高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評4 新人教A版選修4-5

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章末綜合測評(四)(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1用數(shù)學(xué)歸納法證明“122225n1(nN)能被31整除”，當(dāng)n1時原式為()A1B12C1234D.12222324【解析】左邊122225n1，所以n1時，應(yīng)為12251112222324.故選D.【答案】D2下列說法中正確的是()A若一個命題當(dāng)n1,2時為真，則此命題為真命題B若一個命題當(dāng)nk時成立且推得nk1時也成立，則此命題為真命題C若一個命題當(dāng)n1,2時為真，則當(dāng)n3時此命題也為真D若一個命題當(dāng)n1時為真，nk時為真能推得nk1時亦為真，則此命題為真命題【解析】由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1時也成立時，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可A，B，C項(xiàng)均不全面【答案】D3設(shè)S(n)，則()AS(n)共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時，S(2)BS(n)共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時，S(2)CS(n)共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時，S(2)DS(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時，S(2)【解析】S(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時，S(2).【答案】D4數(shù)列an中，已知a11，當(dāng)n2時，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是() 【導(dǎo)學(xué)號：32750073】A3n2 Bn2C3n1D.4n3【解析】計(jì)算知a11，a24，a39，a416，所以可猜想ann2.【答案】B5平面內(nèi)原有k條直線，他們的交點(diǎn)個數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個數(shù)最多為()Af(k)1 Bf(k)kCf(k)k1D.kf(k)【解析】第k1條直線與前k條直線都有不同的交點(diǎn)，此時應(yīng)比原先增加k個交點(diǎn)【答案】B6下列代數(shù)式，nN，能被13整除的是()An35n B34n152n1C62n11D.42n13n2【解析】當(dāng)n1時，n35n6,34n152n1368,62n117,42n13n291，只有91能被13整除【答案】D7用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”時，第二步正確的證明方法是()A假設(shè)nk(kN)時成立，證明nk1時命題也成立B假設(shè)nk(k是正奇數(shù))時成立，證明nk1時命題也成立C假設(shè)n2k1(kN)時成立，證明n2k3時命題也成立D假設(shè)n2k1(kN)時成立，證明n2k1時命題也成立【解析】假設(shè)n的取值必須取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.A，B，C錯故選D.【答案】D8設(shè)01且nN)的結(jié)果時，第一步n_時，A_. 【導(dǎo)學(xué)號：32750074】【解析】 第一步n2時，A(21)(21)！1.【答案】2114已知123332433n3n13n(nab)c對一切nN都成立，那么a_，b_，c_.【解析】先分別取n1,2,3并聯(lián)立方程組得解得a，b，c.然后可用數(shù)學(xué)歸納法證明【答案】15證明1(nN)，假設(shè)nk時成立，當(dāng)nk1時，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是_.【解析】左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k112k12k.【答案】2k16假設(shè)凸k邊形的對角線有f(k)條，則凸k1邊形的對角線的條數(shù)f(k1)為_【解析】凸k1邊形的對角線的條數(shù)等于凸k邊形的對角線的條線，加上多的那個點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對角線的條數(shù)(k2)條，再加上原來有一邊成為對角線，共有f(k)k1條對角線【答案】f(k)k1三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時，左邊，右邊，左邊右邊所以當(dāng)n1時，等式成立(2)假設(shè)nk(kN)時等式成立，即有，則當(dāng)nk1時，.所以當(dāng)nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，對于一切nN等式都成立18(本小題滿分12分)求證：對于整數(shù)n0時，11n2122n1能被133整除【證明】(1)n0時，原式11212133能被133整除(2)假設(shè)nk(k0，kN)時，11k2122k1能被133整除，nk1時，原式11k3122k311(11k2122k1)11122k1122k311(11k2122k1)122k1133也能被133整除由(1)(2)可知，對于整數(shù)n0,11n2122n1能被133整除19(本小題滿分12分)平面內(nèi)有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個圓將平面分成f(n)n2n2個部分(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)1122，所以n1時命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時命題成立，即k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分則nk1時，在k1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點(diǎn)，這2k個交點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以當(dāng)nk1時，命題成立由(1)(2)可知，對一切nN，命題成立，即這幾個圓將平面分成f(n)n2n2個部分(nN)20(本小題滿分12分)求證：(n2). 【導(dǎo)學(xué)號：32750075】【證明】(1)當(dāng)n2時，0，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2)時，原不等式成立，即.則當(dāng)nk1時，左邊.所以當(dāng)nk1時，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式對n2的所有的自然數(shù)都成立21(本小題滿分12分)如果數(shù)列an滿足條件：a14，an1(n1,2，)，證明：對任何自然數(shù)n，都有an1an且ana1.且a1ak且ak0.那么ak10.因此ak2ak1且ak1an且an0.22(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1.(1)寫出a1，a2，a3；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【解】(1)由題意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，a11，1，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時，等式成立，即ak，則當(dāng)nk1時，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak，即當(dāng)nk1時，等式成立由可知，對nN，an.