高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí) 文
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第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列1(2016課標(biāo)全國乙)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a108,則a100等于()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差數(shù)列性質(zhì),知S99a527,得a53,而a108,因此公差d1,a100a1090d98,故選C.2(2016北京)已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項和若a16,a3a50,則S6_.答案6解析a3a52a40,a40.又a16,a4a13d0,d2.S666(2)6.3(2016江蘇)已知an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和若a1a3,S510,則a9的值是_答案20解析設(shè)等差數(shù)列an公差為d,由題意可得:解得則a9a18d48320.4(2016課標(biāo)全國乙)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310,a2a45,則a1a2an的最大值為_答案64解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,解得a1a2an(3)(2)(n4),nN*,當(dāng)n3或4時,取到最小值6,此時取到最大值2664,a1a2an的最大值為64.1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點,經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點,考查分析問題、解決問題的綜合能力.熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算1通項公式等差數(shù)列:ana1(n1)d;等比數(shù)列:ana1qn1.2求和公式等差數(shù)列:Snna1d;等比數(shù)列:Sn(q1)3性質(zhì)若mnpq,在等差數(shù)列中amanapaq;在等比數(shù)列中amanapaq.例1(1)已知數(shù)列an中,a3,a7,且是等差數(shù)列,則a5等于()A. B. C. D.(2)已知等比數(shù)列an的各項都為正數(shù),其前n項和為Sn,且a1a79,a42,則S8等于()A15(1) B15C15 D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則4d,4d,解得d2.2d10,解得a5.(2)由a42,得a1a7a8,故a1,a7是方程x29x80的兩根,所以或因為等比數(shù)列an的各項都為正數(shù),所以公比q0.當(dāng)時q,所以S815(1);當(dāng)時,q,所以S815.故選D.思維升華在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時,若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計算,以減少計算量跟蹤演練1(1)已知Sn是非零等差數(shù)列an的前n項和,若a79a3,則等于()A. B9C5 D.(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足an0,q1,且a3a520,a2a664,則S6等于()A63 B48C42 D36答案(1)B(2)A解析(1)因為a79a3,所以a7a310a3,所以9.故選B.(2)在等比數(shù)列an中,a2a664,a3a5a2a664.又a3a520,a3和a5為方程x220x640的兩根an0,q1,a3a5,a516,a34.q2,a11,S663.故選A.熱點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法:利用定義,證明an1an(nN*)為一常數(shù);利用中項性質(zhì),即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法:利用定義,證明(nN*)為一常數(shù);利用等比中項,即證明aan1an1(n2)例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn (nN*),且滿足anSn2n1.(1)求證:數(shù)列an2是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項公式;(2)求證:.證明(1)anSn2n1,令n1,得2a13,a1.anSn2n1,an1Sn12(n1)1 (n2,nN*)兩式相減,得2anan12,整理anan11,an2(an12)(n2),數(shù)列an2是首項為a12,公比為的等比數(shù)列,an2n,an2.(2),()()()1,a12,且a1,a2,a38成等差數(shù)列,數(shù)列anbn的前n項和為.(1)分別求出數(shù)列an和bn的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,已知nN*,Snm恒成立,求實數(shù)m的最小值解(1)a12,且a1,a2,a38成等差數(shù)列,2a2a1a38,即2a1qa1a1q28,q22q30,q3或1,而q1,q3,an23n1.a1b1a2b2anbn,a1b1a2b2an1bn1,兩式相減得anbn2n3n1 (n2)an23n1,bnn(n2),令n1,可求得b11,bnn.(2)數(shù)列an是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,Sn1()n0,a3a100,a6a70的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7C12 D13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和是數(shù)列最基本的知識點,也是高考的熱點,可以考查學(xué)生靈活變換的能力答案C解析a10,a6a70,a70,a1a132a70,S130的最大自然數(shù)n的值為12.2已知各項不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80,數(shù)列bn是等比數(shù)列,且b7a7,則b2b12等于()A1 B2C4 D8押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運用的綜合性和靈活性,是高考出題的重點答案C解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因為a42a3a80,所以a73d2a3(a7d)0,即a2a7,解得a70(舍去)或a72,所以b7a72.因為數(shù)列bn是等比數(shù)列,所以b2b12b4.3已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5,存在兩項am,an使得 4a1,則的最小值為()A. B.C. D.押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題,綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力,是高考命題的方向答案A解析由a7a62a5,得a1q6a1q52a1q4,整理有q2q20,解得q2或q1(與條件中等比數(shù)列的各項都為正數(shù)矛盾,舍去),又由4a1,得aman16a,即a2mn216a,即有mn24,亦即mn6,那么(mn)()(5)(2 5),當(dāng)且僅當(dāng),mn6,即n2m4時取得最小值.4定義在(,0)(0,)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列an,f(an)仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(,0)(0,)上的如下函數(shù):f(x)x2;f(x)2x;f(x);f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A BC D押題依據(jù)先定義一個新數(shù)列,然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題,這類問題一般形式新穎,難度不大,常給人耳目一新的感覺答案C解析等比數(shù)列性質(zhì),anan2a,f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1);f(an)f(an2)f2(an1);f(an)f(an2)f2(an1);f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故選C.A組專題通關(guān)1在等差數(shù)列an中,若a4a6a8a10a12120,則2a10a12的值為()A20 B22C24 D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120,解得a824,a8a122a10,2a10a12a824.2已知在等差數(shù)列an中,a1120,d4,若Snan (n2),則n的最小值為()A60 B62C70 D72答案B解析由題意可知,Snna1d2n2122n,ana1(n1)d1244n,由Snan得2n2126n124,解得n1或n62,又n2,n62,故選B.3在等比數(shù)列an中,a14,公比為q,前n項和為Sn,若數(shù)列Sn2也是等比數(shù)列,則q等于()A2 B2C3 D3答案C解析由題意可得q1,由數(shù)列Sn2是等比數(shù)列,可得S12,S22,S32成等比數(shù)列,所以(S22)2(S12)(S32),所以(64q)224(1qq2)12,q3(q0舍去)故選C.4設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足S190,S200,得a1a190,則a100;由S200,得a1a200,則a10a110,a110,a10a110,a10a110,d0,a110,T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.9已知數(shù)列an是等比數(shù)列,并且a1,a21,a3是公差為3的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bna2n,記Sn為數(shù)列bn的前n項和,證明:Sn.(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為a1,a21,a3是公差為3的等差數(shù)列,所以即解得a18,q.所以ana1qn18()n124n.(2)證明因為,所以數(shù)列bn是以b1a24為首項,為公比的等比數(shù)列所以Sn1()n.10(2015四川)設(shè)數(shù)列an(n1,2,3,)的前n項和Sn滿足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)記數(shù)列的前n項和為Tn,求使得|Tn1|成立的n的最小值解(1)由已知Sn2ana1,有anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2),從而a22a1,a32a24a1.又因為a1,a21,a3成等差數(shù)列,即a1a32(a21),所以a14a12(2a11),解得a12,所以數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故an2n.(2)由(1)可得,所以Tn1.由|Tn1|,得,即2n1 000,因為295121 0001 024210,所以n10,于是,使|Tn1|成立的n的最小值為10.B組能力提高11已知數(shù)列an滿足a11,且anan1()n (n2,且nN*),則數(shù)列an的通項公式為()Aan BanCann2 Dan(n2)3n答案B解析因為anan1()n (n2,且nN*)1,令bn,則數(shù)列bn是首項為b13a13,公差為1的等差數(shù)列,所以bnb1(n1)13n1n2,所以an.12若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a10a11a9a122e5,則ln a1ln a2ln a20_.答案50解析數(shù)列an為等比數(shù)列,且a10a11a9a122e5,a10a11a9a122a10a112e5,a10a11e5,ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.13已知數(shù)列an,bn滿足a1,anbn1,bn1 (nN*),則b2 015_.答案解析anbn1,且bn1,bn1,a1,且a1b11,b1,bn1,1.又b1,2.數(shù)列是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,n1,bn.則b2 015.14已知非零數(shù)列an滿足a11,anan1an2an1 (nN*)(1)求證:數(shù)列1是等比數(shù)列;(2)若關(guān)于n的不等式m3有解,求整數(shù)m的最小值;(3)在數(shù)列1(1)n中,是否存在首項、第r項、第s項(1rs6),使得這三項依次構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出所有的r,s;若不存在,請說明理由(1)證明由anan1an2an1,得1,即12(1),數(shù)列1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)可得12n,故原不等式可化為0,f(n)單調(diào)遞增,則f(n)minf(1),于是,故整數(shù)m的最小值為4.(3)解由(1)得an,設(shè)bn1(1)n2n(1)n,要使得b1,br,bs成等差數(shù)列,即b1bs2br,即32s(1)s2r12(1)r,得2s2r1(1)s2(1)r3.sr1,(1)s2(1)r30,故s為偶數(shù),r為奇數(shù),s4,r3或s6,r5.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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