高等數(shù)學(xué)：3-2 洛必達(dá)法則

3.2.3、其他未定式、其他未定式 3.2.2、 型未定式型未定式3.2.1、 型未定式型未定式003.2 洛必達(dá)法則 都趨于零或和時(shí)，函數(shù)或若當(dāng)xFxfxax)(,都趨于無(wú)窮大 可能存在，也可能那么極限xFxfxaxlim.不存在.通通常常稱(chēng)稱(chēng)這這種種極極限限為為未未定定式式,為了敘述方便0.0 習(xí)習(xí)慣慣上上用用記記號(hào)號(hào) 或 或 來(lái) 來(lái)表表示示這這種種未未定定式式,本本節(jié)節(jié)中中 我我們們將將利利用用柯柯西西中中值值定定理理來(lái)來(lái)推推出出求求這這類(lèi)類(lèi)極極限限的的一一種種簡(jiǎn)簡(jiǎn)便便而而比比較較有有效效的的方方法法。1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或?yàn)榛驗(yàn)?)( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 2)( )( )( ),f xF xUa 與與在在 內(nèi) 內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)0)( xF且定理定理 3.2.1(LHospital 法則法則) 3.2.1、型未定式型未定式00( 在在 x , a 之間之間)證證:無(wú)妨假設(shè)無(wú)妨假設(shè)( )( )0,f aF a在指出的鄰域內(nèi)任取在指出的鄰域內(nèi)任取,xa 則則( ),( )f xF x在以在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x故故( )( )( )( )( )( )f xf xf aF xF xF a ( )( )fF ( )lim( )xaf xF x( )lim( )xafF ( )lim( )xafxFx 3)定理?xiàng)l件定理?xiàng)l件: 柯西定理?xiàng)l件柯西定理?xiàng)l件,( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或?yàn)榛驗(yàn)?)2)( )( )( ),f xF xUa 與與在在 內(nèi) 內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)0)( xF且( )lim( )afF 注注 1. 定理中定理中xa換為換為,xa ,xa ,x x 之一之一,2. 若若( )lim( )fxFx 0,( ),( )0fxFx仍仍屬屬型型 且且仍仍滿滿足足定定理的條件理的條件, 則則( )( )limlim( )( )f xfxF xFx ( )lim( )fxFx 條件條件 2) 作相應(yīng)的修改作相應(yīng)的修改, 結(jié)論仍然成立結(jié)論仍然成立.,x ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則例例1 1解解: 0(1)1lim0 .2xxx 求求10(1)lim2xx 原原式式.2 0()0例例2 20lim(0)xxxababx 求求0()0解解:0lnlnlimln.1xxxaabbab 原原式式例例3. 求求arctan2lim.1xxx 解解: 原式原式 lim x 00型型22lim1xxx 1 211x 21x 21lim11xx 型型例例4. 求求332132lim.1xxxxxx解解: 原式原式1 limx 00型型16lim62xxx 32 注意注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !16lim62xxx 16lim16x 233x 2321xx例例5. 求求20tanlim.sinxxxxx 解解: 注意到注意到sin x原式原式30tanlimxxxx 220sec1lim3xxx 220tanlim3xxx 22sec1tanxx13 x00型型注：洛必達(dá)法則是求未定式極限的較有效的方法，但注：洛必達(dá)法則是求未定式極限的較有效的方法，但要要與其他求極限的方法結(jié)合使用。例如，能化簡(jiǎn)時(shí)盡量與其他求極限的方法結(jié)合使用。例如，能化簡(jiǎn)時(shí)盡量化簡(jiǎn)，運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小替換或重要極限等可簡(jiǎn)化運(yùn)算化簡(jiǎn)，運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小替換或重要極限等可簡(jiǎn)化運(yùn)算3.2.2、 型未定式型未定式( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或?yàn)榛驗(yàn)?( )lim( )xaf xF x定理定理 3.2.2( )lim( )xafxFx 2)( )( )( ),f xF xUa 與與在在 內(nèi) 內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)( )0Fx 且且1) lim( )lim( )xaxaf xF x (LHospital 法則法則) 例例6. 求求lnlim(0).nxxnx 解解: 型型原式原式11limnxxnx 1limnxnx 0 例例7. 求求解解: (1) n 為正整數(shù)的情形為正整數(shù)的情形.原式原式0 1limnxxnxe 22(1)limnxxn nxe !limnxxne lim(0 ,0).nxxxne 型型Back 1kn(2) n 不為正整數(shù)的情形不為正整數(shù)的情形.則則(1)(1)limn kkxxn nnkxe lim0nxxxe 令令1limlimnnxxxxxnxee 22(1)limnxxn nxe 關(guān)于洛必達(dá)法則的說(shuō)明關(guān)于洛必達(dá)法則的說(shuō)明例例6 , 例例7 表明表明x時(shí)時(shí),ln,x后者比前者趨于后者比前者趨于更快更快.例如例如,21limxxx 2lim1xxx 21limxxx 但但21limxxx 21lim1xx1 (0)xe (0),nxn 用洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則1) 洛必達(dá)法則不是萬(wàn)能的。洛必達(dá)法則不是萬(wàn)能的。2) 當(dāng)當(dāng),)()()(lim時(shí)不存在xFxf( )lim( )f xF x例如例如,sinlimxxxx 1coslim1xx 極限不存在極限不存在sinlim(1)xxx 1 不一定不存在。不一定不存在。3.2.3、其他未定式、其他未定式:0, 00 ,1 , 0 型型解決方法解決方法:通分通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例8. 求求0limln(0).nxxxn 0型型解解: 原式原式0lnlimnxxx 101limnxxn x 0 0lim()nxxn Back型型2lim(sectan ).xxx 解解: 原式原式21sinlim()coscosxxxx 21sinlimcosxxx 2coslimsinxxx 0 例例9. 求求通分通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例10. 求求0lim.xxx 00 型型解解: 0limxxx ln0limxxxe 0e 1利用利用 例例8通分通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0limlnxxxe 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則000 ,1 , 型型 型型0 型型型00型1gffg1111gfgffg gfy 令令取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)思考與練習(xí)思考與練習(xí)2013sincos1. lim(1cos )ln(1)xxxxxx 原式原式2013sincos1lim2xxxxx )1ln(xx1(30)232分析分析:分析分析:201coslim3xxx 30 limxx 2.011limcotsinxxxx原式原式xsinx0limcos1xx sinxx 22012lim3xxx xcos1221x16 1620cos(sin )limsinxx xxxx 洛必達(dá)洛必達(dá)(1661 1704)法國(guó)數(shù)學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他著有他著有無(wú)窮小分析無(wú)窮小分析(1696), 并在該書(shū)中提出了求未定式極并在該書(shū)中提出了求未定式極限的方法限的方法, 后人將其命名為后人將其命名為“ 洛必達(dá)法洛必達(dá)法的擺線難題的擺線難題, 以后又解決了伯努利提出的以后又解決了伯努利提出的“ 最速降最速降 線線 ” 問(wèn)題問(wèn)題,在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書(shū)錐曲線的書(shū).則則 ”.他在他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出歲時(shí)就解決了帕斯卡提出