2019-2020年高中數(shù)學 創(chuàng)新思維點撥 空間向量及其運算 北師大版選修2-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學 創(chuàng)新思維點撥 空間向量及其運算 北師大版選修2-1【高考導航】本節(jié)內容是高中教材新增加的內容,在近兩年的高考考查中多作為解題的方法進行考查,主要是解題的方法上因引入向量得以擴展.【綜合應用創(chuàng)新思維點撥】一、學科內綜合思維點撥【例1】 已知兩個非零向量e1、e2不共線,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2.求證:A、B、C、D共面.思維入門指導:要證A、B、C、D四點共面,只要能證明三向量、共面,于是只要證明存在三個非零實數(shù)、使+=0即可.證明:設(e1+e2)+(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=0.則(+2+3)e1+(+8-3)e2=0.e1、e2不共線,上述方程組有無數(shù)多組解,而=-5,=1,=1就是其中的一組,于是可知-5+=0.故、共面,所以A、B、C、D四點共面.點撥:尋找到三個非零實數(shù)=-5,=1,=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系數(shù)法.二、應用思維點撥【例2】 某人騎車以每小時公里的速度向東行駛,感到風從正北方向吹來,而當速度為2時,感到風從東北方向吹來.試求實際風速和風向.思維入門指導:速度是矢量即為向量.因而本題先轉化為向量的數(shù)學模型,然后進行求解,求風速和風向實質是求一向量.解:設a表示此人以每小時公里的速度向東行駛的向量.在無風時,此人感到風速為-a,設實際風速為v,那么此人感到的風速向量為v-a.如圖9-5-2.設=-a,=-2a.由于+=,從而=v-a.這就是感受到的由正北方向吹來的風.其次,由于+=,從而v-2=.于是,當此人的速度是原來的2倍時感受到由東北方向吹來的風就是.由題意,得PBO=45, PABO,BA=AO,從而PBO為等腰直角三角形.故PO=PB=.即|v|=.答:實際吹來的風是風速為的西北風.點撥:向量與物理中的矢量是同樣的概念,因而物理中的有關矢量的求解計算在數(shù)學上可化歸到平面向量或空間向量進行計算求解.知識的交叉點正是高考考查的重點,也能體現(xiàn)以能力立意的高考方向.三、創(chuàng)新思維點撥【例3】 如圖9-5-3(1),已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面;(2)用向量法證明BD平面EFGH.思維入門指導:(1)要證E、F、G、H四點共面,根據共面向量定理的推論,只要能找到實數(shù)x,y,使=x+y即可;(2)要證BD平面EFGH,只需證向量與共線即可.證明:(1)如圖9-5-3(2),連結BG,則=+=+(+)=+=+.由共面向量定理推論知,E、F、G、H四點共面.(2)=-=-=(-)=,EHBD.又EH面EFGH,BD面EFGH,BD平面EFGH.點撥:利用向量證明平行、共面是創(chuàng)新之處,比較以前純幾何的證明,顯而易見用向量證明比較簡單明快.這也正是幾何問題研究代數(shù)化的特點.【例4】 如圖9-5-4,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為D1C1的中點,試求A1C1與DE所成角.思維入門指導:在正方體AC1中,要求A1C1與DE所成角,只需求與所成角即可.要求與所成角,則可利用向量的數(shù)量積,只要求出及|和|即可.解:設正方體棱長為m,=a,=b,=c.則|a|=|b|=|c|=m,ab=bc=ca=0.又=+=+=a+b,=+=+=c+a,=(a+b)(c+a)=ac+bc+a2+ab=a2=m2.又|=m,|=m,cos<,>=.<,>=arccos.即A1C1與DE所成角為arccos.點撥:A1C1與DE為一對異面直線.在以前的解法中求異面直線所成角要先找(作),后求.而應用向量可以不作或不找直接求.簡化了解題過程,降低了解題的難度.解題過程中先把及用同一組基底表示出來,再去求有關的量是空間向量運算常用的手段.四、高考思維點撥【例5】 (xx,全國,12分)如圖9-5-5,已知平行六面體ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD.(1)求證:C1CBD;(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r,能使A1C平面C1BD?請給出證明.思維入門指導:根據兩向量的數(shù)量積公式ab=|a|b|cos<a,b>知,兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即abab=0, 所以要證明兩直線垂直,只要證明兩直線對應的向量數(shù)量積為零即可.(1)證明:設=a,=b,=c.由題可知|a|=|b|.設、中兩兩所成夾角為,于是=-=a-b,=c(a-b)=ca-cb=|c|a|cos-|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解:若使A1C平面C1BD,只須證A1CBD,A1CDC1,由于:=(+)(-)=(a+b+c)(a-c)=|a|2+ab-bc-|c|2=|a|2+|b|a|cos-|b|c|cos-|c|2=0,得當|a|=|c|時A1CDC1.同理可證當|a|=|c|時,A1CBD.=1時,A1C平面C1BD.點撥:對于向量數(shù)量積的運算一些結論仍是成立的.(a-b)(a+b)=a2-b2;(ab)2=a22ab+b2.五、經典類型題思維點撥【例6】 證明:四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點,且互相平分.(此點稱為四面體的重心)思維入門指導:如圖9-5-6所示四面體ABCD中,E、F、G、H、P、Q分別為各棱中點.要證明EF、GH、PQ相交于一點O,且O為它們的中點.可以先證明兩條直線EF、GH相交于一點O,然后證明P、O、Q三點共線,即、共線.從而說明PQ直線也過O點.證明:E、G分別為AB、AC的中點,EGBC.同理HFBC.EGHF.從而四邊形EGFH為平行四邊形,故其對角線EF、GH相交于一點O,且O為它們的中點,連接OP、OQ.=+,=+,而O為GH的中點,+=0,GPCD,QHCD.=,=.+=+=0+-=0.=-.PQ經過O點,且O為PQ的中點.點撥:本例也可以用共線定理的推論來證明,事實上,設EF的中點為O.連接OP、OQ,則=-,而=-,=-2,則=-+2,=(+),從而看出O、P、Q三點共線且O為PQ的中點,同理可得GH邊經過O點且O為GH的中點,從而原命題得證.六、探究性學習點撥【例7】 如圖9-5-7所示,對于空間某一點O,空間四個點A、B、C、D(無三點共線)分別對應著向量a=,b=,c=,d=.求證:A、B、C、D四點共面的充要條件是存在四個非零實數(shù)、,使a+b+c+d=0,且+=0.思維入門指導:分清充分性和必要性,應用共面向量定理.證明:(必要性)假設A、B、C、D共面,因為A、B、C三點不共線,故,兩向量不共線,因而存在實數(shù)x、y,使=x+y,即d-a=x(b-a)+y(c-a),(x+y-1)a-xb-yc+d=0.令=x+y-1, =-x,=-y,=1.則a+b+c+d=0,且+=0.(充分性)如果條件成立,則=-(+),代入得a+b+c+d=a+b+c-(+)d=0.即(a-d)+ (b-d)+(c-d)=0.又a-d=-=,b-d=,c-d=,+=0.、為非零實數(shù),不妨設0.則=-.與、共面,即A、B、C、D共面.點撥:在討論向量共線或共面時,必須注意零向量與任意向量平行,并且向量可以平移,因而不能完全按照它們所在直線的平行性、共面關系來確定向量關系.