《極坐標系的概念》課件(共27張PPT).ppt

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極坐標系的概念,平面直角坐標系中的點P與坐標(a,b)是_____對應的.,溫故,引入,平面直角坐標系是最簡單最常用的一種坐標系，但不是唯一的一種坐標系.有時用別的坐標系比較方便.,我們先看下面的問題.,還有什么坐標系呢？,與角α終邊相同的角：,β=α+2kπ,k∈Z,一一,5海里,想一想？,（1）距離：5海里,（2）方向：東偏北20.,,O,x,,拯救船,20,發(fā)現(xiàn)走私!!!,,,如何確定以下兩船的位置關系呢？,,距離40km,方向：,,,從這向南走2000米.,請問：去屠宰場怎么走？,,,,,思考:“從這向南走2000米”這句話包含哪些要素?它為何能使問路人明確屠宰場的位置?,,以天河路為X軸以廣州大道為Y軸...,請問：去廣州塔怎么走？,,,,,,,,以天河路為X軸以廣州大道為Y軸...,,從這向東2000米。,,,,,請問：去廣州塔怎么走？,,,,請分析這句話，他告訴了問路人什么？,從這向東走2000米！,出發(fā)點,方向,距離,在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。,1、極坐標系的建立：,在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；,自極點O引一條射線OX，叫做極軸；,再選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向）.,這樣就建立了一個極坐標系.,,O,建構數(shù)學,2、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定,對于平面上任意一點M,用?表示線段OM的長度,用?表示以射線OX為始邊,射線OM為終邊所成的角,?叫做點M的極徑,?叫做點M的極角,有序數(shù)對(?,?)就叫做M的極坐標。,極點的極坐標為____________________,(0,?),?可為任意值.,思考:對比直角坐標系，比較異同。,要素：________________________________________；,(2)平面內(nèi)點的極坐標用_____表示.,極點、極軸、長度單位、計算角度的正方向,(?,?),例1、如圖，寫出各點的極坐標：,,x,,,,,,,,,,,,,?,1,數(shù)學運用,[變式訓練]在圖1-11上描下列點：,[小結]由極坐標描點的步驟：(1)先按極角找到點所在射線；(2)在此射線上按極徑描點.,思考:①平面上一點的極坐標是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？②不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？,3、點的極坐標的表達式的研究,如圖：OM的長度為4，,請說出點M的極坐標的表達式？,思考：這些極坐標之間有何異同？,思考：這些極角有何關系？,這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。,極徑相同，不同的是極角.,4、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況,[1]給定（?,?）,就可以在極坐標平面內(nèi)確定唯一的一點M,[2]給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應。,原因在于：極角有無數(shù)個。,如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π,那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應了.,數(shù)學運用,?在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的情況下，也允許取負值(?<0):,當?<0時如何規(guī)定(?,?)對應的點的位置？,當?<0時，點M(?,?)的位置規(guī)定：,,?M,(?,?),,點M：在角?終邊的反向延長線上，且|OM|=|?|,5、關于負極徑,小結：從比較來看,負極徑比正極徑多了一個操作,將射線OP“反向延長”.,x,,,,,,,,,,?,[小結],(?,?),(?,2k?+?),,(-?,?+?),(-?,?+(2k+1)?),都是同一點的極坐標.,1,[3]一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？,[1]建立一個極坐標系需要哪些要素?,極點；極軸；長度單位；計算角度的正方向.,[2]極坐標系內(nèi)一點的極坐標有多少種表達式？,無數(shù)，極角有無數(shù)個.,有。（ρ，2kπ+θ）,課堂小結,課后作業(yè),1956年，斯德哥爾摩的街頭，52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀。那時，落魄、一文不名的笛卡爾過著乞討的生活，全部的財產(chǎn)只有身上穿的破破爛爛的衣服和隨身所帶的幾本數(shù)學書籍。生性清高的笛卡爾從來不開口請求路人施舍，他只是默默地低頭在紙上寫寫畫畫，潛心于他的數(shù)學世界。一個寧靜的午后，笛卡爾照例坐在街頭，沐浴在陽光中研究數(shù)學問題。他如此沉溺于數(shù)學世界，身邊過往的人群，喧鬧的車馬隊伍。都無法對他造成干擾。突然，有人來到他旁邊，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭過頭，笛卡爾看到一張年輕秀麗的臉龐，一雙清澈的眼睛如湛藍的湖水，楚楚動人，長長的睫毛一眨一眨的，期待著他的回應。她就是瑞典的小公主，國王最寵愛的女兒克里斯汀。,她蹲下身，拿過笛卡爾的數(shù)學書和草稿紙，和他交談起來。言談中，他發(fā)現(xiàn)，這個小女孩思維敏捷，對數(shù)學有著濃厚的興趣。和女孩道別后，笛卡爾漸漸忘卻了這件事，依舊每天坐在街頭寫寫畫畫。幾天后，他意外地接到通知，國王聘請他做小公主的數(shù)學老師。滿心疑惑的笛卡爾跟隨前來通知的侍衛(wèi)一起來到皇宮，在會客廳等候的時候，他聽到了從遠處傳來的銀鈴般的笑聲。轉過身，他看到了前兒天在街頭偶遇的女孩子。慌忙中，他趕緊低頭行禮。從此，他當上了公主的數(shù)學老師。,公主的數(shù)學在笛卡爾的悉心指導下突飛猛進，他們之間也開始變得親密起來。笛卡爾向她介紹了他研究的新領域——直角坐標系。通過它，代數(shù)與幾何可以結合起來，也就是日后笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何學的雛形。在笛卡爾的帶領下，克里斯汀走進了奇妙的坐標世界，她對曲線著了迷。每天的形影不離也使他們彼此產(chǎn)生了愛慕之心。在瑞典這個浪漫的國度里，一段純粹、美好的愛情悄然萌發(fā)。然而，沒過多久，他們的戀情傳到了國王的耳朵里。國王大怒，下令馬上將笛卡爾處死。在克里斯汀的苦苦哀求下，國王將他放逐回國，公主被軟禁在宮中。當時，歐洲大陸正在流行黑死病。身體孱弱的笛卡爾回到法國后不久，便染上重病。,在生命進入倒計時的那段日子，他日夜思念的還是街頭偶遇的那張溫暖的笑臉。他每天堅持給她寫信，盼望著她的回音。然而，這些信都被國王攔截下來，公主一直沒有收到他的任何消息。在笛卡爾給克里斯汀寄出第十三封信后，他永遠地離開了這個世界。此時，被軟禁在宮中的小公主依然徘徊在皇宮的走廊里，思念著遠方的情人。這最后一封信上沒有寫一句話，只有一個方程：r=a(1-sinθ)。國王看不懂，以為這個方程里隱藏著兩個人不可告人的秘密，便把全城的數(shù)學家召集到皇宮，但是沒有人能解開這個函數(shù)式。他不忍看著心愛的女兒每天悶悶不樂，便把這封信給了她。,拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了戀人的意圖，找來紙和筆，著手把方程圖形畫了出來，一顆心形圖案出現(xiàn)在眼前，克里斯汀不禁流下感動的淚水，這條曲線就是著名的“心形線”。國王去世后，克里斯汀繼承王位，登基后，她便立刻派人去法國尋找心上人的下落，收到的卻是笛卡爾去世的消息，留下了一個永遠的遺憾……這封享譽世界的另類情書，至今，還保存在歐洲笛卡爾的紀念館里。,事實上，笛卡爾和克里斯蒂娜的確有過交情。不過，笛卡爾是1649年10月4日應克里斯蒂娜邀請才來到的瑞典，并且當時克里斯蒂娜已經(jīng)成為了瑞典女王。并且，笛卡爾與克里斯蒂娜談論的主要是哲學問題。有資料記載，由于克里斯蒂娜女王時間安排很緊，笛卡爾只能在早晨五點與她探討哲學。天氣寒冷加上過度操勞讓笛卡爾不幸患上肺炎，這才是笛卡爾真正的死因。心形線的故事究竟幾分是真幾分是假，還是留給大家自己判斷吧。,