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高中數(shù)學(xué) 4_4 參數(shù)方程 13 平擺線與圓的漸開線學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4

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高中數(shù)學(xué) 4_4 參數(shù)方程 13 平擺線與圓的漸開線學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.4 參數(shù)方程 13 平擺線與圓的漸開線學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4 (建議用時(shí):45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1求平擺線(0t2)與直線y1的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)【解】由題意知,y1cos t1,cos t0,sin t1,t2k(kZ),又0t2,t.x1.交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)2已知圓的漸開線(為參數(shù),02)上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),求漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的面積【解】把已知點(diǎn)(3,0)代入?yún)?shù)方程得解得所以基圓的面積Sr2329.3已知擺線的生成圓的直徑為80 mm,寫出擺線的參數(shù)方程,并求其一拱的拱寬和拱高【解】因?yàn)閿[線的生成圓的半徑r40 mm,所以此擺線的參數(shù)方程為它一拱的拱寬為2r24080(mm),拱高為2r24080(mm)4拋物線y22x6ysin 9cos28cos 90,求頂點(diǎn)的軌跡的普通方程【解】拋物線方程可化為(y3sin )22(x4cos ),所以其頂點(diǎn)的參數(shù)方程為普通方程為1.5已知橢圓(為參數(shù)),F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上不在x軸上的一點(diǎn),求PF1F2的重心G的軌跡方程【解】F1(3,0)、F2(3,0),設(shè)P(5cos ,4sin )、G(x,y),所以G的軌跡方程為(為參數(shù),sin 0)6如圖449,已知半圓x2y21(y0),定點(diǎn)A(2,0),設(shè)B為圓上一動(dòng)點(diǎn),以AB為一邊在上半平面內(nèi)作正方形ABCD,設(shè)P為正方形ABCD的中心,求點(diǎn)P的軌跡方程,并指出它是什么曲線【導(dǎo)學(xué)號(hào):98990040】圖449【解】設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)為P(x,y),又設(shè)D(x0,y0),xOB(0),則B(cos ,sin ),(cos 2,sin ),(x02,y0)由且|,得解得因?yàn)镻是BD的中點(diǎn),所以(0)消去,得點(diǎn)P的軌跡方程是(x1)2(y1)2(x,y),它表示以(1,1)為圓心,為半徑的半圓的一部分7如圖4410所示,開始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處,取圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度(以弧度為單位)為參數(shù)求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程圖4410【解】當(dāng)圓滾過(guò)角時(shí),圓心為點(diǎn)B,圓與x軸的切點(diǎn)為A,定點(diǎn)M的位置如題圖所示,ABM.由于圓在滾動(dòng)時(shí)不滑動(dòng),因此線段OA的長(zhǎng)和圓弧的長(zhǎng)相等,它們的長(zhǎng)都等于2,從而B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),向量(2,2),向量(2sin ,2cos ),(2sin ,2cos ),因此(22sin ,22cos )(2(sin ),2(1cos )動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),向量(x,y),所以這就是所求擺線的參數(shù)方程能力提升8求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程【解】以圓心為原點(diǎn)O,繩端點(diǎn)的初始位置為M0,向量的方向?yàn)閤軸正方向,建立坐標(biāo)系,設(shè)漸開線上的任意點(diǎn)M(x,y),繩拉直時(shí)和圓的切點(diǎn)為A,故OAAM,按漸開線定義,弧的長(zhǎng)和線段AM的長(zhǎng)相等,記和x軸正向所夾的角為(以弧度為單位),則AM4.作AB垂直于x軸,過(guò)M點(diǎn)作AB的垂線,由三角函數(shù)和向量知識(shí),得(4cos ,4sin )由幾何知識(shí)知MAB,(4sin ,4cos ),得(4cos 4sin ,4sin 4cos )(4(cos sin ),4(sin cos )又(x,y),因此有這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程

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