2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 29.1 幾何問(wèn)題的處理方法1教案 華東師大版.doc

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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 29.1 幾何問(wèn)題的處理方法1教案 華東師大版教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)1掌握并會(huì)證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理；2利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問(wèn)題過(guò)程性目標(biāo)在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，掌握證明的書寫格式，提高演繹推理能力教學(xué)重點(diǎn)1掌握并會(huì)證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理；2利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，掌握證明的書寫格式，提高演繹推理能力一、情境導(dǎo)入請(qǐng)同學(xué)們按以下步驟畫ABC1任意畫線段BC；2以B、C為頂點(diǎn)，在BC的同側(cè)作銳角BC，角的兩邊交于點(diǎn)A 這個(gè)ABC是一個(gè)什么三角形？怎么知道ABC是一個(gè)等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD對(duì)折的方法，得到ABAC，這實(shí)際上就是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的等腰三角形的識(shí)別方法：等角對(duì)等邊同學(xué)們是否想過(guò)，為什么當(dāng)ABC沿AD對(duì)折時(shí)，AB與AC完全重合？現(xiàn)在我們可以用邏輯推理的方法去證明這個(gè)問(wèn)題二、探究歸納1求證：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等已知：如圖，在ABC中，BC求證：ABAC分析要證明ABAC，可設(shè)法構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，使AB，AC分別是這兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，因此可畫BAC的平分線AD等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊” 說(shuō)明(1)還可通過(guò)畫中線AD或BC邊上的高AD得全等三角形(2)推理形式：因?yàn)樵贏BC中，BC（已知）所以ABAC（等角對(duì)等邊）2同學(xué)們回憶一下，我們學(xué)過(guò)的等腰三角形具有哪些性質(zhì)？(1)等邊對(duì)等角；(2)等腰三角形的“三線合一”以前，我們也用折疊的方法（可演示一下）來(lái)認(rèn)識(shí)了這兩個(gè)性質(zhì)，現(xiàn)在同學(xué)們嘗試用邏輯推理的方法來(lái)證明等腰三角形的性質(zhì)先試著畫出圖形，寫出已知，求證求證：等腰三角形的兩個(gè)底角相等已知：ABC中，ABAC求證：BC分析仍可通過(guò)畫BAC的平分線AD來(lái)構(gòu)造全等三角形等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角” ）推理形式：因?yàn)锳BC中，ABAC（已知）所以BC（等邊對(duì)等角）說(shuō)明(1)也可作中線AD或BC邊上的高線AD；(2)由BADCAD，可進(jìn)一步推得BDCD，BDACDA90，因此AD也是中線，是BC邊上的高線等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)寫成“等腰三角形的三線合一” ）在半透明紙上畫AOB及角平分線OC，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PDOA，PEOB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E沿著射線OC對(duì)折，發(fā)現(xiàn)PD和PE完全重合，即PDPE，由此，我們得到了角平分線的性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)們來(lái)敘述這一性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等我們現(xiàn)在可以用邏輯推理的方法去證明這一性質(zhì)1.同學(xué)們按上述性質(zhì)畫出圖形，寫出已知、求證，老師及時(shí)補(bǔ)充已知：OC是AOB平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PDOA，PEOB，點(diǎn)D、E為垂足求證：PDPE分析只要去證明PD、PE所在的兩個(gè)直角三角形全等。角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等2.反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)角兩邊的距離相等，這個(gè)點(diǎn)是否就在這個(gè)角的平分線上呢？畫出圖形，我們通過(guò)證明來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題已知：如圖，QDOA，QEOB，點(diǎn)D、E為垂足，QDQE求證：點(diǎn)Q在AOB的平分線上分析要證點(diǎn)Q在AOB的平分線上，即QO是AOB的平分線，畫射線OQ，只要證AOQBOQ，利用HL證明DOQEOQ，得AOQBOQ角平分線判定定理：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上前面我們已經(jīng)用邏輯推理的方法證明了很多定理，如等腰三角形的性質(zhì)與判定定理、角平分線的性質(zhì)與判定定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定定理等，這些定理都是命題再如：“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”；“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”也是命題觀察這些命題的題設(shè)與結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)了什么？1命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的題設(shè)是_，結(jié)論是_；命題“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的題設(shè)是_，結(jié)論是_在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)就叫做它的逆命題所以上述兩個(gè)命題叫做互逆命題，如“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”為原命題，則“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”為逆命題，反之也可以2每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的題設(shè)與結(jié)論互換，便可得到原命題的逆命題但是，原命題正確，它的逆命題未必正確，也就是說(shuō)原命題與逆命題的真假之間沒(méi)有必然的聯(lián)系比如“對(duì)頂角相等”是真命題，但它的逆命題“相等的角是對(duì)頂角”是一個(gè)假命題3我們知道定理是命題，所以定理一定有逆命題我們還知道定理是真命題，但定理的逆命題卻不一定是真命題，如果是真命題，則定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理比如我們剛才所講的命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”；“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”都是定理，因此它們就是互逆定理再比如等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理也是互逆定理，同學(xué)們能否再舉一些互逆定理？例題：例1如圖，ABC中，ABAC，E是AC上一點(diǎn)，A2EBC求證：BEAC分析由已知條件A2EBC，聯(lián)想到作A的平分線AD，則CADEBC，且ADBC，所以EBCCCADC90，即BEAC例2 如圖，已知BEAC，CDAB，垂足分別是E、D，BE、CD相交于點(diǎn)O，且12求證：OBOC分析 要證明OBOC，只要證明OBDOCE，可利用角平分線及垂線的條件得ODOE例3 寫出下列命題的逆命題，判斷原命題與逆命題的真假(1)全等三角形的面積相等；(2)同角的余角相等；(3)如果|a|b|，那么ab；(4)到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；(5)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等例4 寫出勾股定理“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆命題，并證明逆命題是真命題已知：ABC中，ABc，BCa，ACb，且a2+b2c2求證：ABC是直角三角形分析 首先構(gòu)造一個(gè)直角三角形ABC，使得C90，BCa， CAb，然后可以證明ABCABC，從而可知ABC是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形例5 如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)a為的正方形，M為AB中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，且AEAD求證：EMC是直角三角形作業(yè)：1、如圖，已知ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點(diǎn)F求證：點(diǎn)F在DAE的平分線上2如圖，已知RtABC中，C90，ACBC，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D求證：ABCD+AC3給定一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5、12，當(dāng)?shù)谌龡l邊為多長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形？