高中平面解析幾何知識點總結(jié)(直線、圓、橢圓、曲線).doc

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高中平面解析幾何知識點總結(jié)一.直線部分1直線的傾斜角與斜率：（1）直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角.傾斜角,斜率不存在.（2）直線的斜率：兩點坐標(biāo)為、.2直線方程的五種形式：（1）點斜式： (直線過點，且斜率為)注：當(dāng)直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為（2）斜截式： (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式： (，).注： 不能表示與軸和軸垂直的直線； 方程形式為：時，方程可以表示任意直線（4）截距式： （分別為軸軸上的截距，且）注：不能表示與軸垂直的直線，也不能表示與軸垂直的直線，特別是不能表示過原點的直線（5）一般式： (其中A、B不同時為0)一般式化為斜截式：，即，直線的斜率：注：（1）已知直線縱截距，常設(shè)其方程為或已知直線橫截距，常設(shè)其方程為(直線斜率k存在時，為k的倒數(shù))或已知直線過點，常設(shè)其方程為或（2）解析幾何中研究兩條直線位置關(guān)系時，兩條直線有可能重合；立體幾何中兩條直線一般不重合3直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負，也可為0.（1）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為或直線過原點（2）直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點（3）直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點4兩條直線的平行和垂直：（1）若，有 ； .（2）若，有 ； 5平面兩點距離公式：（1）已知兩點坐標(biāo)、，則兩點間距離（2）軸上兩點間距離：（3）線段的中點是，則 6點到直線的距離公式：點到直線的距離：7兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線的距離：8直線系方程：（1）平行直線系方程： 直線中當(dāng)斜率一定而變動時，表示平行直線系方程 與直線平行的直線可表示為 過點與直線平行的直線可表示為：（2）垂直直線系方程： 與直線垂直的直線可表示為 過點與直線垂直的直線可表示為：（3）定點直線系方程： 經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù) 經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)（4）共點直線系方程：經(jīng)過兩直線交點的直線系方程為 (除開)，其中是待定的系數(shù)9兩條曲線的交點坐標(biāo)：曲線與的交點坐標(biāo)方程組的解10.平面和空間直線參數(shù)方程： 平面直線方程以向量形式給出： 方向向量為下面推導(dǎo)參數(shù)方程： 空間直線方程也以向量形式給出： 方向向量為 下面推導(dǎo)參數(shù)方程： 注意：只有封閉曲線才會產(chǎn)生參數(shù)方程，對于無限曲線，例如二次函數(shù)一般不會有化為如上的參數(shù)方程。二.圓部分1圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（）（2）圓的一般方程：（3）圓的直徑式方程：若，以線段為直徑的圓的方程是：注：(1)在圓的一般方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是，（2）一般方程的特點： 和的系數(shù)相同且不為零； 沒有項； （3）二元二次方程表示圓的等價條件是： ； ； 2圓的弦長的求法：（1）幾何法：當(dāng)直線和圓相交時，設(shè)弦長為，弦心距為，半徑為，則：“半弦長+弦心距=半徑”；（2）代數(shù)法：設(shè)的斜率為，與圓交點分別為，則（其中的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去或，利用韋達定理求解）3點與圓的位置關(guān)系：點與圓的位置關(guān)系有三種 在在圓外 在在圓內(nèi) 在在圓上 【到圓心距離】4直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種:圓心到直線距離為()，由直線和圓聯(lián)立方程組消去（或）后，所得一元二次方程的判別式為；5兩圓位置關(guān)系:設(shè)兩圓圓心分別為，半徑分別為，；6圓系方程：（1）過直線與圓:的交點的圓系方程：,是待定的系數(shù)（2）過圓:與圓:的交點的圓系方程：,是待定的系數(shù)特別地，當(dāng)時，就是表示兩圓的公共弦所在的直線方程，即過兩圓交點的直線7圓的切線方程：（1）過圓上的點的切線方程為:（2）過圓上的點的切線方程為: （3）當(dāng)點在圓外時，可設(shè)切方程為，利用圓心到直線距離等于半徑，即，求出；或利用，求出若求得只有一值，則還有一條斜率不存在的直線8. 圓的參數(shù)方程：圓方程參數(shù)方程源于： 那么 設(shè)： 得：9把兩圓與方程相減即得相交弦所在直線方程: 10對稱問題： （1）中心對稱： 點關(guān)于點對稱：點關(guān)于的對稱點 直線關(guān)于點對稱：法1：在直線上取兩點，利用中點公式求出兩點關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，由兩點式求直線方程法2：求出一個對稱點，在利用由點斜式得出直線方程（2）軸對稱： 點關(guān)于直線對稱：點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負倒數(shù)，點與對稱點的中點在直線上點關(guān)于直線對稱 直線關(guān)于直線對稱：（設(shè)關(guān)于對稱）法1：若相交，求出交點坐標(biāo)，并在直線上任取一點，求該點關(guān)于直線的對稱點若，則，且與的距離相等法2：求出上兩個點關(guān)于的對稱點，在由兩點式求出直線的方程（3）其他對稱：點(a,b)關(guān)于x軸對稱：(a,-b)；關(guān)于y軸對稱：(-a,b)；關(guān)于原點對稱：(-a,-b)；點(a,b)關(guān)于直線y=x對稱：(b,a)；關(guān)于y=-x對稱：(-b,-a)；關(guān)于y =x+m對稱：(b-m、a+m)；關(guān)于y=-x+m對稱：(-b+m、-a+m).11若，則ABC的重心G的坐標(biāo)是12各種角的范圍：直線的傾斜角 兩條相交直線的夾角 兩條異面線所成的角 三.橢圓部分1.橢圓定義： 到兩定點距離之和為一常數(shù)的平面幾何曲線：即MO1+MO2=2a 或定義：任意一條線段，在線段中任取兩點（不包括兩端點），將線段兩端點置于這兩點處，用一個釘子將線段繃直旋轉(zhuǎn)一周得到的平面幾何曲線即為橢圓。 從橢圓定義出發(fā)得到一個基本結(jié)論：橢圓上任意一點引出的兩個焦半徑之和為常數(shù)2a。2.橢圓性質(zhì)：由于橢圓上任意一點到兩點距離之和為常數(shù)，所以從A點向焦點引兩條焦半徑AO1+AO2=AO2+O2B=2a這是因為AO1=O2B(由圖形比較看出) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 橢圓參數(shù)方程： 從圓方程知： 圓方程參數(shù)方程源于： 所以按上面邏輯將橢圓方程 視為 設(shè) 得：同理橢圓參數(shù)方程為： 得：由于兩個焦半徑和為2a所以 得： 得： 橢圓離心率，來源于圓的定義： 圓實際上是一種特殊的橢圓，而圓不過是兩個焦點與坐標(biāo)圓點重合罷了。 橢圓離心率為 四.雙曲線部分1.雙曲線定義：到兩定點的距離之差的絕對值為常數(shù)的平面幾何圖形，即： 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 由于雙曲線上任意一點兩個焦點之差的絕對值為常數(shù)2a. 雙曲線的漸近線：由標(biāo)準(zhǔn)方程知： 若標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，那么這時注意y下面對應(yīng)b，x下面對應(yīng)a. 取x=a及x=-a兩條直線，它們與漸近線的兩個焦點的連線和y軸的交點稱為虛焦點，該軸稱為虛軸。 推導(dǎo)a、b、c之間的關(guān)系：設(shè)雙曲線上任意一點坐標(biāo)M（x，y） 設(shè)： 從而得到:五. 拋物線部分1. 定義：到定點與定直線距離相等的平面曲線稱為拋物線。為了推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)式，設(shè)：定直線為x=-p，定點為O1（p，0）， （盡管這是一種特殊情況，但同樣具有一般性） 設(shè)：拋物線上任意一點坐標(biāo)為M(x，y) M點到定直線x=-p的距離為 M點到定點O1（p，0）的距離為 很顯然與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)是一致的，只不過這里自變量變成y，函數(shù)變成x；而二次函數(shù)自變量是x，函數(shù)是y，因而二次函數(shù)也是拋物線，同樣具有拋物線的性質(zhì)。 如下： 韋達定理： . . 頂點坐標(biāo) ，推導(dǎo)采用配方法： 求根公式： 從而零點坐標(biāo)為。 平移 注意，平移部分需要自己琢磨，根據(jù)上面三個例子.- 11 -