第26章二次函數(shù)提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共12份)pdf版.zip

第26章二次函數(shù)提優(yōu)特訓(xùn)及答案(共12份)pdf版.zip,26,二次,函數(shù),提優(yōu)特訓(xùn),答案,12,pdf 奧 賽 園 地 得 之 在 俄 傾, 積 之 在 平 日. — — — 袁 守 侗 【 例】 ( 全 國(guó) 初 中 數(shù) 學(xué) 競(jìng) 賽 海 南 賽 區(qū)) 實(shí) 數(shù) x , y 滿 足 ２ x ２ － ６ x＋ y ２ ＝０ , 設(shè) w＝ x ２ ＋ y ２ －８ x , 則 w 的 最 大 值 是 ． 【 分 析】 由 ２ x ２ －６ x＋ y ２ ＝０ , 得 ２ x ２ ＋ y ２ ＝６ x , 知 x≥０ ． 又 y ２ ＝－２ x ２ ＋６ x , w＝ x ２ －２ x ２ ＋６ x－８ x＝－ x ２ －２ x＝－ ( x＋１ ) ２ ＋１ , 由 此 可 見(jiàn), 當(dāng) x≥－１ 時(shí), w 隨 著 x 的 增 大 而 減 小, 又 因 為 x≥０＞－１ ,, 故 當(dāng) x＝０ 時(shí), w 的 最 大 值 是 ０ ． 【 解 答】 ０ ． 【 說(shuō) 明】 解 答 本 題 需 利 用 代 入 法 和 配 方 法 ． 解 題 的 難 點(diǎn) 是 通 過(guò) x 的 取 值 范 圍 確 定 w 的 最 大 值 ． 初 賽 題 １ ． 已 知 拋 物 線 y＝ x ２ ＋ b x＋ c 的 系 數(shù) 滿 足 ２ b－ c＝５ , 則 這 條 拋 物 線 一 定 經(jīng) 過(guò) 點(diǎn)( ) ． A． ( －１ , －２ ) B． ( －２ , －１ ) C． ( ２ , －１ ) D． ( －２ , １ ) ２ ． ( 全 國(guó) 初 中 數(shù) 學(xué) 競(jìng) 賽 海 南 賽 區(qū)) 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ a x ２ ＋ b x＋ c ( a≠０ ) 的 圖 象 如 圖 所 示, 記 p＝２ a＋ b , q＝ b－ a , 則 下 列 結(jié) 論 正 確 的 是( ) ． ( 第２ 題) A． p＞ q＞０ B． q＞ p＞０ C． p＞０＞ q D． q＞０＞ p ３ ． ( 全 國(guó) 初 中 數(shù) 學(xué) 聯(lián) 賽 江 西 省 初 賽 試 題) 設(shè) a b≠０ , 且 函 數(shù) f１ ( x ) ＝ x ２ ＋２ a x＋４ b 與 f２ ( x ) ＝ x ２ ＋４ a x＋２ b 有 相 同 的 最 小 值 u ; 函 數(shù) f３ ( x ) ＝－ x ２ ＋２ b x＋４ a 與 f４ ( x ) ＝－ x ２ ＋４ b x＋ ２ a 有 相 同 的 最 大 值 v , 則 u＋ v 的 值( ) ． A． 必 為 正 數(shù) B． 必 為 負(fù) 數(shù) C． 必 為 ０ D． 符 號(hào) 不 能 確 定 ４ ． 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x＋ c ( c ) ＜０ 的 圖 象 與 x 軸 的 交 點(diǎn) 分 別 為 點(diǎn) A 、 B , 與 y 軸 的 交 點(diǎn) 為 點(diǎn) C ． 設(shè) △ A B C 的 外 接 圓 的 圓 心 為 點(diǎn) P ． ( １ ) 證 明: ☉ P 與 y 軸 的 另 一 個(gè) 交 點(diǎn) 為 定 點(diǎn); ( ２ ) 如 果 A B 恰 好 為 ☉ P 的 直 徑 且 S△ A B C＝２ , 求 b 和 c 的 值 ． 復(fù) 賽 題 ５ ． ( 全 國(guó) 初 中 數(shù) 學(xué) 聯(lián) 合 競(jìng) 賽 試 題) 已 知 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x－ c 的 圖 象 經(jīng) 過(guò) 兩 點(diǎn) P ( １ , a ), Q ( ２ , １０ a ) ． ( １ ) 如 果 a , b , c 都 是 整 數(shù), 且 c＜ b＜８ a , 求 a , b , c 的 值; ( ２ ) 設(shè) 二 次 函 數(shù) y＝ x ２ ＋ b x－ c 的 圖 象 與 x 軸 的 交 點(diǎn) 為 A 、 B , 與 y 軸 的 交 點(diǎn) 為 C ． 如 果 關(guān) 于 x 的 方 程 x ２ ＋ b x－ c ＝０ 的 兩 個(gè) 根 都 是 整 數(shù), 求 △ A B C 的 面 積 ． ６ ． ( 全 國(guó) 初 中 數(shù) 學(xué) 競(jìng) 賽 海 南 賽 區(qū)) 如 圖, 在 Rt△ A B C 中, ∠ C＝ ９０ ° , A C＝３ , B C＝４ , 點(diǎn) E 在 A C 上( 點(diǎn) E 與 點(diǎn) A 、 C 都 不 重 合), 點(diǎn) F 在 斜 邊 A B 上( 點(diǎn) F 與 點(diǎn) A 、 B 都 不 重 合) ． ( １ ) 若 E F 平 分 Rt△ A B C 的 周 長(zhǎng), 設(shè) A E＝ x , △ A E F 的 面 積 為 y , 寫 出 y 與 x 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式, 并 指 出 x 的 取 值 范 圍; ( ２ ) 試 問(wèn): 是 否 存 在 直 線 E F 將 Rt△ A B C 的 周 長(zhǎng) 和 面 積 同 時(shí) 平 分? 若 存 在, 求 出 A E 的 長(zhǎng); 若 不 存 在, 請(qǐng) 說(shuō) 明 理 由 ． ( 第６ 題)奧 賽 園 地 １ ?? B ２ ?? B 提 示 : 由 圖 象 , 知 a ＜ ０ , c ＝ ０ , － b ２ a ＞ １ , 從 而 ２ a ＋ b ＞ ０ , 又 ( ２ a ＋ b ) － ( b － a ) ＝ ３ a ＜ ０ , 即 ２ a ＋ b ＜ b － a ． ３ ?? C 提 示 : f １ ( x ) ＝ ( x ＋ a ) ２ ＋ ４ b － a ２ ≥ ４ b － a ２ , f ２ ( x ) ＝ ( x ＋ ２ a ) ２ ＋ ２ b － ４ a ２ ≥ ２ b － ４ a ２ ． 由 ４ b － a ２ ＝ u ＝ ２ b － ４ a ２ , 得 － ２ b ＝ ３ a ２ ． ① f ３ ( x ) ＝ － ( x － b ) ２ ＋ ４ a ＋ b ２ ≤ ４ a ＋ b ２ , f ４ ( x ) ＝ － ( x － ２ b ) ２ ＋ ２ a ＋ ４ b ２ ≤ ２ a ＋ ４ b ２ ． 由 ４ a ＋ b ２ ＝ v ＝ ２ a ＋ ４ b ２ , 得 ２ a ＝ ３ b ２ ． ② ② － ① , 得 ２ ( a ＋ b ) ＝ ３ ( b ２ － a ２ ) , 所 以 a ＋ b ＝ ０ , ③ 或 b － a ＝ ２ ３ ． ④ 若 a ＋ b ＝ ０ , 則 ２ ( u ＋ v ) ＝ ( ６ b － ５ a ２ ) ＋ ( ６ a ＋ ５ b ２ ) ＝ ( a ＋ b ) [ ６ ＋ ５ ( b － a ) ] ＝ ０ ; 若 b － a ＝ ２ ３ , 根 據(jù) ② ④ , 得 ２ b － ２ ３ ( ) ＝ ３ b ２ , 即 ( ３ b － １ ) ２ ＋ ３ ＝ ０ , 矛 盾 ． ４ ?? ( １ ) 易 求 得 點(diǎn) C 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , c ) , 設(shè) A ( x １ , ０ ) , B ( x ２ , ０ ) , 則 x １ ＋ x ２ ＝ － b , x １ x ２ ＝ c ． 設(shè) ☉ P 與 y 軸 的 另 一 個(gè) 交 點(diǎn) 為 D , 由 于 A B 、 C D 是 ☉ P 的 兩 條 相 交 弦 , 它 們 的 交 點(diǎn) 為 點(diǎn) O , 所 以 O A × O B ＝ O C × O D , 則 O D ＝ O A × O B O C ＝ | x １ x ２ | | c | ＝ | c | | c | ＝ １ ． 因 為 c ＜ ０ , 所 以 點(diǎn) C 在 y 軸 的 負(fù) 半 軸 上 , 從 而 點(diǎn) D 在 y 軸 的 正 半 軸 上 , 所 以 點(diǎn) D 為 定 點(diǎn) , 它 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , １ ) ． ( ２ ) 因 為 A B ⊥ C D , 若 A B 恰 好 為 ☉ P 的 直 徑 , 則 C 、 D 關(guān) 于 點(diǎn) O 對(duì) 稱 , 所 以 點(diǎn) C 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , － １ ) , 即 c ＝ － １ ． 又 A B ＝ | x １ － x ２ | ＝ ( x １ ＋ x ２ ) ２ － ４ x １ x ２ ＝ ( － b ) ２ － ４ c ＝ b ２ ＋ ４ , 所 以 S △ A B C ＝ １ ２ A B ?? O C ＝ １ ２ b ２ ＋ ４ ?? １ ＝ ２ , 解 得 b ＝ ± ２ ３ ． ５ ?? 點(diǎn) P ( １ , a ) , Q ( ２ , １ ０ a ) 在 二 次 函 數(shù) y ＝ x ２ ＋ b x － c 的 圖 象 上 ,故 １ ＋ b － c ＝ a , ４ ＋ ２ b － c ＝ １ ０ a , 解 得 b ＝ ９ a － ３ , c ＝ ８ a － ２ ． ( １ ) 由 c ＜ b ＜ ８ a , 知 ８ a － ２ ＜ ９ a － ３ , ９ a － ３ ＜ ８ a , { 解 得 １ ＜ a ＜ ３ ． 又 a 為 整 數(shù) , 所 以 a ＝ ２ , b ＝ ９ a － ３ ＝ １ ５ , c ＝ ８ a － ２ ＝ １ ４ ． ( ２ ) 設(shè) m , n 是 方 程 的 兩 個(gè) 整 數(shù) 根 , 且 m ≤ n ． 由 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 可 得 m ＋ n ＝ － b ＝ ３ － ９ a , m n ＝ － c ＝ ２ － ８ a , 消 去 a , 得 ９ m n － ８ ( m ＋ n ) ＝ － ６ , 兩 邊 同 時(shí) 乘 以 ９ , 得 ８ １ m n － ７ ２ ( m ＋ n ) ＝ － ５ ４ , 分 解 因 式 , 得 ( ９ m － ８ ) ( ９ n － ８ ) ＝ １ ０ ． 所 以 ９ m － ８ ＝ １ , ９ n － ８ ＝ １ ０ { 或 ９ m － ８ ＝ ２ , ９ n － ８ ＝ ５ { 或 ９ m － ８ ＝ － １ ０ , ９ n － ８ ＝ － １ { 或 ９ m － ８ ＝ － ５ , ９ n － ８ ＝ － ２ , { 解 得 m ＝ １ , n ＝ ２ { 或 m ＝ １ ０ ９ , n ＝ １ ３ ９ { 或 m ＝ － ２ ９ , n ＝ ７ ９ { 或 m ＝ １ ３ , n ＝ ２ ３ ． { 又 m , n 是 整 數(shù) , 所 以 后 面 三 組 解 舍 去 , 故 m ＝ １ , n ＝ ２ ． 因 此 b ＝ － ( m ＋ n ) ＝ － ３ , c ＝ － m n ＝ － ２ , 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 為 y ＝ x ２ － ３ x ＋ ２ ． 易 求 得 點(diǎn) A 、 B 的 坐 標(biāo) 為 ( １ , ０ ) 和 ( ２ , ０ ) , 點(diǎn) C 的 坐 標(biāo) 為 ( ０ , ２ ) , 所 以 △ A B C 的 面 積 為 １ ２ × ( ２ － １ ) × ２ ＝ １ ． ６ ?? ( １ ) 在 R t △ A B C 中 , A C ＝ ３ , B C ＝ ４ , 所 以 A B ＝ ５ ． ∴ △ A B C 的 周 長(zhǎng) 為 １ ２ ． 又 E F 平 分 △ A B C 的 周 長(zhǎng) , ∴ A E ＋ A F ＝ ６ , 而 A E ＝ x ． ∴ A F ＝ ６ － x ． ( 第 ６ 題 ) 過(guò) 點(diǎn) F 作 F D ⊥ A C 于 點(diǎn) D , 則 D F A F ＝ s i n A ＝ B C A B ＝ ４ ５ ． ∴ D F ６ － x ＝ ４ ５ ． ∴ D F ＝ ４ ５ ( ６ － x ) ． ∴ y ＝ １ ２ A E ?? D F ＝ １ ２ x ?? ４ ５ ( ６ － x ) ＝ － ２ ５ x ２ ＋ １ ２ ５ x ( ０ ＜ x ＜ ３ ) ． ( ２ ) 這 樣 的 E F 存 在 , 此 時(shí) A E ＝ ６ － ６ ２ ． S △ A B C ＝ １ ２ B C ?? A C ＝ １ ２ × ４ × ３ ＝ ６ ． 由 E F 平 分 △ A B C 的 面 積 , 所 以 － ２ ５ x ２ ＋ １ ２ ５ x ＝ ３ , 解 得 x １ ＝ ６ － ６ ２ , x ２ ＝ ６ ＋ ６ ２ ． ∵ ０ ＜ x ＜ ３ , ∴ x ２ ＝ ６ ＋ ６ ２ , 不 合 題 意 舍 去 ． 當(dāng) x １ ＝ ６ － ６ ２ 時(shí) , ６ － x ＝ ６ ＋ ６ ２ ＜ ５ , 符 合 題 意 , 所 以 這 樣 的 E F 存 在 , 此 時(shí) A E ＝ ６ － ６ ２ ．