高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題五 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直練習 理

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第2講空間中的平行與垂直1(2016課標全國甲)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)答案解析當mn，m，n時，兩個平面的位置關系不確定，故錯誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.2(2016江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)由已知，DE為ABC的中位線，DEAC，又由三棱柱的性質(zhì)可得ACA1C1，DEA1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷，屬基礎題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等熱點一空間線面位置關系的判定空間線面位置關系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題；(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關系，并結合有關定理來進行判斷例1(1)(2015廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交(2)關于空間兩條直線a、b和平面，下列命題正確的是()A若ab，b，則aB若a，b，則abC若a，b，則abD若a，b，則ab答案(1)D(2)D解析(1)若l與l1，l2都不相交，則ll1，ll2，l1l2，這與l1和l2異面矛盾，l至少與l1，l2中的一條相交(2)線面平行的判定定理中的條件要求a，故A錯；對于線面平行，這條直線與面內(nèi)的直線的位置關系可以平行，也可以異面，故B錯；平行于同一個平面的兩條直線的位置關系：平行、相交、異面都有可能，故C錯；垂直于同一個平面的兩條直線是平行的，故D正確，故選D.思維升華解決空間點、線、面位置關系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結論不能完全引用到立體幾何中跟蹤演練1設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若mn，m，則n；若m，m，則.其中真命題的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案B解析因為“如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面”，所以正確；當m平行于兩個相交平面，的交線l時，也有m，m，所以錯誤；若mn，m，則n或n，所以錯誤；平面，與直線m的關系如圖所示，必有，故正確熱點二空間平行、垂直關系的證明空間平行、垂直關系證明的主要思想是轉化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關系相互轉化例2(2015廣東)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)證明：BC平面PDA；(2)證明：BCPD；(3)求點C到平面PDA的距離(1)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCAD，因為BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCCD，因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因為PD平面PDC，所以BCPD.(3)解如圖，取CD的中點E，連接AE和PE.因為PDPC，所以PECD，在RtPED中，PE.因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD.由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因為PD平面PDC，所以ADPD.設點C到平面PDA的距離為h，因為V三棱錐CPDAV三棱錐PACD，所以SPDAhSACDPE，即h，所以點C到平面PDA的距離是.思維升華垂直、平行關系的基礎是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉換(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.跟蹤演練2如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，且BC2AD，ADCD，PBCD，點E在棱PD上，且PE2ED.(1)求證：平面PCD平面PBC；(2)求證：PB平面AEC.證明(1)因為ADCD，ADBC，所以CDBC，又PBCD，PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC，所以CD平面PBC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PBC.(2)連接BD交AC于點O，連接OE.因為ADBC，所以ADOCBO，所以DOOBADBC12，又PE2ED，所以OEPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.熱點三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關鍵一般地，在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法例3如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，DAB60，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，ACEFO，沿EF將CEF翻折到PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐PABFED，且PB.(1)求證：BDPA；(2)求四棱錐PBFED的體積(1)證明點E，F(xiàn)分別是邊CD，CE的中點，BDEF.菱形ABCD的對角線互相垂直，BDAC.EFAC.EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA，BD平面POA，又PA平面POA，BDPA.(2)解設AOBDH.連接BO，DAB60，ABD為等邊三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO，在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，梯形BFED的面積S(EFBD)HO3，四棱錐PBFED的體積VSPO33.思維升華(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關系是解題的突破口；(2)存在探索性問題可先假設存在，然后在此前提下進行邏輯推理，得出矛盾或肯定結論跟蹤演練3如圖1，在RtABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD將ABC折成60的二面角BADC，如圖2.(1)證明：平面ABD平面BCD；(2)設點E為BC的中點，BD2，求異面直線AE和BD所成的角的大小(1)證明(1)因為折起前AD是BC邊上的高，則當ABD折起后，ADCD，ADBD，又CDBDD，則AD平面BCD.因為AD平面ABD，所以平面ABD平面BCD.(2)解如圖，取CD的中點F，連接EF，則EFBD，所以AEF為異面直線AE與BD所成的角連接AF，DE，由BD2，則EF1，AD2，CD6，DF3.在RtADF中，AF.在BCD中，由題設BDC60，則BC2BD2CD22BDCDcosBDC28，即BC2，從而BEBC，cosCBD，在BDE中，DE2BD2BE22BDBEcosCBD13，在RtADE中，AE5.在AEF中，cosAEF.因為兩條異面直線所成的角為銳角或直角，所以異面直線AE與BD所成的角的大小為60.1不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個平面，內(nèi)，下列為真命題的是()Amnm BmnCm Dmn押題依據(jù)空間兩條直線、兩個平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點內(nèi)容，也是高考命題的熱點此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力答案C解析構造長方體，如圖所示因為A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直所以選項A，B都是假命題CC1AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項D為假命題“若兩平面平行，則一個平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面”是真命題，故選C.2如圖1，在正ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點，且BEAF2CF.點P為邊BC上的點，將AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖2所示(1)求證：A1EFP；(2)若BPBE，點K為棱A1F的中點，則在平面A1FP上是否存在過點K的直線與平面A1BE平行，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由押題依據(jù)以平面圖形的翻折為背景，探索空間直角與平面位置關系的考題創(chuàng)新性強，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預計將成為今年高考的命題形式(1)證明在正ABC中，取BE的中點D，連接DF，如圖1.圖1因為BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF為正三角形又AEDE，所以EFAD.所以在圖2中A1EEF，BEEF.故A1EB為二面角A1EFB的一個平面角因為平面A1EF平面BEFC，所以A1EB90，即A1EEB.因為EFEBE，所以A1E平面BEFC.因為FP平面BEFC，所以A1EFP.(2)解在平面A1FP上存在過點K的直線與平面A1BE平行理由如下：如圖1，在正ABC中，因為BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如圖2，取A1P的中點M，連接MK，圖2因為點K為棱A1F的中點，所以MKFP.因為FPBE，所以MKBE.因為MK平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在過點K的直線MK與平面A1BE平行A組專題通關1(2015湖北)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則()Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件答案A解析由l1，l2是異面直線，可得l1，l2不相交，所以pq；由l1，l2不相交，可得l1，l2是異面直線或l1l2，所以qp.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件故選A.2設a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則“l(fā)a，lb”是“l(fā)”的()A充要條件 B充分而不必要條件C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件答案C解析若a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，la，lb，ab，則l可以與平面斜交，推不出l.若l，a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則la，lb.“l(fā)a，lb”是“l(fā)”的必要而不充分條件，故選C.3設m，n是空間兩條直線，是空間兩個平面，則下列命題中不正確的是()A若m，n，則nmB若m，m，則C若n，n，則D若m，n，則mn答案A解析A中，若m，n，則nm或m，n異面故不正確；B，C，D均正確故選A.4將正方體的紙盒展開如圖，直線AB、CD在原正方體的位置關系是()A平行 B垂直C相交成60角 D異面且成60角答案D解析如圖，直線AB，CD異面因為CEAB，所以ECD即為直線AB，CD所成的角，因為CDE為等邊三角形，故ECD60.5如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC答案D解析因為在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故選D.6如圖，在空間四邊形ABCD中，點MAB，點NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關系是_答案平行解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.7正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結論中正確的是_(填序號)ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐EABC的體積為定值；直線B1E直線BC1.答案解析因AC平面BDD1B1，故正確；因B1D1平面ABCD，故正確；記正方體的體積為V，則VEABCV，為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯誤8下列四個正方體圖形中，點A，B為正方體的兩個頂點，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號是_(寫出所有符合要求的圖形序號)答案解析對于，注意到該正方體的面中過直線AB的側面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面MNP；對于，注意到直線AB和過點A的一個與平面MNP平行的平面相交，因此直線AB與平面MNP相交；對于，注意到此時直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行，且直線AB位于平面MNP外，因此直線AB與平面MNP平行；對于，易知此時AB與平面MNP相交綜上所述，能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號是.9如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N，P分別為棱AB，BC，C1D1的中點求證：(1)AP平面C1MN；(2)平面B1BDD1平面C1MN.證明(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為點M，P分別為棱AB，C1D1的中點，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1，所以四邊形AMC1P為平行四邊形從而APC1M，又AP平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.(2)連接AC，在正方形ABCD中，ACBD.又點M，N分別為棱AB，BC的中點，故MNAC.所以MNBD.在正方體ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，又MN平面ABCD，所以DD1MN，而DD1DBD，DD1，DB平面B1BDD1，所以MN平面B1BDD1，又MN平面C1MN，所以平面B1BDD1平面C1MN.10(2015四川)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系并證明你的結論；(3)證明：直線DF平面BEG.(1)解點F，G，H的位置如圖所示(2)解平面BEG平面ACH，證明如下：因為ABCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE為平行四邊形所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)證明連接FH，BD.因為ABCDEFGH為正方體，所以DH平面EFGH.因為EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG，同理DFBG.又EGBGG，所以DF平面BEG.B組能力提高11設a，b，c是空間中的三條直線，是空間中的兩個平面，則下列命題的逆命題不成立的是()A當c時，若c，則B當b時，若b，則C當b，且c是a在內(nèi)的射影時，若bc，則abD當b，且c時，若c，則bc答案B解析B中命題的逆命題為：當b時，若，則b，是假命題而A、C、D中命題的逆命題均為真命題，故選B.12.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面ABC，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，點D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF_時，CF平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，設AFx，則A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.13如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知ABBC，將ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，對翻折后的幾何體有如下描述：AB與DE所成角的正切值是；ABCE；VBACE是a3；平面ABC平面ADC.其中正確的是_(填寫你認為正確的序號)答案解析作出折疊后的幾何體的直觀圖如圖所示：ABa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tanABC.BCDE，ABC是異面直線AB，DE所成的角，故正確連接BD，CE，則CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD，又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD，又AB平面ABD，CEAB.故錯誤三棱錐BACE的體積VSBCEADa2a，故正確AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD，又BCCD，ADCDD，BC平面ACD，BC平面ABC，平面ABC平面ACD.故答案為.14.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60，平面ACEF平面ABCD，四邊形ACEF是平行四邊形，點M在線段EF上(1)求證：BC平面ACEF；(2)當FM為何值時，AM平面BDE？證明你的結論(1)證明在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60，ADC是等腰三角形，且BCDADC120，DCADAC30，ACB90，即BCAC.又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACEF.(2)解當FMa時，AM平面BDE.證明如下：設ACBDN，連接EN，如圖ACB90，ABC60，BCa，ACa，AB2a，CNNA12，四邊形ACEF是平行四邊形，EFACa.AM平面BDE，AM平面ACEF，平面ACEF平面BDENE，AMNE，四邊形ANEM為平行四邊形，F(xiàn)MME12，F(xiàn)MFEAC.當FMa時，AM平面BDE.