高中數(shù)學(xué) 章末綜合測(cè)評(píng)4 新人教A版選修4-5

章末綜合測(cè)評(píng)(四)(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1用數(shù)學(xué)歸納法證明“122225n1(nN)能被31整除”，當(dāng)n1時(shí)原式為()A1B12C1234D.12222324【解析】左邊122225n1，所以n1時(shí)，應(yīng)為12251112222324.故選D.【答案】D2下列說(shuō)法中正確的是()A若一個(gè)命題當(dāng)n1,2時(shí)為真，則此命題為真命題B若一個(gè)命題當(dāng)nk時(shí)成立且推得nk1時(shí)也成立，則此命題為真命題C若一個(gè)命題當(dāng)n1,2時(shí)為真，則當(dāng)n3時(shí)此命題也為真D若一個(gè)命題當(dāng)n1時(shí)為真，nk時(shí)為真能推得nk1時(shí)亦為真，則此命題為真命題【解析】由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1時(shí)也成立時(shí)，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可A，B，C項(xiàng)均不全面【答案】D3設(shè)S(n)，則()AS(n)共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)BS(n)共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)CS(n)共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)DS(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)【解析】S(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2).【答案】D4數(shù)列an中，已知a11，當(dāng)n2時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750073】A3n2 Bn2C3n1D.4n3【解析】計(jì)算知a11，a24，a39，a416，所以可猜想ann2.【答案】B5平面內(nèi)原有k條直線，他們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()Af(k)1 Bf(k)kCf(k)k1D.kf(k)【解析】第k1條直線與前k條直線都有不同的交點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)【答案】B6下列代數(shù)式，nN，能被13整除的是()An35n B34n152n1C62n11D.42n13n2【解析】當(dāng)n1時(shí)，n35n6,34n152n1368,62n117,42n13n291，只有91能被13整除【答案】D7用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”時(shí)，第二步正確的證明方法是()A假設(shè)nk(kN)時(shí)成立，證明nk1時(shí)命題也成立B假設(shè)nk(k是正奇數(shù))時(shí)成立，證明nk1時(shí)命題也成立C假設(shè)n2k1(kN)時(shí)成立，證明n2k3時(shí)命題也成立D假設(shè)n2k1(kN)時(shí)成立，證明n2k1時(shí)命題也成立【解析】假設(shè)n的取值必須取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.A，B，C錯(cuò)故選D.【答案】D8設(shè)0<<，已知a12cos ，an1，則猜想an為()A2cos B2cos C2cos D.2sin 【解析】a12cos ，a22cos ，a32cos ，猜想an2cos .【答案】B9用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2【解析】當(dāng)nk時(shí)，左端1123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.【答案】D10用數(shù)學(xué)歸納法證明“42n13n1(nN)能被13整除”的第二步中，當(dāng)nk1時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)42k13k2變形正確的是()A16(42k13k1)133k1B442k93kC(42k13k1)1542k123k1D3(42k13k1)1342k1【解析】42k13k21642k13k216(42k13k1)3k2163k116(42k13k1)133k1.【答案】A11如果命題P(n)對(duì)于nk成立，則它對(duì)nk2亦成立，又若P(n)對(duì)n2成立，則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對(duì)所有自然數(shù)n成立BP(n)對(duì)所有偶自然數(shù)n成立CP(n)對(duì)所有正自然數(shù)n成立DP(n)對(duì)所有比1大的自然數(shù)n成立【解析】因?yàn)閚2時(shí)，由nk2的“遞推”關(guān)系，可得到n4成立，再得到n6成立，依次類推，因此，命題P(n)對(duì)所有偶自然數(shù)n成立【答案】B12在數(shù)列an中，a1且Snn(2n1)an，通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A. B.C. D.【解析】a1，由Snn(2n1)an，得a1a22(221)a2，解得a2，a1a2a33(231)a3，解得a3，a1a2a3a44(241)a4，解得a4，所以猜想an.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請(qǐng)把答案填在題中橫線上)13探索表達(dá)式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！2！11！(n>1且nN)的結(jié)果時(shí)，第一步n_時(shí)，A_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750074】【解析】 第一步n2時(shí)，A(21)(21)！1.【答案】2114已知123332433n3n13n(nab)c對(duì)一切nN都成立，那么a_，b_，c_.【解析】先分別取n1,2,3并聯(lián)立方程組得解得a，b，c.然后可用數(shù)學(xué)歸納法證明【答案】15證明1>(nN)，假設(shè)nk時(shí)成立，當(dāng)nk1時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是_.【解析】左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k112k12k.【答案】2k16假設(shè)凸k邊形的對(duì)角線有f(k)條，則凸k1邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(k1)為_【解析】凸k1邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于凸k邊形的對(duì)角線的條線，加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對(duì)角線的條數(shù)(k2)條，再加上原來(lái)有一邊成為對(duì)角線，共有f(k)k1條對(duì)角線【答案】f(k)k1三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊所以當(dāng)n1時(shí)，等式成立(2)假設(shè)nk(kN)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)，.所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)于一切nN等式都成立18(本小題滿分12分)求證：對(duì)于整數(shù)n0時(shí)，11n2122n1能被133整除【證明】(1)n0時(shí)，原式11212133能被133整除(2)假設(shè)nk(k0，kN)時(shí)，11k2122k1能被133整除，nk1時(shí)，原式11k3122k311(11k2122k1)11122k1122k311(11k2122k1)122k1133也能被133整除由(1)(2)可知，對(duì)于整數(shù)n0,11n2122n1能被133整除19(本小題滿分12分)平面內(nèi)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f(n)n2n2個(gè)部分(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)1122，所以n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時(shí)命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí)，在k1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知，對(duì)一切nN，命題成立，即這幾個(gè)圓將平面分成f(n)n2n2個(gè)部分(nN)20(本小題滿分12分)求證：>(n2). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750075】【證明】(1)當(dāng)n2時(shí)，>0，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2)時(shí)，原不等式成立，即>.則當(dāng)nk1時(shí)，左邊>>.所以當(dāng)nk1時(shí)，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式對(duì)n2的所有的自然數(shù)都成立21(本小題滿分12分)如果數(shù)列an滿足條件：a14，an1(n1,2，)，證明：對(duì)任何自然數(shù)n，都有an1>an且an<0.【證明】(1)由于a14，a2>a1.且a1<0，因此，當(dāng)n1時(shí)不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，ak1>ak且ak<0.那么ak1<0.當(dāng)nk1時(shí)，有ak2，ak2ak1>0.因此ak2>ak1且ak1<0，這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立，根據(jù)(1)(2)，不等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立因此，對(duì)任何自然數(shù)n，都有an1>an且an<0.22(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1.(1)寫出a1，a2，a3；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【解】(1)由題意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，1，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即ak，則當(dāng)nk1時(shí)，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak，即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由可知，對(duì)nN，an.