2019-2020年高中數(shù)學知識精要 15.解析幾何-直線與圓教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學知識精要 15.解析幾何-直線與圓教案 新人教A版1、直線的傾斜角:(1)定義:在平面直角坐標系中,對于一條與軸相交的直線,如果把軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為,那么就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時,規(guī)定傾斜角為0;(2)傾斜角的范圍。如(1)直線的傾斜角的范圍是_(答:);(2)過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是_(答:)2、直線的斜率:(1)定義:傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即tan(90);傾斜角為90的直線沒有斜率;(2)斜率公式:經(jīng)過兩點、的直線的斜率為;(3)直線的方向向量,直線的方向向量與直線的斜率有何關系?(4)應用:證明三點共線: 。提醒:(1)直線的傾斜角一定存在,但斜率不一定存在。(2)直線的傾斜角與斜率的變化關系:若直線存在斜率k,而傾斜角為,則k=tan.當傾斜角是銳角是,斜率k隨著傾斜角的增大而增大。當是鈍角時,k與同增減.(3)斜率的求法:OK 依據(jù)傾斜角:,牢記圖像 依據(jù)兩點的坐標:依據(jù)直線方程:化為斜截式當已知k,求傾斜角時:k0時,=arctank;k0時,=+arctank。(4)(你知道如何由直線的方向向量來求斜率嗎?) 如(1) 兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的_條件(答:既不充分也不必要);(2)實數(shù)滿足 (),則的最大值、最小值分別為_(答:)3、直線的方程:(1)點斜式:已知直線過點斜率為,則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。(2)斜截式:已知直線在軸上的截距為和斜率,則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。(3)兩點式:已知直線經(jīng)過、兩點,則直線方程為,它不包括垂直于坐標軸的直線。(4)截距式:已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為,它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。(5)一般式:任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。如(1)經(jīng)過點(2,1)且方向向量為=(1,)的直線的點斜式方程是_(答:);(2)直線,不管怎樣變化恒過點_(答:);(3)若曲線與有兩個公共點,則的取值范圍是_(答:)提醒:(1)直線方程的各種形式都有局限性.(如點斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢?);(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點;直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點;直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點。如過點,且縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條(答:3)4.設直線方程的一些常用技巧:(1)知直線縱截距,常設其方程為;(2)知直線橫截距,常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線);(3)知直線過點,當斜率存在時,常設其方程為,當斜率不存在時,則其方程為;(4)與直線平行的直線可表示為();(5)與直線垂直的直線可表示為.(6)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,直線l2:A2x+B2y+C2=0,則方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示過l1與l2交點的直線系(不含l2).不僅可以建立直線方程還可解決直線過定點問題.提醒:(1)求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式,利用待定系數(shù)法求解。(2)求解直線方程的最后結(jié)果,如無特別強調(diào),都應寫成一般式.(3)求一個角的平分線所在的直線方程的方法:法一、利用角的平分線所在的直線的方向向量由頂點坐標(含線段端點)或直線方程求得角兩邊的方向向量;求出角平分線的方向向量由點斜式或點向式得出角平分線方程。直線的點向式方程:過P(),其方向向量為,其方程為法二、利用角平分線定理:法三、利用點到直線的距離公式:設為角平分線所在直線上的任意一點,通過到兩邊距離相等而得.5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離:(1)點到直線的距離;(2)兩平行線間的距離為。提醒:(1)公式要求直線方程為一般式.(2)求平行直線間的距離時,一定要把 x、y項系數(shù)化成對應相等的系數(shù).6、直線與直線的位置關系:(1)平行(斜率)且(在軸上截距);(2)相交;(3)重合且。提醒:(1) 、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件!為什么?(2)在解析幾何中,研究兩條直線的位置關系時,有可能這兩條直線重合,而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線;(3)直線與直線垂直。如(1)設直線和,當_時;當_時;當_時與相交;當_時與重合(答:1;3);(2)已知直線的方程為,則與平行,且過點(1,3)的直線方程是_(答:);(3)兩條直線與相交于第一象限,則實數(shù)的取值范圍是_(答:);(4)設分別是ABC中A、B、C所對邊的邊長,則直線與的位置關系是_(答:垂直);(5)已知點是直線上一點,是直線外一點,則方程0所表示的直線與的關系是_(答:平行);(6)直線過點(,),且被兩平行直線和所截得的線段長為9,則直線的方程是_(答:)7.對稱是平面幾何的基本變換,有關對稱的一些結(jié)論 點(,)關于軸、軸、原點、直線y=x的對稱點分別是(,),(,),(,),(,) 如何求點A (,)關于直線Ax+By+C=0的對稱點?點關于直線的對稱點是什么? 直線Ax+By+C=0關于軸、軸、原點、直線y=x的對稱的直線方程分別是什么,關于點(,)對稱的直線方程又是什么?你能用哪些方法來求一條直線關于另一條直線的對稱直線? 如何處理與光的入射與反射問題?8、圓的方程:圓的標準方程:。圓的一般方程:,特別提醒:只有當時,方程才表示圓心為,半徑為的圓(二元二次方程表示圓的充要條件是什么? (且且);在圓的標準方程中有三個參數(shù);在圓的一般方程中,也有三個參數(shù)。所以說三個互相獨立的條件確定一個圓。在平面幾何中也是熟悉的事實:不共線的三點唯一地確定一個圓。確定一個圓,包括確定圓的位置和大小兩個方面。圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小。又稱圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件。圓的參數(shù)方程:(為參數(shù)),其中圓心為,半徑為。在參數(shù)方程中,當為參數(shù),為常量時表示一個圓,有幾何意義;而當為參數(shù),為常量時,表示一條直線,也有幾何意義。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元:;。為直徑端點的圓方程過兩圓交點的圓系方程設圓,圓有公共點,則經(jīng)過圓和圓的公共點的圓系方程為:(其中為參數(shù),方程不包括圓。)在有些問題中需檢驗圓是否也為所求;當時,該方程是一條直線的方程,此直線就是兩圓的公共弦所在直線。3. 過直線與圓的交點的圓系方程設直線與圓有公共點,則過其交點的圓系方程為。如(1)圓C與圓關于直線對稱,則圓C的方程為_(答:);(2)圓心在直線上,且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是_(答:或);(3)已知是圓(為參數(shù),上的點,則圓的普通方程為_,P點對應的值為_,過P點的圓的切線方程是_(答:;);(4)如果直線將圓:x2+y2-2x-4y=0平分,且不過第四象限,那么的斜率的取值范圍是_(答:0,2);(5)方程x2+yx+y+k=0表示一個圓,則實數(shù)k的取值范圍為_(答:);(6)若(為參數(shù),若,則b的取值范圍是_(答:)8、點與圓的位置關系:已知點及圓,(1)點M在圓C外;(2)點M在圓C內(nèi);(3)點M在圓C上。如點P(5a+1,12a)在圓(x)y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是_(答:)9、直線與圓的位置關系:直線和圓有相交、相離、相切??蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷:(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況):相交;相離;相切;(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O圓心到直線的距離為,則相交;相離;相切。提醒:判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。如(1)圓與直線,的位置關系為_(答:相離);(2)若直線與圓切于點,則的值_(答:2);(3)直線被曲線所截得的弦長等于 (答:);(4)一束光線從點A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 (答:4);(5)已知是圓內(nèi)一點,現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線,則A,且與圓相交 B,且與圓相交C,且與圓相離 D,且與圓相離(答:C);(6)已知圓C:,直線L:。求證:對,直線L與圓C總有兩個不同的交點;設L與圓C交于A、B兩點,若,求L的傾斜角;求直線L中,截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. (答:或最長:,最短:)10、圓與圓的位置關系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷):已知兩圓的圓心分別為,半徑分別為,則(1)當時,兩圓外離;(2)當時,兩圓外切;(3)當時,兩圓相交;(4)當時,兩圓內(nèi)切;(5)當時,兩圓內(nèi)含。如雙曲線的左焦點為F1,頂點為A1、A2,P是雙曲線右支上任意一點,則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關系為 (答:內(nèi)切)特別提醒:圓系方程有哪些?(04年上海卷.文理8)圓心在直線上的圓C與y軸交于兩點, 則圓C的方程為 .兩圓相交弦所在直線方程的求法:圓C1的方程為:x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圓C2的方程為:x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把兩式相減得相交弦所在直線方程為:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0注意:兩圓相切要區(qū)分內(nèi)切還是外切.11、圓的切線與弦長:(1)切線:過圓上一點圓的切線方程是:,過圓上一點圓的切線方程是:,一般地,如何求圓的切線方程?(抓住圓心到直線的距離等于半徑);從圓外一點引圓的切線一定有兩條,可先設切線方程,再根據(jù)相切的條件,運用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來求;過兩切點的直線(即“切點弦”)方程的求法:先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓,該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程;切線長:過圓()外一點所引圓的切線的長為();如設A為圓上動點,PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點的軌跡方程為_(答:);(2)弦長問題:圓的弦長的計算:常用弦心距,弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解:;過兩圓、交點的圓(公共弦)系為,當時,方程為兩圓公共弦所在直線方程.。12.解決直線與圓的關系問題時,要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!圓心在過切點垂直于切線的直線上垂徑定理:弦的垂直平分線過圓心(弦的中點與圓心的連線垂直弦所在的直線)弦心距的d、半徑r、弦長l的關系是什么? 12.圓上一定到某點或者某條直線的距離的最大、最小值的求法。(04年全國卷三. 文16)設P為圓上的動點,則點P到直線的距離的最小值為 . 點評:通過參數(shù)法,將幾何問題轉(zhuǎn)化為三角值域研究. 也可設切線,由求出C,最后由兩平行線間距離公式求出最小值.注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解- 配套講稿:
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