2019-2020年高中數(shù)學 創(chuàng)新思維點撥 空間向量及其運算 北師大版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 創(chuàng)新思維點撥 空間向量及其運算 北師大版選修2-1【高考導航】本節(jié)內(nèi)容是高中教材新增加的內(nèi)容，在近兩年的高考考查中多作為解題的方法進行考查，主要是解題的方法上因引入向量得以擴展.【綜合應用創(chuàng)新思維點撥】一、學科內(nèi)綜合思維點撥【例1】 已知兩個非零向量e1、e2不共線，如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-3e2.求證：A、B、C、D共面.思維入門指導：要證A、B、C、D四點共面，只要能證明三向量、共面，于是只要證明存在三個非零實數(shù)、使+=0即可.證明:設(shè)(e1+e2)+(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=0.則(+2+3)e1+(+8-3)e2=0.e1、e2不共線，上述方程組有無數(shù)多組解,而=-5,=1,=1就是其中的一組,于是可知-5+=0.故、共面，所以A、B、C、D四點共面.點撥：尋找到三個非零實數(shù)=-5,=1,=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系數(shù)法.二、應用思維點撥【例2】 某人騎車以每小時公里的速度向東行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為2時，感到風從東北方向吹來.試求實際風速和風向.思維入門指導：速度是矢量即為向量.因而本題先轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)學模型，然后進行求解，求風速和風向?qū)嵸|(zhì)是求一向量.解:設(shè)a表示此人以每小時公里的速度向東行駛的向量.在無風時,此人感到風速為-a,設(shè)實際風速為v,那么此人感到的風速向量為v-a.如圖9-5-2.設(shè)=-a,=-2a.由于+=,從而=v-a.這就是感受到的由正北方向吹來的風.其次，由于+=，從而v-2=.于是，當此人的速度是原來的2倍時感受到由東北方向吹來的風就是.由題意,得PBO=45, PABO，BA=AO，從而PBO為等腰直角三角形.故PO=PB=.即|v|=.答：實際吹來的風是風速為的西北風.點撥：向量與物理中的矢量是同樣的概念，因而物理中的有關(guān)矢量的求解計算在數(shù)學上可化歸到平面向量或空間向量進行計算求解.知識的交叉點正是高考考查的重點，也能體現(xiàn)以能力立意的高考方向.三、創(chuàng)新思維點撥【例3】 如圖9-5-3(1)，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.（1）用向量法證明E、F、G、H四點共面；（2）用向量法證明BD平面EFGH.思維入門指導:(1)要證E、F、G、H四點共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實數(shù)x,y,使=x+y即可;(2)要證BD平面EFGH,只需證向量與共線即可.證明:(1)如圖9-5-3(2),連結(jié)BG,則=+=+(+)=+=+.由共面向量定理推論知，E、F、G、H四點共面.(2)=-=-=(-)=,EHBD.又EH面EFGH，BD面EFGH，BD平面EFGH.點撥：利用向量證明平行、共面是創(chuàng)新之處，比較以前純幾何的證明，顯而易見用向量證明比較簡單明快.這也正是幾何問題研究代數(shù)化的特點.【例4】 如圖9-5-4，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為D1C1的中點，試求A1C1與DE所成角.思維入門指導：在正方體AC1中，要求A1C1與DE所成角,只需求與所成角即可.要求與所成角，則可利用向量的數(shù)量積，只要求出及|和|即可.解:設(shè)正方體棱長為m,=a,=b,=c.則|a|=|b|=|c|=m，ab=bc=ca=0.又=+=+=a+b,=+=+=c+a,=(a+b)(c+a)=ac+bc+a2+ab=a2=m2.又|=m,|=m,cos=.=arccos.即A1C1與DE所成角為arccos.點撥：A1C1與DE為一對異面直線.在以前的解法中求異面直線所成角要先找（作），后求.而應用向量可以不作或不找直接求.簡化了解題過程，降低了解題的難度.解題過程中先把及用同一組基底表示出來,再去求有關(guān)的量是空間向量運算常用的手段.四、高考思維點撥【例5】 （xx，全國，12分）如圖9-5-5，已知平行六面體ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求證：C1CBD；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r,能使A1C平面C1BD?請給出證明.思維入門指導：根據(jù)兩向量的數(shù)量積公式ab=|a|b|cos知，兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即abab=0, 所以要證明兩直線垂直,只要證明兩直線對應的向量數(shù)量積為零即可.(1)證明:設(shè)=a,=b,=c.由題可知|a|=|b|.設(shè)、中兩兩所成夾角為,于是=-=a-b,=c(a-b)=ca-cb=|c|a|cos-|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解:若使A1C平面C1BD,只須證A1CBD,A1CDC1,由于:=(+)(-)=(a+b+c)(a-c)=|a|2+ab-bc-|c|2=|a|2+|b|a|cos-|b|c|cos-|c|2=0,得當|a|=|c|時A1CDC1.同理可證當|a|=|c|時,A1CBD.=1時,A1C平面C1BD.點撥：對于向量數(shù)量積的運算一些結(jié)論仍是成立的.（a-b）（a+b）=a2-b2；(ab)2=a22ab+b2.五、經(jīng)典類型題思維點撥【例6】 證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點，且互相平分.（此點稱為四面體的重心）思維入門指導：如圖9-5-6所示四面體ABCD中，E、F、G、H、P、Q分別為各棱中點.要證明EF、GH、PQ相交于一點O，且O為它們的中點.可以先證明兩條直線EF、GH相交于一點O，然后證明P、O、Q三點共線，即、共線.從而說明PQ直線也過O點.證明：E、G分別為AB、AC的中點，EGBC.同理HFBC.EGHF.從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF、GH相交于一點O，且O為它們的中點，連接OP、OQ.=+,=+,而O為GH的中點，+=0,GPCD，QHCD.=,=.+=+=0+-=0.=-.PQ經(jīng)過O點，且O為PQ的中點.點撥:本例也可以用共線定理的推論來證明,事實上,設(shè)EF的中點為O.連接OP、OQ,則=-,而=-,=-2,則=-+2,=(+)，從而看出O、P、Q三點共線且O為PQ的中點，同理可得GH邊經(jīng)過O點且O為GH的中點，從而原命題得證.六、探究性學習點撥【例7】 如圖9-5-7所示，對于空間某一點O，空間四個點A、B、C、D（無三點共線）分別對應著向量a=，b=,c=,d=.求證：A、B、C、D四點共面的充要條件是存在四個非零實數(shù)、，使a+b+c+d=0，且+=0.思維入門指導：分清充分性和必要性，應用共面向量定理.證明：(必要性)假設(shè)A、B、C、D共面，因為A、B、C三點不共線，故，兩向量不共線，因而存在實數(shù)x、y，使=x+y,即d-a=x(b-a)+y(c-a),(x+y-1)a-xb-yc+d=0.令=x+y-1, =-x,=-y,=1.則a+b+c+d=0,且+=0.（充分性）如果條件成立，則=-(+),代入得a+b+c+d=a+b+c-(+)d=0.即(a-d)+ (b-d)+(c-d)=0.又a-d=-=,b-d=,c-d=,+=0.、為非零實數(shù),不妨設(shè)0.則=-.與、共面，即A、B、C、D共面.點撥：在討論向量共線或共面時，必須注意零向量與任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它們所在直線的平行性、共面關(guān)系來確定向量關(guān)系.