2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 八上 第1章《勾股定理》 北師大版

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1、北師版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第1章勾股定理考點(diǎn)一：勾股定理1.（2018濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A5 B6 C7 D8【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾為3，股為4，弦的平方為32+42=25，弦長(zhǎng)為5故選：A2.（2018模擬）如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（）A4 B8 C16 D64【分析】根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，由正方形PQED的面積和正方形PRQF的面積分別表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出QR的平方，即為所求正方形的面積【解答】解：正方形PQ

2、ED的面積等于225，即PQ2=225，正方形PRGF的面積為289，PR2=289，又PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，QR2=PR2PQ2=289225=64，則正方形QMNR的面積為64故選：D3.（2018模擬）如圖，小明將一張長(zhǎng)為20cm，寬為15cm的長(zhǎng)方形紙（AEDE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，則剪去的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為（）A5cm B12cm C16cm D20cm【分析】解答此題只要把原來(lái)的圖形補(bǔ)全，構(gòu)造出直角三角形解答【解答】解：延長(zhǎng)AB、DC相交于F，則BFC構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理得：BC2=（153）2+（204）2=

3、122+162=400，所以BC=20則剪去的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為20cm故選：D4.（2018模擬）如圖，在ABC中，B=C，AD平分BAC，AB=5，BC=6，則AD=（）A3 B4 C5 D6【分析】先判定ABC為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)可求得BD，在RtABD中利用勾股定理可求得AD的長(zhǎng)【解答】解：B=C，AB=AC，AD平分BAC，ADBC，BD=CD=BC=3，在RtABD中，AB=5，BD=3，AD=4，故選：B考點(diǎn)二：勾股定理得證明1.（2018瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小

4、正方形拼成的一個(gè)大正方形設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長(zhǎng)為（）A9 B6 C4 D3【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：ab，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng)【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：ab，每一個(gè)直角三角形的面積為：ab=8=4，4ab+（ab）2=25，（ab）2=2516=9，ab=3，故選：D2.（2018期中）如圖是著名的趙爽弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼成，每個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，請(qǐng)你用它驗(yàn)證勾股定理【分析】通過(guò)圖中小正方形面積證明勾股定

5、理【解答】解：S小正方形=（ba）2=b22ab+a2，另一方面S小正方形=c24ab=c22ab，即b22ab+a2=c22ab，a2+b2=c23.（2018期中）如圖：在RtABC和RtBDE中，C=90，D=90，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，試?yán)脠D形證明勾股定理【分析】由圖知，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，用字母表示出來(lái)，化簡(jiǎn)后，即證明勾股定理【解答】證明：C=90，D=90，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，RtACBRtBDE，ABC=BED，BAC=EBD，ABC+DBE=90，ABE=90，三個(gè)Rt其面積分別為ab，ab和c2直角梯

6、形的面積為（a+b）（a+b）由圖形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2，整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，a2+b2=c24.（2018模擬）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中DAB=90，求證：a2+b2=c2證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=baS四邊形ADCB=SACD+SABC=b2+ab又S四邊形ADCB=SAD

7、B+SDCB=c2+a（ba），b2+ab=c2+a（ba），a2+b2=c2請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中DAB=90求證：a2+b2=c2【分析】首先連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=ba，表示出S五邊形ACBED，兩者相等，整理即可得證【解答】證明：連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=ba，S五邊形ACBED=SACB+SABE+SADE=ab+b2+ab，又S五邊形ACBED=SACB+SABD+SBDE=ab+c2+a（ba），ab+b2+ab=ab+c2+a（ba），a2+b2=c2考點(diǎn)三：勾股定理的逆定理1.（2

8、018南通）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）A3，4，5 B2，3，4 C4，6，7 D5，11，12【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角由此判定即可【解答】解：A、32+42=52，三條線段能組成直角三角形，故A選項(xiàng)正確；B、22+3242，三條線段不能組成直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、42+6272，三條線段不能組成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、52+112122，三條線段不能組成直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A2.（2018模擬）如圖，長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)

9、C向上拉升3cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）A2cm B3cm C4cm D5cm【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長(zhǎng)，則AD+BDAB即為橡皮筋拉長(zhǎng)的距離【解答】解：RtACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD2=AC2+CD2=25，CD=5cm；AD+BDAB=2ADAB=108=2cm；故橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm故選：A3.（2018期中）下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A1.5，2，3 B6，8，10 C5，12，13 D15，20，25【分析】只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可判斷三角形是不是直角三角形，據(jù)此進(jìn)行判斷【解答】解：A

10、、（1.5）2+2232，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、62+82=100=102，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、52+122=169=132，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、152+202=252，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：A4.（2018期末）滿足下列條件的ABC，不是直角三角形的是（）Ab2c2=a2 Ba：b：c=3：4：5CC=AB DA：B：C=9：12：15【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：A.b2c2=a2，則b2=a2+c2，ABC是直角三角形；B.a：b：c=3：4：5，設(shè)a

11、=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，ABC是直角三角形；C.C=AB，則B=A+C，B=90，ABC是直角三角形；D.A：B：C=9：12：15，設(shè)A、B、C分別為9x、12x、15x，則9x+12x+15x=180，解得，x=5，則A、B、C分別為45，60，75，ABC不是直角三角形；故選：D5.（2018期中）已知ABC的三邊分別是6，8，10，則ABC的面積是（）A24 B30 C40 D48【分析】因?yàn)锳BC的三邊分別是6，8，10，根據(jù)勾股定理的逆定理可求出此三角形為直角三角形，根據(jù)三角形面積公式可求出面積【解答】解：62+82=102，ABC是直角三角形，ABC的面積=

12、68=24故選：A6.（2018期中）已知ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，滿足a+b=10，ab=18，c=8，則此三角形為 三角形【分析】對(duì)原式進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)三邊的關(guān)系符合勾股定理的逆定理，從而可判定其形狀【解答】解：a+b=10，ab=18，c=8，（a+b）22ab=10036=64，c2=64，a2+b2=c2，此三角形是直角三角形故答案為：直角7.（2018期末）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第組勾股數(shù)： 【分析】勾股定理和了解數(shù)的規(guī)律變化是解題關(guān)鍵【解答】解：從上邊可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2，故

13、第5組第一個(gè)數(shù)是11，又發(fā)現(xiàn)第二、第三個(gè)數(shù)相差為一，故設(shè)第二個(gè)數(shù)為x，則第三個(gè)數(shù)為x+1，根據(jù)勾股定理得：112+x2=（x+1）2，解得x=60，則得第5組數(shù)是：11、60、61故答案為：11、60、618.（2018期中）如圖，ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC的面積【分析】根據(jù)AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求證ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，然后利用三角形面積公式即可得出答案【解答】解：BD2+AD2=62+82=102=AB2，ABD是直角三角形，ADBC，在RtACD中，CD2=AC2-AD2=22

14、5，CD=15，SABC=BCAD=（BD+CD）AD=218=84，因此ABC的面積為84答：ABC的面積是84考點(diǎn)四：勾股定理的應(yīng)用1.（2018期末）如圖：在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，則CE2+CF2等于（）A75 B100 C120 D125【分析】根據(jù)角平分線的定義推出ECF為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，進(jìn)而可求出CE2+CF2的值【解答】解：CE平分ACB，CF平分ACD，ACE=ACB，ACF=ACD，即ECF=（ACB+ACD）=90，EFC為直角三角形，又EFBC，CE平分ACB，CF平分ACD

15、，ECB=MEC=ECM，DCF=CFM=MCF，CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100故選：B2.（2018模擬）一根高9m的旗桿在離地4m高處折斷，折斷處仍相連，此時(shí)在3.9m遠(yuǎn)處耍的身高為1m的小明（）A沒有危險(xiǎn)B有危險(xiǎn)C可能有危險(xiǎn)D無(wú)法判斷【分析】由勾股定理求出BC=43.9，即可得出結(jié)論【解答】解：如圖所示：AB=94=5，AC=41=3，由勾股定理得：BC=43.9，此時(shí)在3.9m遠(yuǎn)處耍的身高為1m的小明有危險(xiǎn)，故選：B3.（2018模擬）如圖所示，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=32cm，把長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)

16、F，AF=25cm，則AD的長(zhǎng)為（）A16cm B20cm C24cm D28cm【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)證明EAC=DCA，根據(jù)等角對(duì)等邊證明FC=AF，則DF即可求得，然后在直角ADF中利用勾股定理求解【解答】解：長(zhǎng)方形ABCD中，ABCD，BAC=DCA，又BAC=EAC，EAC=DCA，F(xiàn)C=AF=25cm，又長(zhǎng)方形ABCD中，DC=AB=32cm，DF=DCFC=3225=7cm，在直角ADF中，AD=24（cm）故選：C4.（2018湘潭）九章算術(shù)是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高

17、幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，ABC中，ACB=90，AC+AB=10，BC=3，求AC的長(zhǎng)，如果設(shè)AC=x，則可列方程為 【分析】設(shè)AC=x，可知AB=10x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)AC=x，AC+AB=10，AB=10x在RtABC中，ACB=90，AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10x）2故答案為：x2+32=（10x）25.（2018包頭）如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則ABC邊AC上的高BD的長(zhǎng)為 【分析】根據(jù)網(wǎng)格，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，AB的長(zhǎng)，以及AB邊上的高，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積，而三角形ABC面積可以由AC與BD乘積的一半來(lái)

18、求，利用面積法即可求出BD的長(zhǎng)【解答】解：根據(jù)勾股定理得：AC=5，由網(wǎng)格得：SABC=24=4，且SABC=ACBD=5BD，5BD=4，解得：BD=故答案為：6.（2018黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為 cm（杯壁厚度不計(jì)）【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AB的長(zhǎng)度即為所求【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，則AB即為最短距離，AB2=AD2+BD2=4

19、00，AB=20（cm）故答案為207.（2018期中）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有池方兩丈，葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意思是說(shuō)：“有一個(gè)水池是邊長(zhǎng)為2丈（1丈=10尺） 的正方形，在水池正中央長(zhǎng)有一根蘆葦，蘆葦露出水面2尺如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？”答：這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是 【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理可得x2+（）2=（x+1）2，再解答即可【解答】解；設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾

20、股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺故答案是：12尺；13尺8.（2018期中）如圖，在RtABC中，B=90，AB=3，BC=4，將ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B重合，AE為折痕，求EB的長(zhǎng)【分析】根據(jù)折疊得到BE=EB，AB=AB=3，設(shè)BE=EB=x，則EC=4x，根據(jù)勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22=（4x）2，再解方程即可算出答案【解答】解：根據(jù)折疊可得BE=EB，AB=AB=3，設(shè)BE=EB=x，則EC=4x，B=90，AB=3，BC=4，在RtABC中，由勾股定理得，AC=5，BC=53=2，在RtBEC中，由勾股定理得，x2+22=（4x）2，解得x=1.512