2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5《平面向量應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5平面向量應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4【教學(xué)目標(biāo)】1.通過應(yīng)用舉例,讓學(xué)生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-向量法和坐標(biāo)法,可以用向量知識研究物理中的相關(guān)問題的“四環(huán)節(jié)”和生活中的實際問題;2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體驗向量在解決幾何和物理問題中的工具作用,增強學(xué)生的積極主動的探究意識,培養(yǎng)創(chuàng)新精神. 【導(dǎo)入新課】回顧提問:(1)若O為重心,則+=.(2)水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會想到向量運算之間都有什么關(guān)系?(3)兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么?教師:本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題;掌握向量法和坐標(biāo)法,以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟,已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分,檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過程中的疑惑說出來.新授課階段探究一:()向量運算與幾何中的結(jié)論若,則,且所在直線平行或重合相類比,你有什么體會?()由學(xué)生舉出幾個具有線性運算的幾何實例教師:平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出來: 例如,向量數(shù)量積對應(yīng)著幾何中的長度.如圖: 平行四邊行中,設(shè),,則(平移),(長度)向量,的夾角為.因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.通過向量運算研究幾何運算之間的關(guān)系,如距離、夾角等把運算結(jié)果 “翻譯”成幾何關(guān)系本節(jié)課,我們就通過幾個具體實例,來說明向量方法在平面幾何中的運用例1 證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和已知:平行四邊形ABCD求證:分析:用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時,我們常常要考慮向量的數(shù)量積注意到, ,我們計算和證明:不妨設(shè)a,b,則a+b,a-b,|a|2,|b|2得( a+b)( a+b)= aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理,|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以,平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和師:你能用幾何方法解決這個問題嗎?讓學(xué)生體會幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況.師:由于向量能夠運算,因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性,他把一個思辨過程變成了一個算法過程,可以按照一定的程序進(jìn)行運算操作,從而降低了思考問題的難度.用向量方法解決平面幾何問題,主要是下面三個步驟:建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系變式訓(xùn)練:中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點,BF與CD交于點O,設(shè)(1)證明A、O、E三點共線;(2)用表示向量.例2 如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎?分析:由于R、T是對角線AC上兩點,所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系,只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可解:設(shè)a,b,則a+b因為與共線,因此,存在實數(shù)m,使得=m(a+b)又因為與共線,因此存在實數(shù)n,使得=n= n(b- a)由= n,得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共線,所以有解得所以同理 于是 所以 ARRTTC說明:本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法,待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法探究二:(1)兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么?(2)在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力.為什么?師:向量在物理中的應(yīng)用,實際上就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題,然后通過向量運算解決向量問題,最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象例3 在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?分析:上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型只要分析清楚F、G、三者之間的關(guān)系(其中F為F1、F2的合力),就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋解:不妨設(shè)|F1|=|F2|, 由向量加法的平行四邊形法則,物理的平衡原理以及直角三角形的指示,可以得到|F1|=通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)由逐漸變大時,由逐漸變大,的值由大逐漸變小,因此,|F1|有小逐漸變大,即F1、F2之間的夾角越大越費力,夾角越小越省力師:請同學(xué)們結(jié)合剛才這個問題,思考下面的問題:為何值時,|F1|最小,最小值是多少?|F1|能等于|G|嗎?為什么?例4 如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,問行駛航程最短時,所用的時間是多少(精確到0.1min)?分析:如果水是靜止的,則船只要取垂直于對岸的方向行駛,就能使行駛航程最短,所用時間最短考慮到水的流速,要使船的行駛航程最短,那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸(用幾何畫板演示水流速度對船的實際航行的影響)解:=(km/h),所以, (min)答:行駛航程最短時,所用的時間是3.1 min本例關(guān)鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋,即“分析”中給出的船必須垂直于河岸行駛,這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸,分析清楚這種關(guān)系后,本例就容易解決了.例5 已知 ,的夾角為60o,當(dāng)實數(shù)為何值時,?解:若,得;若,得例6 如圖,ABCD為正方形,P是對角線DB上一點,PECF為矩形,求證:PA=EF; PAEF. 解:以D為原點,為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系,則A(0,1), C:(1,0), B:(1,1). 故例7 如圖,矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O,點P是圓周上任意一點, 求證:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.證明:即例8 已知P為ABC內(nèi)一點,且345延長AP交BC于點D,若,用、表示向量、解:, ,又 345, 34()5(),化簡,得 設(shè)t(tR),則t t 又設(shè) k(kR),由 ,得 k()而 , k()(1k)k. 由,得解得 t 將之代入,有課堂小結(jié)利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”?(1) 建立平面幾何與向量的聯(lián)系,(2) 通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,(3) 把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.作業(yè)見同步練習(xí)拓展提升一、 選擇題1.給出下面四個結(jié)論: 若線段AC=AB+BC,則向量; 若向量,則線段AC=AB+BC; 若向量與共線,則線段AC=AB+BC; 若向量與反向共線,則.其中正確的結(jié)論有 ( )A. 0個 B.1個 C.2個 D.3個2.河水的流速為2,一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜止速度大小為 ( )A.10 B. C. D.123.在中,若=0,則為 ( )A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定二、填空題4.已知兩邊的向量,則BC邊上的中線向量用、表示為 .參考答案1.B 2.B 3.C 4.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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