線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性ppt課件

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Ch.4 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性,1,目錄(1/1),目 錄 概述 4.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性 4.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性 4.3 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性 4.4 對(duì)偶性原理 4.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點(diǎn)相消 4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形 4.7 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題 4.8 Matlab問(wèn)題 本章小結(jié),2,線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性(1/2),4.3 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性 本節(jié)主要講述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性的定義和判據(jù)。 由于線性連續(xù)系統(tǒng)只是線性離散系統(tǒng)當(dāng)采樣周期趨于無(wú)窮小時(shí)的無(wú)限近似,所以 離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性的定義與線性連續(xù)系統(tǒng)的極其相似, 能控性/能觀性判據(jù)則在形式上基本一致。,3,線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性(2/2),本節(jié)的關(guān)鍵問(wèn)題為: 基本概念: 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性 基本方法: 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性/能觀性的判別方法 離散化系統(tǒng)的能控性/能觀性 本節(jié)的主要內(nèi)容為: 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性 離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性,重點(diǎn)喔!,4,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性(1/2),4.3.1 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性 狀態(tài)能控性討論的是系統(tǒng)輸入對(duì)狀態(tài)空間中任意初始狀態(tài)控制到坐標(biāo)原點(diǎn)(平衡態(tài))的能力, 而狀態(tài)能達(dá)性討論的是系統(tǒng)輸入對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)(平衡態(tài))的初始狀態(tài)控制到狀態(tài)空間中任意狀態(tài)的能力。 對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),狀態(tài)能控性與能達(dá)性雖然定義不同,兩者的判據(jù)卻是等價(jià)的, 但對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)來(lái)說(shuō),這兩者無(wú)論定義還是判據(jù)有所不同。,5,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性(2/2),與線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性問(wèn)題一樣,對(duì)線性離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性問(wèn)題也可只考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程,與輸出方程和輸出變量y(k)無(wú)關(guān)。 對(duì)線性定常離散系統(tǒng),我們有如下 狀態(tài)能控性與能達(dá)性定義 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù) 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù),6,線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(1/4)能控性定義,1. 線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義 定義4-1 對(duì)線性定常離散系統(tǒng) x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 若對(duì)某個(gè)初始狀態(tài)x(0),存在控制作用序列u(0),u(1), u(n-1),使系統(tǒng)在第n步上達(dá)到到原點(diǎn),即x(n)=0,則稱狀態(tài)x(0)能控; 若狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能控,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控; 即,若邏輯關(guān)系式 x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)=0) 為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。,7,線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(2/4)能控性定義,若存在某個(gè)狀態(tài)x(0)不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能控。 即,若邏輯關(guān)系式 x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)0) 為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 在上述狀態(tài)能控性定義中,只要求在n步之內(nèi)尋找控制作用,使得系統(tǒng)狀態(tài)在第n步上到達(dá)原點(diǎn)。 這是因?yàn)?可以證明,若離散系統(tǒng)在n步之內(nèi)不存在控制作用使得對(duì)任意初始狀態(tài)控制到原點(diǎn),則在n步以后也不存在控制作用使?fàn)顟B(tài)在有限步之內(nèi)控制到原點(diǎn)。 故在上述定義中,只要求系統(tǒng)在n步之內(nèi)尋找控制作用。,8,線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(3/4)能達(dá)性定義,定義4-5(線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能達(dá)性定義) 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)(G,H)， 若對(duì)某個(gè)最終狀態(tài)x1,存在控制作用序列u(0),u(1), u(n-1),使得系統(tǒng)狀態(tài)從零狀態(tài)在第n步上到達(dá)最終狀態(tài)x1,即x(n)=x1,則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)x1是能達(dá)的。 若系統(tǒng)對(duì)狀態(tài)空間中所有狀態(tài)都能達(dá),則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá),簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能達(dá)。 即,若數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系式 x1 u(k)(k0,n-1 x(0)=0x(n)=x1 為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)。 若系統(tǒng)存在某個(gè)狀態(tài)x1不滿足上述條件,則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能達(dá)的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能達(dá)。,9,線性定常離散系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性定義(4/4)能達(dá)性定義,從能控性與能達(dá)性兩者的定義可知,在系統(tǒng)控制問(wèn)題中, 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題多與能控性有關(guān), 而跟蹤、伺服問(wèn)題多與能達(dá)性有關(guān)。,10,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(1/9),2. 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù) 與線性定常連續(xù)系統(tǒng)不同,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達(dá)性的判據(jù)兩者不等價(jià)。 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性與連續(xù)系統(tǒng)的能控性/能達(dá)性判據(jù)形式上完全一致,而狀態(tài)能控性的判據(jù)則有所區(qū)別。 下面給出并敘述線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性的秩判據(jù)定理。,11,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(2/9)-定理4-12,定理4-12(線性定常離散系統(tǒng)能控性秩判據(jù)) 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)(G,H),有如下?tīng)顟B(tài)能控性結(jié)論: 1) 若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則狀態(tài)完全能控的充要條件為如下定義的能控性矩陣: Qc=H GH Gn-1H 滿秩，即 rankQc=n 2) 若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則為系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件為 rankQc=rankQc Gn,12,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(3/9 )-定理4-12,證明 由第3章的線性定常離散系統(tǒng)的解理論,可得狀態(tài)方程的解如下:,設(shè)在第n步上能使初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài),于是上式可記為,即,13,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(4/9 )-定理4-12,上式寫(xiě)成矩陣形式即為,這是一個(gè)非齊次線性代數(shù)方程,由線性方程解的存在性理論可知,上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要條件為 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn x(0),14,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(5/9 )-定理4-12,考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)是屬于n維狀態(tài)空間中任意一個(gè)狀態(tài),因此上式等價(jià)于 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn 即證明了系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件為能控性矩陣滿足 rankQc=rankQc Gn 即定理的結(jié)論2)得以證明。,15,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(6/9 )-定理4-12,當(dāng)系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),顯然有 rankGn=n 因此 rankH GH Gn-1H Gn=n 所以由結(jié)論1可知,在系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件為 rankQc=rankH GH Gn-1H=n,16,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(7/9)例4-11,解 由線性定常離散系統(tǒng)的能控性矩陣的定義有,但,因此 rankQc=rankQc G2 由定理4-12的結(jié)論2可知,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。,例4-11 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性,17,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(8/9)例4-12,解 判斷一：由系統(tǒng)狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有,但,例4-12 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性,18,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)(9/9),因此 rankQcrankQc G3 由定理4-12的結(jié)論2可知,該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 判斷二： 由于G為可逆矩陣 rankQc =13=n, 因此由定理4-12的結(jié)論1可判別出系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 ,19,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(1/4),2. 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù) 由上述線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性代數(shù)判據(jù)可知,離散系統(tǒng)的能控性與連續(xù)系統(tǒng)的能控性存在一定的差別。 由系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣組成的能控性矩陣的秩等于狀態(tài)變量的個(gè)數(shù),對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，這是狀態(tài)完全能控的充分必要條件, 而對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性則僅是一個(gè)充分條件。,20,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(2/4),造成線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)形式上有差別的原因在于： 線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能達(dá)性是兩個(gè)等價(jià)的概念,而線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能達(dá)性則是兩個(gè)不等價(jià)的概念。 定理4-13(線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性秩判據(jù)) 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)(G,H)狀態(tài)完全能達(dá)的充分必要條件為能控性矩陣Qc=H GH Gn-1H滿秩，即 rank Qc=n,21,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(3/4),定理4-14(線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性模態(tài)判據(jù)) 對(duì)約旦規(guī)范形的線性定常離散系統(tǒng)(G,H),有 1若系統(tǒng)矩陣G為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能達(dá)的充分必要條件為 對(duì)應(yīng)G的每個(gè)約旦塊的H的分塊的最后一行都不全為零。 若G為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能達(dá)的充分必要條件為 對(duì)應(yīng)于G的每個(gè)特征值的所有約旦塊的H的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)。,22,線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性判據(jù)(4/4),定理4-15(線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性PHB秩判據(jù)) 線性離散連續(xù)系統(tǒng)(G,H)狀態(tài)完全能控的充分必要條件為： 對(duì)于所有的復(fù)數(shù),下式成立 rankI-G H=n C1,23,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(1/9),4.3.2 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性 與線性連續(xù)系統(tǒng)一樣,線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性只與系統(tǒng)輸出y(t)以及系統(tǒng)矩陣G和輸出矩陣C有關(guān), 即只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。 下面我們先引入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的定義。,24,對(duì)初始狀態(tài)x(0),根據(jù)在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出向量y(k)的序列y(0),y(1),y(n-1)能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0),則稱狀態(tài)x(0)能觀; 若對(duì)狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀,簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)能觀。 即,若數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系式,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(2/9)能觀性定義,定義4-3 若線性定常離散系統(tǒng),為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。,25,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(3/9),若存在某個(gè)狀態(tài)x(0)不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀。 在線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性定義中,只要求以在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出來(lái)確定系統(tǒng)的狀態(tài)。 這是因?yàn)?可以證明: 如果由n個(gè)采樣周期內(nèi)的輸出向量序列不能唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài),則由多于n個(gè)采樣周期的輸出向量序列也不能唯一確定系統(tǒng)初始狀態(tài)。 對(duì)線性定常離散系統(tǒng),存在與線性定常連續(xù)系統(tǒng)在形式上完全一致的狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)和模態(tài)判據(jù)。 下面我們先介紹代數(shù)判據(jù)。,26,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(4/9)能觀性判據(jù)代數(shù),滿秩,即 rankQo=n ,定理4-16 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全能觀的充分必要條件為如下定義的能觀性矩陣:,27,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(5/9)能觀性判據(jù)證明,證明 本定理的證明可直接由線性代數(shù)方程組的解唯一性理論給出。 由第3章中線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的求解公式,可得 y(0)=Cx(0) y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0) 將上述n個(gè)方程寫(xiě)成矩陣的形式,有,28,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(6/9)例20,因此,由線性方程的解存在性理論可知,無(wú)論輸出向量的維數(shù)是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要條件為 rankQo=n 由能觀性的定義可知,上式亦為線性定常離散系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全能觀的充要條件。 于是定理得證。 ,29,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(7/9)例4-13,例4-13 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,解 由狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)有,對(duì)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,還有如下模態(tài)判據(jù)。,30,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(8/9)能觀性模態(tài)判據(jù),對(duì)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,還有如下模態(tài)判據(jù)。 定理4-17 對(duì)為約旦規(guī)范形(對(duì)角線規(guī)范形為其特例)的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(G,C),有: 1) 若G為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為對(duì)應(yīng) G的每個(gè)約旦塊的C的分塊的第一列都不全為零; 2) 若G為某特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為對(duì)應(yīng)G的每個(gè)特征值的 所有約旦塊的C的分塊的第一列線性無(wú)關(guān)。 ,31,線性定常離散系統(tǒng)的能觀性(9/9)能觀性模態(tài)判據(jù),定理4-18 線性定常離散系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全能觀的充要必條件為: 對(duì)于所有的復(fù)數(shù),下式成立:,32,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(1/11),4.3.3 離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性 這里所要討論的離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性問(wèn)題,是指: 1. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)離散化后是否仍能保持其狀態(tài)能控性/能觀性? 2. 離散化系統(tǒng)能控性和能觀性與原連續(xù)系統(tǒng)的能控性/能觀性之間的關(guān)系? 該問(wèn)題是計(jì)算機(jī)控制中一個(gè)十分重要的問(wèn)題。 在具體討論之前,先看一個(gè)例子。,33,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(2/11)例21,解 1. 求原連續(xù)系統(tǒng)的能控性和能觀性。 因?yàn)?故原連續(xù)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀的。,例4-14 判斷如下線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)能控性和能觀性。,34,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(3/11),2. 求連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng). 由第3章中的離散化步驟,有,即系統(tǒng)特征值為s1=j,s2=-j,由求矩陣指數(shù)函數(shù)的有限項(xiàng)矩陣法有,因此,有,35,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(4/11),即經(jīng)離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為,36,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(5/11),3. 求離散化后的系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性。 由上述離散化后系統(tǒng)的狀態(tài)方程,有如下?tīng)顟B(tài)能控性矩陣和能觀性矩陣:,由于系統(tǒng)矩陣G=eAT為可逆矩陣,故由定理4-12和定理4-13可知, 離散化系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控和完全能觀的充分必要條件為能控性矩陣Qc和能觀性矩陣Qo均滿秩。,37,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(6/11),因此,此時(shí)離散化系統(tǒng)是既不能控又不能觀的。 若取Tk(k=1,2,),即sinT0,cosT1,則有 |Qc|=sinT(-sin2T-cos2T+2cosT-1)=2sinT(cosT-1)0 |Qo|=sinT0 即Qc和Qo均為滿秩矩陣,則此時(shí)離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全能控又完全能觀。,若取T=k(k=1,2,),即sinT=0,cosT=1,則有,38,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(7/11),從上述例題中可以清楚地看出, 若連續(xù)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控/能觀的,經(jīng)離散化后能否保持系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控/能觀,這完全取決于系統(tǒng)采樣周期的選擇。,39,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(8/11),經(jīng)精確離散化的狀態(tài)空間模型為,其中,對(duì)離散化系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性與原連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性/能觀性以及采樣周期T的選擇的關(guān)系有如下結(jié)論: 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,40,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(9/11),則連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)和其離散化系統(tǒng)(G,H,C)兩者之間的狀態(tài)能控性和能觀性關(guān)系為: 1. 如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控(不完全能觀),則其離散化系統(tǒng)必是狀態(tài)不完全能控(不完全能觀)的; 2. 如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控(能觀)且其特征值全部為實(shí)數(shù),則其離散化系統(tǒng)必是狀態(tài)完全能控(能觀)的; 3. 如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控(能觀)且存在共軛復(fù)數(shù)特征值,則其離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全能控(能觀)的充分條件為: 對(duì)于所有滿足Rei-j=0的A的特征值i和j應(yīng)滿足 T2k/Imi-j k=1,2,3, 其中符號(hào)Re和Im分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分。,41,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(10/11),利用上述離散化系統(tǒng)能控性/能觀性結(jié)論,有如下算例: 在例4-14中,A的特征值為1=j,2=-j,即滿足Re1-2=0。 所以當(dāng) T2k/Imi-j=k k=1,2,3, 時(shí),離散化系統(tǒng)才狀態(tài)完全能控和完全能觀。 再如,若某能控能觀的連續(xù)系統(tǒng)的特征值分別為: -2j -2 -23j -34j 則采樣周期T不能取 對(duì)特征值對(duì)-2j, T2k/2 對(duì)特征值對(duì)-2j與特征值-2的組合, T2k,42,離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性(11/11),對(duì)特征值對(duì)-2j與-23j的組合, T2k/4, 2k/4 對(duì)特征值-2與特征值對(duì)-23j的組合, T2k/3 對(duì)特征值對(duì)-23j, T2k/6 對(duì)特征值對(duì)-34j, T2k/8 因此,經(jīng)整理,可得 Tk/4, k/3 k=1,2,3,43,