2019-2020年高二數(shù)學 第八章 圓錐曲線方程： 8.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(一)優(yōu)秀教案.doc

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2019-2020年高二數(shù)學 第八章 圓錐曲線方程： 8.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(一)優(yōu)秀教案 一、教學目標 (一)知識教學點 通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用． (二)能力訓練點 通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力． (三)學科滲透點 使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等． 二、教材分析 1．重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用． (解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進行歸納小結(jié)．) 2．難點：橢圓離心率的概念的理解． (解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，) 3．疑點：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變． (解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學生說明．) 三、活動設計 提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)． 四、教學過程 (一)復習提問 1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標準方程是什么？ 3.橢圓中a,b,c的關系是？ 學生口述，教師板書． (二)幾何性質(zhì) 根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是b＞0)來研究橢圓的幾何性質(zhì)．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變． 1．范圍 即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=a和直線y=b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點． 2．對稱性 先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2． 設問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？ 事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題． 同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y軸對稱． 事實上，設P(x，y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點P1(x，-y)必在曲線上．又因為曲線關于原點對稱，所以P1關于原點對稱點P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關于y軸對稱． 最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點 只須令x=0，得y=b，點B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=a，點A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點．強調(diào)指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)． 教師還需指出： (1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b； (2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長； 這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形． 根據(jù)前面所學有關知識畫出下列圖形 （1） （2） 4．離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義： 等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1． 再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響： (2)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓； (3)當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了． 標準方程 范圍 |x|≤ a,|y|≤ b 對稱性 關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱 頂點坐標 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) 焦點坐標 (c,0)、(-c,0) 半軸長 長半軸長為a,短半軸長為b. a>b 離心率 a、b、c的關系 a=b+c 標準方程 范圍 |x|≤ a,|y|≤ b |x|≤ b,|y|≤ a 對稱性 關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱 同前 頂點坐標 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) 焦點坐標 (c,0)、(-c,0) (0 , c)、(0, -c) 半軸長 長半軸長為a,短半軸長為b. a>b 同前 離心率 同前 a、b、c的關系 a=b+c 同前 (三)應用 為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1 已知橢圓16x2+25y2=400， 它的長軸長是： 。短軸長是： 。 焦距是： 。 離心率等于： 。 焦點坐標是： 。頂點坐標是： 。 外切矩形的面積等于： 。 并用描點法畫出它的圖形． 本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是： (2)描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少． 練習1.已知橢圓方程為6x+y=6 它的長軸長是： 。短軸長是： 。 焦距是： .離心率等于： 。 焦點坐標是： 。頂點坐標是： 。 外切矩形的面積等于： 。 例2．過適合下列條件的橢圓的標準方程： （1）經(jīng)過點P（-3，0） 、Q（0，-2） ； （2）長軸長等于20,離心率等于． 解:（1）由題意a=3,b=2,又∵長軸在x軸上，所以，橢圓的標準方程為 . （2）由已知2a=20，e=. ∴ a=10，c=6，∴ ， 所以橢圓的標準方程為或 . 例3.已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點P（3，0），求橢圓的方程。 橢圓的標準方程為或 . (四)小結(jié) 本節(jié)課我們學習了橢圓的幾個簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點坐標、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個基本量a，b，c，e及頂點、焦點、對稱中心及其相互之間的關系，這對我們解決橢圓中的相關問題有很大的幫助，給我們以后學習圓錐曲線其他的兩種曲線扎實了基礎。在解析幾何的學習中，我們更多的是從方程的形式這個角度來挖掘題目中的隱含條件，需要我們認識并熟練掌握數(shù)與形的聯(lián)系。在本節(jié)課中，我們運用了幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法來求解橢圓方程，在解題過程中，準確體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及分類討論的數(shù)學思想。 解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關．布置學生最后小結(jié)下列表格： 五、布置作業(yè)： 作業(yè)： P103 習題8.2 1、3、4、5.