高中數(shù)學 4_4 參數(shù)方程 13 平擺線與圓的漸開線學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4
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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 4.4 參數(shù)方程 13 平擺線與圓的漸開線學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘)學業(yè)達標1求平擺線(0t2)與直線y1的交點的直角坐標【解】由題意知，y1cos t1，cos t0，sin t1，t2k(kZ)，又0t2，t.x1.交點的直角坐標為(1,1)2已知圓的漸開線(為參數(shù)，02)上有一點的坐標為(3,0)，求漸開線對應的基圓的面積【解】把已知點(3,0)代入參數(shù)方程得解得所以基圓的面積Sr2329.3已知擺線的生成圓的直徑為80 mm，寫出擺線的參數(shù)方程，并求其一拱的拱寬和拱高【解】因為擺線的生成圓的半徑r40 mm，所以此擺線的參數(shù)方程為它一拱的拱寬為2r24080(mm)，拱高為2r24080(mm)4拋物線y22x6ysin 9cos28cos 90，求頂點的軌跡的普通方程【解】拋物線方程可化為(y3sin )22(x4cos )，所以其頂點的參數(shù)方程為普通方程為1.5已知橢圓(為參數(shù))，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上不在x軸上的一點，求PF1F2的重心G的軌跡方程【解】F1(3,0)、F2(3,0)，設P(5cos ，4sin )、G(x，y)，所以G的軌跡方程為(為參數(shù)，sin 0)6如圖449，已知半圓x2y21(y0)，定點A(2,0)，設B為圓上一動點，以AB為一邊在上半平面內作正方形ABCD，設P為正方形ABCD的中心，求點P的軌跡方程，并指出它是什么曲線【導學號：98990040】圖449【解】設軌跡上任意一點為P(x，y)，又設D(x0，y0)，xOB(0)，則B(cos ，sin )，(cos 2，sin )，(x02，y0)由且|，得解得因為P是BD的中點，所以(0)消去，得點P的軌跡方程是(x1)2(y1)2(x，y)，它表示以(1,1)為圓心，為半徑的半圓的一部分7如圖4410所示，開始時定點M在原點O處，取圓滾動時轉過的角度(以弧度為單位)為參數(shù)求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程圖4410【解】當圓滾過角時，圓心為點B，圓與x軸的切點為A，定點M的位置如題圖所示，ABM.由于圓在滾動時不滑動，因此線段OA的長和圓弧的長相等，它們的長都等于2，從而B點坐標為(2，2)，向量(2，2)，向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )，因此(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos )動點M的坐標為(x，y)，向量(x，y)，所以這就是所求擺線的參數(shù)方程能力提升8求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程【解】以圓心為原點O，繩端點的初始位置為M0，向量的方向為x軸正方向，建立坐標系，設漸開線上的任意點M(x，y)，繩拉直時和圓的切點為A，故OAAM，按漸開線定義，弧的長和線段AM的長相等，記和x軸正向所夾的角為(以弧度為單位)，則AM4.作AB垂直于x軸，過M點作AB的垂線，由三角函數(shù)和向量知識，得(4cos ，4sin )由幾何知識知MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，因此有這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程
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