遞增 在 0 上單調(diào)遞減 解析答案 思維升華 思維升華 因為函數(shù)y f x 與y g x 的圖象有3個不同的交點 所以f 1 g 0 1 函數(shù)y f x k的零點問題 可轉化為函數(shù)y f x 和直線y k的交點問題 2 研究函數(shù)y f x 的值域 不僅要看最值 而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢 思維升華 跟蹤演練2已知函數(shù)f x 2lnx x2 ax a R 1 當a 2時 求f x 的圖象在x 1處的切線方程 解當a 2時 f x 2lnx x2 2x 切線的斜率k f 1 2 則切線方程為y 1 2 x 1 即2x y 1 0 解析答案 解析答案 解析答案 熱點三利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題生活中的實際問題受某些主要變量的制約 解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來 建立目標問題即關于這個變量的函數(shù) 然后通過研究這個函數(shù)的性質(zhì) 從而找到變量在什么情況下可以達到目標最優(yōu) 解析答案 例3某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池 不計厚度 設該蓄水池的底面半徑為r米 高為h米 體積為V立方米 假設建造成本僅與表面積有關 側面的建造成本為100元 平方米 底面的建造成本為160元 平方米 該蓄水池的總建造成本為12000 元 為圓周率 1 將V表示成r的函數(shù)V r 并求該函數(shù)的定義域 解因為蓄水池側面的總成本為100 2 rh 200 rh 元 底面的總成本為160 r2元 所以蓄水池的總成本為 200 rh 160 r2 元 又根據(jù)題意得200 rh 160 r2 12000 思維升華 2 討論函數(shù)V r 的單調(diào)性 并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大 令V r 0 解得r1 5 r2 5 因為r2 5不在定義域內(nèi) 舍去 當r 0 5 時 V r 0 故V r 在 0 5 上為增函數(shù) 由此可知 V r 在r 5處取得最大值 此時h 8 即當r 5 h 8時 該蓄水池的體積最大 解析答案 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 1 建模 分析實際問題中各量之間的關系 列出實際問題的數(shù)學模型 寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng) f x 2 求導 求函數(shù)的導數(shù)f x 解方程f x 0 3 求最值 比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f x 0的點的函數(shù)值的大小 最大 小 者為最大 小 值 4 作答 回歸實際問題作答 思維升華 解析答案 跟蹤演練3經(jīng)市場調(diào)查 某商品每噸的價格為x 1 x 14 百元時 該商品的月供給量為y1萬噸 月需求量為y2萬噸 當該商品的需求量大于供給量時 銷售量等于供給量 當該商品的需求量不大于供給量時 銷售量等于需求量 該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積 因為1 x 14 所以1 x 6 由g x 0 得x 8 所以g x 在 6 8 上是增函數(shù) 在 8 14 上是減函數(shù) 解析答案 返回 2 記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格 若該商品的均衡價格不低于每噸6百元 求實數(shù)a的取值范圍 因為a 0 所以f x 在區(qū)間 1 14 上是增函數(shù) 若該商品的均衡價格不低于6百元 即函數(shù)f x 在區(qū)間 6 14 上有零點 押題依據(jù) 高考押題精練 解析答案 1 當a 0時 求曲線y f x 在 1 f 1 處的切線方程 2 求f x 的單調(diào)區(qū)間 返回 解析答案 押題依據(jù)有關導數(shù)的綜合應用試題多考查導數(shù)的幾何意義 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 導數(shù)與不等式等基礎知識和基本方法 考查分類整合思想 轉化與化歸思想等數(shù)學思想方法 本題的命制正是根據(jù)這個要求進行的 全面考查了考生綜合求解問題的能力 解析答案 在 0 2a 1 1 上單調(diào)遞增 當2a 1 1 即a 0時 函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 當2a 1 1 即a 0時 函數(shù)f x 在 1 2a 1 上單調(diào)遞減 在 0 1 2a 1 上單調(diào)遞增 當2a 1 0 即a 時 函數(shù)f x 在 0 1 上單調(diào)遞減 在 1 上單調(diào)遞增 解析答案 解析答案 解析答案 即x3 7x2 6x 0對任意的x 1 2 恒成立 令h x x3 7x2 6x x 1 2 則h x 3x2 14x 6 0恒成立 故函數(shù)h x 在區(qū)間 1 2 上是減函數(shù) 所以h x min h 2 8 只要 8 0即可 即 8 故實數(shù) 的取值范圍是 8 返回