2019-2020年高三數學一輪復習講義 對數與對數函數教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數學一輪復習講義 對數與對數函數教案 新人教A版高考要求： 1.理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化為自然對數或常用對數，了解對數在簡化運算中的作用.2.理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性與函數圖象通過的特殊點，知道指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數(a0，a1)，體會對數函數是一類重要的函數模型知識梳理1.對數的概念(1)對數的定義如果axN(a0且a1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作_ xlogaN _，其中_ a _叫做對數的底數，_ N _叫做真數.真數N為正數（負數和零無對數）說明：實質上，上述對數表達式，不過是指數函數的另一種表達形式，例如：與 這兩個式子表達是同一關系，因此，有關系式“”同“+”“”“”等符號一樣，表示一種運算，即已知一個數和它的冪求指數的運算，這種運算叫對數運算，不過對數運算的符號寫在數的前面。對數的底數和真數從對數的實質看：如果abN(a0且a1)，那么b叫做以a為底N的對數，即blogaN.它是知道底數和冪求指數的過程.底數a從定義中已知其大于0且不等于1；N在對數式中叫真數，在指數式中，它就是冪，所以它自然應該是大于0的.(2)幾種常見對數對數形式特點記法一般對數底數為a(a0且a1)logaN常用對數底數為_10_lg_N自然對數底數為_e_ln_N2對數的性質與運算法則(1)對數的性質(a0且a1)_ N _；_0_；_ N _； _1_. (2)對數的重要公式換底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣ogablogbclogcd_ logad _.(3)對數的運算法則如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_ logaMlogaN _；loga_ logaMlogaN_；logaMn_ nlogaM _ (nR)；logaM.點評：（1）要熟練掌握公式的運用和逆用。（2）在使用公式的過程中，要注意公式成立的條件。例如：真數為兩負數的積，不能寫成=3.對數函數的圖象與性質 對數函數定義：函數稱對數函數，說明：（1）一個函數為對數函數的條件是：系數為1； 底數為大于0且不等于1的正常數； 變量為真數. 在對數式中，真數必須是大于0的，所以對數函數ylogax的定義域應為x|x0. 對數型函數的定義域：特別應注意的是：真數大于零、底數大于零且不等于1。函數圖像：1）對數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；3）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。a10a1時，_ y0_當0x1時，_ y1時，_ y0_當0x0_(6)在(0，)上是_增_(7)在(0，)上是_減_變化對圖象的影響在第一象限內，從順時針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內，從順時針方向看圖象，逐漸減小.奇偶性非奇非偶4.反函數反函數及其性質互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱。若函數上有一點，則必在其反函數圖象上，反之若在反函數圖象上，則必在原函數圖象上。由對數的定義容易知道:指數函數yax與對數函數_.ylogax _互為反函數，它們的圖象關于直線_yx _對稱. 由指數函數的定義域，值域，容易得到對數函數的定義域為，值域為，題型分析題型一對數形式與指數形式的互化例1（1）下列指數式改寫成對數式； ； （2）下列對數式改寫成指數式； ；（3）求下列各式的； ； 解析由，得，即；由，得，即，故；由，得故；由，得故(4)若loga2=m,loga3=n,a2m+n= 12 。點評對數的定義是對數形式和指數形式互化的依據，而對數形式與指數形式的互化又是解決問題重要手段。題型二對數式的化簡與求值例2（1）計算下列各式.lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(log32log92)(log43log83).解原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.原式.原式.（2）已知求解法一：，解法二：（3）設，求的值.解析（1）， 探究提高(1)在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后再運用對數運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數與對數互化.(2)熟練地運用對數的三個運算性質并配以代數式的恒等變形是對數計算、化簡、證明常用的技巧.變式訓練2：(1)計算：log2.56.25lgln= （2）求下列各式的值：；解析原式；原式=解：原式 (3)已知f(3x)4xlog23233，求f(2)f(4)f(8)f(28)的值.解析令3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008.（4）設2a5bm，且2，則m的值為()A.B10C20D100（5）已知均大于1，求解析由得由得，由得，即，解得題型三對數函數的圖象與性質探究點三含對數式的大小比較例3(1)比較下列各組數的大小log3與log5；log1.10.7與log1.20.7.解(1)log3log510，log3log5.方法一00.71,1.1log0.71.1log0.71.2.，由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出ylog1.1x與ylog1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x0.7相交可知log1.10.7bcBbac Cacb Dcab (3)，則（ ）ABCD解析， (1)設alog3，blog2，clog3，則()AabcBacb CbacDbca解：alog31，blog23，則b1，clog32bc.（2）設a、b、c均為正數，且2a,()b， ()clog2c，則 () Aabc Bcba Ccab Dba1，logb()b(0,1)，log2c()c(0,1)0a，b1,1c2. 故abc.（3）設函數f(x)定義在實數集上，f(2x)f(x)，且當x1時，f(x)ln x，則有 ()A.f()f(2)f() B.f()f(2)f() C.f()f()f(2) D.f(2)f()|1|1|，f()f()f(2)（4）已知，則有（ ）ABCD解析，同理.，即故選D。(5)已知0ab1n _解析m0，n0，logaclogcblogabn.點評：用對數函數的性質比較大小(1)同底數的兩個對數值的大小比較例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小，其中a0且a1.若a1，則logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0. 若0alogag(x)0f(x)g(x)(2)同真數的對數值大小關系如圖：圖象在x軸上方的部分自左向右底逐漸增大，即0cd1a0且a1)的圖象過兩點(1,0)和(0,1)，則a_2_，b_2_.（3）函數f(x)(x22x3)的單調遞增區(qū)間是_（，1）_求解與對數函數有關的復合函數的單調性的步驟：確定定義域；弄清函數是由哪些基本初等函數復合而成的，將復合函數分解成基本初等函數yf(u)，ug(x)；分別確定這兩個函數的單調區(qū)間；若這兩個函數同增或同減，則yf(g(x)為增函數，若一增一減，則yf(g(x)為減函數，即“同增異減”（4）.函數y（1）的圖象關于（）Ay軸對稱 Bx軸對稱 C原點對稱D直線yx對稱(5)若函數是奇函數，則解：由于是奇函數，即，又， (6)已知函數，若，則等于（ ）ABC2D2題型四對數函數的綜合應用例5（1）已知、為正數，且，求的取值范圍.解析，上式關于的方程有實根。. ，或或（2）已知函數f(x)loga(82x) (a0且a1).(1)若f(2)2，求a的值；(2)當a1時，求函數yf(x)f(x)的最大值.解(1)f(2)loga4，依題意f(2)2，則loga42，a2.(2)由題意知82x0，解得x0知，x3，函數yf(x)f(x)的定義域為(3,3).又yf(x)f(x)loga(82x)loga(82x)loga658(2x2x)，2x2x2，當且僅當x0時取等號，01時，函數yf(x)f(x)在x0處取得最大值loga49.探究提高本題的求解體現(xiàn)了方程思想和函數思想的應用，主要涉及對數式的求值，對數函數的圖象和性質的綜合運用以及與其他知識的結合(如不等式、指數函數等).變式訓練5 （1）已知函數f(x)loga(x1) (a1)，若函數yg(x)圖象上任意一點P關于原點對稱的點Q的軌跡恰好是函數f(x)的圖象.寫出函數g(x)的解析式；當x0,1)時總有f(x)g(x)m成立，求m的取值范圍.解(1)設P(x，y)為g(x)圖象上任意一點，則Q(x，y)是點P關于原點的對稱點，Q(x，y)在f(x)的圖象上，yloga(x1)，即yg(x)loga(1x).(2)f(x)g(x)m，即logam.設F(x)loga，x0,1)，由題意知，只要F(x)minm即可.F(x)在0,1)上是增函數，F(xiàn)(x)minF(0)0. 故m0即為所求.（2）已知函數f(x)滿足：當x4時，f(x)x；當x4時，f(x)f(x1)則f(2log23)的值為()A.B.C.D.解：因為32log234，故f(3log23)3log233.（3）定義在R上的偶函數f(x)在0，)上遞增，f()0，則滿足0的x的取值范圍是()A(0，)B(0，)(2，) C(0，)(，2)D(0，)解：由題意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|logx|)f()，f(x)在0，)上遞增，于是|logx|，解得x的取值范圍是(0，)(2，)（4）函數yloga(x3)1 (a0且a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10上(其中mn0)，則的最小值為_8_.（5）已知函數f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍是 ()A(2，)B2，) C(3，)D3，)解析：畫出函數f(x)|lg x|的圖象如圖所示0ab，f(a)f(b)，0a1，lg a0.由f(a)f(b)，lg alg b ，ab1.b，a2ba，又0a13，即a2b3.（6）已知函數f(x)loga(1ax)(a0，a1)解關于x的不等式：loga(1ax)f(1)；求證：函數f(x)的圖象總在y軸的一側；求證：設A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)圖象上的兩點，求證：直線AB的斜率小于0. 解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a0.0aloga(1a)，即0x0，得ax1， 當a1時，x0，即函數f(x)的定義域為(，0) ，此時函數f(x)的圖象在y軸的右左側； 當0a0，即函數f(x)的定義域為(0，)，此時函數f(x)的圖象總在y軸的右側. 函數f(x)的圖象總在y軸的一側.證明：設x10，ax1時，f(x)的定義域為(，0)；0a1時，f(x)的定義域為(0，)當0ax10，1.0.f(x2)f(x1)，即y21時，也有y2y1.綜上：y2y1，即y2y10.kAB0且a1)等價于f(x)g(x)，但要注意驗根對于logaf(x)logag(x)等價于0a1時，(2)形如F(logax)0、F(logax)0或F(logax)0，且a1)與對數函數ylogax(a0，且a1)互為反函數，應從概念、圖象和性質三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.3.明確函數圖象的位置和形狀要通過研究函數的性質，要記憶函數的性質可借助于函數的圖象.因此要掌握指數函數和對數函數的性質首先要熟記指數函數和對數函數的圖象.一、選擇題1.已知函數f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26，則a 的值為 ()A. B. C.2 D.4解：當x0時，函數ax，logax的單調性相同，因此函數f(x)axlogax是(0，)上的單調函數，f(x)在1,2上的最大值與最小值之和為f(1)f(2)a2aloga2，由題意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)2.已知函數f(x)，若ab，且f(a)f(b)，則ab的取值范圍是 ()A.(1，) B. C.(2，) D.3. 設alog32，bln 2，c5，則()AabcBbca CcabDcb1，log2e1，log23log2e.1，0ablog3，a.bln 2ln ，b. c5，caf(a)，則實數a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解：當a0時，f(a)log2a，f(a)，f(a)f(a)，即log2alog2， a，解得a1.當af(a)，即log2(a)，a，解得1a0，由得1a1.二、填空題6若log2a0且a1)滿足對任意的x1、x2，當x10，則實數a的取值范圍為_(1,2)_.8已知函數f(x)lg在區(qū)間1,2上是增函數，則實數a的取值范圍是_(1,2)_解析因為f(x)lg在區(qū)間1,2上是增函數，所以g(x)a在區(qū)間1,2上是增函數，且g(1)0，于是a20，即1a0，且a1)，若f(x1x2x2 013)8，則f(x)f(x)f(x)_16_.11.已知函數f(x)logaxxb (a0，且a1).當2a3b0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)若a1時，求使f(x)0的x的解集.解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，則解得1x1.故所求函數f(x)的定義域為x|1x1(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1x1時，f(x)在定義域x|1x01.解得0x0的x的解集是x|0x1，解得a2.所以a的取值范圍是(，1)(2，).14已知函數f(x)lg(axbx)(a1b0)(1)求yf(x)的定義域；(2)在函數yf(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；(3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，)上恒取正值解：(1)由axbx0，得()x1，且a1b0，得1，所以x0，即f(x)的定義域為(0，)(2)任取x1x20，a1b0，則0，所以0，即故f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，)上為增函數假設函數yf(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1x2，y1y2，這與f(x)是增函數矛盾故函數yf(x)的圖象上不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸(3)因為f(x)是增函數，所以當x(1，)時，f(x)f(1)這樣只需f(1)lg(ab)0，即當ab1時，f(x)在(1，)上恒取正值15.已知函數f(x2-3)=lg,(1)f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函數; (4)若f=lgx,求的值。解:（1）f(x2-3)=lg,f(x)=lg,又由得x2-33, f(x)的定義域為（3，+）。（2）f(x)的定義域不關于原點對稱， f(x)為非奇非偶函數。（3）由y=lg得x=,x3,解得y0, f-1(x)=(4) f=lg,，解得(3)=6。16設，（1）求；（2）求證：在上為增函數.解析（1）設，則于是因此（2）設，則 即 ，即在上為增函數。