新編廣東省廣州市高考數(shù)學一輪復習 專項檢測試題:27 基本不等式

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1、 基本不等式例1:求證。分析:此問題的關(guān)鍵是“靈活運用重要基本不等式,并能由這一特征,思索如何將進行變形,進行創(chuàng)造”。證明:,兩邊同加得,即;,同理可得:,三式相加即得。例2:若正數(shù)、滿足,則的取值范圍是 。解:,令,得,或(舍去),的取值范圍是。說明:本題的常見錯誤有二。一是沒有舍去;二是忘了還原,得出。前者和后者的問題根源都是對的理解,前者忽視了后者錯誤地將視為。因此,解題過程中若用換元法,一定要對所設“元”的取值范圍有所了解,并注意還原之。例3:已知,求證證明:,三式相加,得,即說明:這是一個重要的不等式,要熟練掌握。例4:已知是互不相等的正數(shù),求證:。證明:,同理可得:三個同向不等式相

2、加,得說明:此題中互不相等,故應用基本不等式時,等號不成立。特別地,時,所得不等式仍不取等號。例5:(1)求的最大值。(2)求函數(shù)的最小值,并求出取得最小值時的值。(3)若,且,求的最小值。解:(1)即的最大值為當且僅當時,即,時,取得此最大值。(2)的最小值為3,當且僅當,即,時取得此最小值。(3),即,即的最小值為2,當且僅當時取得此最小值。例6:求函數(shù)的最值。 分析:本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值,但是應注意滿足相應條件。如:,應分別對兩種情況討論,如果忽視的條件,就會發(fā)生如下錯誤:,解:當時,又,當且僅當,即時,函數(shù)有最小值當時,又,當且僅當,即時,函數(shù)最小值例7:求函數(shù)的最值

3、。 分析:。但等號成立時,這是矛盾的!于是我們運用函數(shù)在時單調(diào)遞增這一性質(zhì),求函數(shù)的最值。解:設,。當時,函數(shù)遞增,故原函數(shù)的最小值為,無最大值。例8:求函數(shù)的最小值。 分析:用換元法,設,原函數(shù)變形為,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果?;蛴煤瘮?shù)方程思想求解。解:解法1:設,故。由,得:,故:。函數(shù)為增函數(shù),從而。解法2:設,知,可得關(guān)于的二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系,得:。又,故有一個根大于或等于2,設函數(shù),則,即,故。 說明:本題易出現(xiàn)如下錯解:。要知道,無實數(shù)解,即,所以原函數(shù)的最小值不是2。錯誤原因是忽視了等號成立的條件。當、為常數(shù),且為定值,時,不能直接求最大(小)值,可以利用恒等變形,當之

4、差最小時,再求原函數(shù)的最大(小)值。例9:求的最小值。分析:此題出現(xiàn)加的形式和平方,考慮利用重要不等式求最小值。解:由,得又得,即。 故的最小值是。例10:已知:,求證:。分析:根據(jù)題設,可想到利用重要不等式進行證明。證明:同理:,。說明:證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是:(1)想利用三元重要不等式解決問題;(2)不會利用重要不等式的變式;(3)不熟練證明輪換對稱不等式的常用方法。因此,在證明不等式時,應根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu),合理地選擇重要不等式。另外,本題的證明方法在證輪換對稱不等式時具有一定的普遍性。例11:已知,且,求的最大值。解法1:由,可得,。注意到。可得,。當且僅當,即時等號成立,代入中得,故的最大值為18。解法2:,代入中得:,解此不等式得。下面解法見解法1,下略。說明:解法1的變形是具有通用效能的方法,值得注意:而解法2則是抓住了問題的本質(zhì),所以解得更為簡捷。例12:若,且,求證:。分析:不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個因式分別使用基本不等式所得三個“2”連乘而來,而。證明:,又,即。同理,。當且僅當時,等號成立。 說明:本題巧妙利用的條件,同時要注意此不等式是關(guān)于的輪換式。

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