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1、3.2.3、其他未定式、其他未定式 3.2.2、 型未定式型未定式3.2.1、 型未定式型未定式003.2 洛必達法則 都趨于零或和時，函數或若當xFxfxax)(,都趨于無窮大 可能存在，也可能那么極限xFxfxaxlim.不存在.通通常常稱稱這這種種極極限限為為未未定定式式,為了敘述方便0.0 習習慣慣上上用用記記號號 或 或 來 來表表示示這這種種未未定定式式,本本節(jié)節(jié)中中 我我們們將將利利用用柯柯西西中中值值定定理理來來推推出出求求這這類類極極限限的的一一種種簡簡便便而而比比較較有有效效的的方方法法。1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafx
2、Fx 存在存在 (或為或為 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 2)( )( )( ),f xF xUa 與與在在 內 內可可導導0)( xF且定理定理 3.2.1(LHospital 法則法則) 3.2.1、型未定式型未定式00( 在在 x , a 之間之間)證證:無妨假設無妨假設( )( )0,f aF a在指出的鄰域內任取在指出的鄰域內任取,xa 則則( ),( )f xF x在以在以 x, a 為端點的區(qū)間上滿足為端點的區(qū)間上滿足1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x故故( )( )( )( )( )( )f xf xf aF xF xF
3、 a ( )( )fF ( )lim( )xaf xF x( )lim( )xafF ( )lim( )xafxFx 3)定理條件定理條件: 柯西定理條件柯西定理條件,( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或為或為 )2)( )( )( ),f xF xUa 與與在在 內 內可可導導0)( xF且( )lim( )afF 注注 1. 定理中定理中xa換為換為,xa ,xa ,x x 之一之一,2. 若若( )lim( )fxFx 0,( ),( )0fxFx仍仍屬屬型型 且且仍仍滿滿足足定定理的條件理的條件, 則則( )( )limlim( )( )f xfxF xFx ( )li
4、m( )fxFx 條件條件 2) 作相應的修改作相應的修改, 結論仍然成立結論仍然成立.,x ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 洛必達法則洛必達法則例例1 1解解: 0(1)1lim0 .2xxx 求求10(1)lim2xx 原原式式.2 0()0例例2 20lim(0)xxxababx 求求0()0解解:0lnlnlimln.1xxxaabbab 原原式式例例3. 求求arctan2lim.1xxx 解解: 原式原式 lim x 00型型22lim1xxx 1 211x 21x 21lim11xx 型型例例4. 求求332132lim.1xxxxxx解解: 原
5、式原式1 limx 00型型16lim62xxx 32 注意注意: 不是未定式不能用洛必達法則不是未定式不能用洛必達法則 !16lim62xxx 16lim16x 233x 2321xx例例5. 求求20tanlim.sinxxxxx 解解: 注意到注意到sin x原式原式30tanlimxxxx 220sec1lim3xxx 220tanlim3xxx 22sec1tanxx13 x00型型注：洛必達法則是求未定式極限的較有效的方法，但注：洛必達法則是求未定式極限的較有效的方法，但要要與其他求極限的方法結合使用。例如，能化簡時盡量與其他求極限的方法結合使用。例如，能化簡時盡量化簡，運用等價無
6、窮小替換或重要極限等可簡化運算化簡，運用等價無窮小替換或重要極限等可簡化運算3.2.2、 型未定式型未定式( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或為或為)( )lim( )xaf xF x定理定理 3.2.2( )lim( )xafxFx 2)( )( )( ),f xF xUa 與與在在 內 內可可導導( )0Fx 且且1) lim( )lim( )xaxaf xF x (LHospital 法則法則) 例例6. 求求lnlim(0).nxxnx 解解: 型型原式原式11limnxxnx 1limnxnx 0 例例7. 求求解解: (1) n 為正整數的情形為正整數的情形.原式原
7、式0 1limnxxnxe 22(1)limnxxn nxe !limnxxne lim(0 ,0).nxxxne 型型Back 1kn(2) n 不為正整數的情形不為正整數的情形.則則(1)(1)limn kkxxn nnkxe lim0nxxxe 令令1limlimnnxxxxxnxee 22(1)limnxxn nxe 關于洛必達法則的說明關于洛必達法則的說明例例6 , 例例7 表明表明x時時,ln,x后者比前者趨于后者比前者趨于更快更快.例如例如,21limxxx 2lim1xxx 21limxxx 但但21limxxx 21lim1xx1 (0)xe (0),nxn 用洛必達法則用洛
8、必達法則1) 洛必達法則不是萬能的。洛必達法則不是萬能的。2) 當當,)()()(lim時不存在xFxf( )lim( )f xF x例如例如,sinlimxxxx 1coslim1xx 極限不存在極限不存在sinlim(1)xxx 1 不一定不存在。不一定不存在。3.2.3、其他未定式、其他未定式:0, 00 ,1 , 0 型型解決方法解決方法:通分通分轉化轉化000取倒數取倒數轉化轉化0010取對數取對數轉化轉化例例8. 求求0limln(0).nxxxn 0型型解解: 原式原式0lnlimnxxx 101limnxxn x 0 0lim()nxxn Back型型2lim(sectan )
9、.xxx 解解: 原式原式21sinlim()coscosxxxx 21sinlimcosxxx 2coslimsinxxx 0 例例9. 求求通分通分轉化轉化000取倒數取倒數轉化轉化0010取對數取對數轉化轉化例例10. 求求0lim.xxx 00 型型解解: 0limxxx ln0limxxxe 0e 1利用利用 例例8通分通分轉化轉化000取倒數取倒數轉化轉化0010取對數取對數轉化轉化0limlnxxxe 內容小結內容小結洛必達法則洛必達法則000 ,1 , 型型 型型0 型型型00型1gffg1111gfgffg gfy 令令取對數取對數思考與練習思考與練習2013sincos1.
10、 lim(1cos )ln(1)xxxxxx 原式原式2013sincos1lim2xxxxx )1ln(xx1(30)232分析分析:分析分析:201coslim3xxx 30 limxx 2.011limcotsinxxxx原式原式xsinx0limcos1xx sinxx 22012lim3xxx xcos1221x16 1620cos(sin )limsinxx xxxx 洛必達洛必達(1661 1704)法國數學家法國數學家, 他著有他著有無窮小分析無窮小分析(1696), 并在該書中提出了求未定式極并在該書中提出了求未定式極限的方法限的方法, 后人將其命名為后人將其命名為“ 洛必達法洛必達法的擺線難題的擺線難題, 以后又解決了伯努利提出的以后又解決了伯努利提出的“ 最速降最速降 線線 ” 問題問題,在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的關于圓年出版了他的關于圓錐曲線的書錐曲線的書.則則 ”.他在他在15歲時就解決了帕斯卡提出歲時就解決了帕斯卡提出
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