《新編人教A版理科高考數學一輪細講精練【選修41】幾何證明選講》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編人教A版理科高考數學一輪細講精練【選修41】幾何證明選講（32頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、選修41幾何證明選講A第1講相似三角形的判定及有關性質最新考綱了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質定理；理解直角三角形射影定理知 識 梳 理1平行截割定理(1)平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等(2)平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例2相似三角形的判定與性質(1)相似三角形的判定定理兩角對應相等的兩個三角形相似兩邊對應成比例并且夾角相等的兩個三角形相似三邊對應成比例的兩個三角形相似(2)相似三角
2、形的性質定理相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項如圖，在RtABC中，CD是斜邊上的高，則有CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB. 診 斷 自 測1. 如圖，已知abc，直線m，n分別與a，b，c交于點A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，則BC_.解析由平行線等分線段定理可直接得到答案答案2.如圖，ABCAFE，EF8，且ABC與AFE的相似比是32，則BC等于_解
3、析ABCAFE，.又EF8，BC12.答案123. (20xx揭陽模擬)如圖，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，則EC_.解析在RtADB中，DB，依題意得，ADBACE，可得EC2.答案24.如圖，C90，A30，E是AB中點，DEAB于E，則ADE與ABC的相似比是_解析E為AB中點，即AEAB，在RtABC中，A30，ACAB，又RtAEDRtACB，相似比為.故ADE與ABC的相似比為1.答案15. (20xx湛江模擬)如圖，在ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交于BC于F，則_.解析如圖，過點D作DGAF，交BC于點G，易得FGGC，又在BDG中，BEDE，即EF
4、為BDG的中位線，故BFFG，因此.答案考點一平行截割定理的應用【例1】 如圖，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，則AB的長為_解析由，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案規(guī)律方法 利用平行截割定理解決問題，特別注意被平行線所截的直線，找準成比例的線段，得到相應的比例式，有時需要進行適當的變形，從而得到最終的結果【訓練1】 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且EF3，EFAB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_解析如圖，延長AD，BC交于一點O，作OHAB于點H.，得x2h1，得h1h2. S梯形ABFE(
5、34)h2h2， S梯形EFCD(23)h1h1，S梯形ABFES梯形EFCD75.答案75考點二相似三角形的判定及性質【例2】 如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB，E為AC的中點，ED、CB延長線交于一點F.求證：FD2FBFC.證明E是RtACD斜邊中點，EDEA，A1，12，2A，F(xiàn)DCCDB2902，F(xiàn)BDACBA90A，F(xiàn)BDFDC，F(xiàn)是公共角，F(xiàn)BDFDC，F(xiàn)D2FBFC.規(guī)律方法 判定兩個三角形相似要注意結合圖形性質靈活選擇判定定理，特別要注意對應角和對應邊證明線段乘積相等的問題一般轉化為有關線段成比例問題(2)相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等；可間接證明線段
6、相等【訓練2】 (20xx陜西卷)如圖，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知AC，PD2DA2，則PE_.解析PEBC，CPED，又CA，則有APED，又為公共角，所以PDEPEA，即PE2PDPA236，故PE. 答案考點三直角三角形射影定理及其應用【例3】 如圖所示，AD、BE是ABC的兩條高，DFAB，垂足為F，直線FD交BE于點G，交AC的延長線于H，求證：DF2GFHF.證明HBAC90，GBFBAC90，HGBF.AFHGFB90，AFHGFB.，AFBFGFHF.因為在RtABD中，F(xiàn)DAB，DF2AFBF，所以DF2GFHF.規(guī)律方法 (1)在使
7、用直角三角形射影定理時，要注意將“乘積式”轉化為相似三角形中的“比例式”(2)證題時，要注意作垂線構造直角三角形是解決直角三角形問題時常用的方法【訓練3】 如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB于點D， AD4，sinACD，則CD_，BC_.解析在RtADC中，AD4，sinACD，得AC5，CD3，又由射影定理AC2ADAB，得AB.BDABAD4，由射影定理BC2BDAB，BC.答案3三角形相似與圓的交匯問題【典例】 如圖所示，O和O相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交O于點E，證明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.審題視點 (1)根據待
8、證等式可將各邊回歸到ACB，DAB中，再證兩三角形相似；(2)本問可先證明EADABD，再結合第(1)問結論得證證明(1)由AC與O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.從而，即ACBDADAB.(2)由AD與O相切于A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.從而，即AEBDADAB.綜合(1)的結論知，ACAE.反思感悟1.易失分點：(1)證明本題第(2)問時，想不到證明EADABD，從而無法解答(2)證明本題第(2)問時，沒有應用第(1)問的結論從而無法證明結論成立2防范措施：(1)證明等積式成立，應先把它寫成比例式，找出比例式中給出的線段所在三角形是否相
9、似，若不相似，則進行線段替換或等比替換(2)在有多個結論的題目中，如果結論帶有普遍性，已經證明的結論，可作為證明下一個結論成立的條件使用【自主體驗】(20xx江蘇卷)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經過圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD證明連接OD，因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以ADOACB90.又因為AA，所以RtADO RtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.一、填空題1如圖，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，寫出圖中所有與ACE相似的三角形為_解析由RtACE與RtFCD和RtABD各共一個銳角，因而它們均相似，又易知BFEA，故RtA
10、CERtFBE.答案FCD、FBE、ABD2.(20xx西安模擬)如圖，在ABC中，M，N分別是AB，BC的中點，AN，CM交于點O，那么MON與AOC面積的比是_解析M，N分別是AB、BC中點，故MN綉AC，MONCOA，2.答案143.(20xx渭南模擬)如圖，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，則AE_.解析由于ACDAEB90，BD，ABEADC，.又AC4，AD12，AB6，AE2.答案24.(20xx佛山質檢)如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，點E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點，則EF_.解析連接DE和BD，依題知，EBDC，EB
11、DC，CBAB，EBCD為矩形，DEAB，又E是AB的中點，所以ABD為等腰三角形故ADDBa，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，EFDBa.答案5已知圓的直徑AB13，C為圓上一點，過C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，則AD_.解析如圖，連接AC，CB，AB是O的直徑，ACB90.設ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2ADDB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.答案96(20xx廣東卷)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足為E，則ED_.解析在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60.因為BEAC，AB，所以AE，在EAD中，
12、EAD30，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AEADcosEAD923，故ED.答案7.(20xx茂名模擬)如圖，已知ABEFCD，若AB4，CD12，則EF_.解析ABCDEF，4(BCBF)12BF，BC4BF，4，EF3.答案38.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BD與AC相交于O，過O的直線分別交AB、CD于E、F，且EFBC，若AD12，BC20，則EF_.解析EFADBC，OADOCB，OAOCADBC1220，OAECAB，OEBCOACA1232，EF22015.答案159(20xx廣東卷)如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點，滿足ABC30，過點A做圓O
13、的切線與OC的延長線交于點P，則PA_.解析連接AO，AC，因為ABC30，所以CAP30，AOC60，AOC為等邊三角形，則ACP120，APC30，ACP為等腰三角形，且ACCP1，PA21sin 60.答案二、解答題10.如圖，已知圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.證明(1)因為，所以ABCBCD.又因為EC與圓相切于點C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因為ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.11(20xx遼寧卷)如圖，AB為O的直徑，直線CD與O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直
14、CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.證明(1)由直線CD與O相切，得CEBEAB.由AB為O的直徑，得AEEB，從而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF.從而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，F(xiàn)EBCEB，BE是公共邊，得RtBCERtBFE，所以BCBF.同理可證RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.12.如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，過點D作AC的平行線DE，交BA的延長線于點E，求證：(1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD
15、.證明(1)四邊形ABCD是等腰梯形，ACBD.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB.ACBDBC，ABCDCB.ADBC，DACACB，EADABC.DACDBC，EADDCB.EDAC，EDADAC.EDADBC，ADECBD.DEBDAECD.DEDCAEBD.第2講直線與圓最新考綱1理解圓周角定理及其推論；掌握圓的切線的判定定理及性質定理；理解弦切角定理及其推論2掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內接四邊形的性質定理與判定定理.知 識 梳 理1圓周角定理與圓心角定理(1)圓周角定理及其推論定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半推論：(i)推論1：
16、同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等(ii)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑(2)圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數2弦切角的性質弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角3圓的切線的性質及判定定理(1)定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑(2)推論：推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心4與圓有關的比例線段定理名稱基本圖形條件結論應用相交弦定理弦AB、CD相交于圓內點P(1)PAPBPCPD(2)ACPBDP(1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一(2)求弦長及
17、角割線定理PAB、PCD是O的割線(1)PAPBPCPD(2)PACPDB(1)求線段PA、PB、PC、PD(2)應用相似求AC、BD切割線定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2PBPC(2)PABPCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切線長定理PA、PB是O的切線(1)PAPB(2)OPAOPB(1)證線段相等，已知PA求PB(2)求角5.圓內接四邊形的性質與判定定理(1)圓內接四邊形的性質定理定理1：圓內接四邊形的對角互補定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角(2)圓內接四邊形的判定定理及推論判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點
18、共圓推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓診 斷 自 測1.如圖，ABC中，C90，AB10，AC6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為_解析連接CP.由推論2知CPA90，即CPAB，由射影定理知，AC2APAB.AP3.6，BPABAP6.4.答案6.42.如圖，AB、AC是O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧上的點，已知BAC80， 那么BDC_.解析連接OB、OC，則OBAB，OCAC，BOC180BAC100，BDCBOC50.答案503.如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長AB和DC相交 于點P.若PB1，PD3，則的值為_解
19、析ABCD為圓內接四邊形，PBCADP，又PP，BCPDAP，.答案4. (20xx廣州調研)如圖，四邊形ABCD內接于O，BC是直徑，MN與O相切，切點為A，MAB35，則D_.解析連接BD，由題意知，ADBMAB35，BDC90，故ADCADBBDC125.答案1255如圖所示，過點P的直線與O相交于A，B兩點若PA1，AB2，PO3，則O的半徑r_.解析設O的半徑為r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延長PO交O于點C，則PCPOr3r.設PO交O于點D，則PD3r.由圓的割線定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，則r.答案考點一圓周角、弦切角及圓的切線問題【例1】 如
20、圖所示，O的直徑為6，AB為O的直徑，C為圓周上一點，BC3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E.(1)求DAC的度數；(2)求線段AE的長解(1)由已知ADC是直角三角形，易知CAB30，由于直線l與O相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，又ACB90，知DCA60，故在RtADC中，DAC30.(1)(2)法一連接BE，如圖(1)所示，EAB60CBA，則RtABERtBAC，所以AEBC3.法二連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，DCECAE30，又DCA60，故ECA30，(2)又因為CAB30，故ECACAB，從而
21、ECAO，由OCl，ADl，可得OCAE，故四邊形AOCE是平行四邊形，又因為OAOC，故四邊形AOCE是菱形，故AEAO3.規(guī)律方法 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角【訓練1】 如圖，ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SADAE，求BAC的大小(1)證明由已知條件，可得BAECAD.因為AEB與ACD是同弧所對的圓周角所以AEBACD.故ABEAD
22、C.(2)解因為ABEADC，所以，即ABACADAE又SABACsinBAC，且SADAE，故ABACsinBACADAE，則sinBAC1.又BAC為ABC的內角，所以BAC90.考點二與圓有關的比例線段【例2】 如圖，PA切O于點A，割線PBC交O于點B，C，APC的角平分線分別與AB、AC相交于點D、E，求證：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.證明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分線，故EPCAPD.又PA是O的切線，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD；PAEPBD.又PA是切線，PBC是割線PA2PBPC.故，又ADAE，故
23、AD2DBEC.規(guī)律方法 涉及與圓有關的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實際應用中，一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時要注意應用切割線定理【訓練2】 (20xx天津卷)如圖，ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BDAC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長為_解析由切割線定理得AE2EBED，解得EB4.因為ABAC，所以ABCACBADB.由弦切角定理得EABEDA，
24、所以EABABC，則AEBC，因為ACBD，所以四邊形AEBC是平行四邊形所以AEBC6，ACEB4，又由題意可得CAFCBA，所以，CF.答案考點三圓內接四邊形的判定及應用【例3】 (20xx銀川一中月考)如圖，已知AP是O的切線，P為切點，AC是O的割線，與O交于B、C兩點，圓心O在PAC的內部，點M是BC的中點(1)證明：A、P、O、M四點共圓；(2)求OAMAPM的大小(1)證明連接OP，OM，因為AP與O相切于點P，所以OPAP.因為M是O的弦BC的中點，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圓心O在PAC的內部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A、P、O、M四點共圓(2)解由(
25、1)得A、P、O、M四點共圓，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，因為圓心O在PAC的內部，所以OPMAPM90，所以OAMAPM90.規(guī)律方法 (1)如果四點與一定點距離相等，那么這四點共圓；(2)如果四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；(3)如果四邊形的一個外角等于它的內對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓【訓練3】 如圖，已知ABC的兩條角平分線AD和CE相交于點H，ABC60，F(xiàn)在AC上，且AEAF.求證：(1)B、D、H、E四點共圓；(2)CE平分DEF.證明(1)在ABC中，ABC60，BACBCA120.AD，CE分別是ABC的角平分線，HACHCA60，AHC1
26、20.EHDAHC120.EBDEHD180.B，D，H，E四點共圓(2)連接BH，則BH為ABC的平分線，EBHHBD30.由(1)知B，D，H，E四點共圓，CEDHBD30，HDEEBH30.HEDHDE30.AEAF，AD平分BAC，EFAD.又EHAHDECED60，CEF30.CE平分DEF.關于圓的綜合應用【典例】 如圖所示，已知O1和O2相交于A，B兩點，過A點作O1的切線交O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交O1，O2于點D，E，DE與AC相交于點P.(1)求證：ADEC；(2)若AD是O2的切線，且PA6，PC2，BD9，求AD的長審題視點(1)連接AB，在O1中使用弦切角
27、定理，在O2中使用圓周角定理，即可證明DE；(2)根據切割線定理，只要求出BE的長度即可，在O2中根據相交弦定理可得BPPE，根據(1)中ADPCEP，又可得BP，PE的一個方程，解方程組求出BP，PE的長度即可(1)證明連接AB，如圖所示AC是O1的切線，BACD.又BACE.DE.ADEC.(2)解設BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.根據(1)，可得ADPCEP，即，由，可得或(負值舍去)DE9xy16.AD是O2的切線，AD2DBDE916.AD12.反思感悟 在平面幾何的有關計算中往往要使用比例線段，產生比例線段的一個主要根據是兩三角形相似，本題中使用三角形的相似把O2中兩條待
28、求的線段聯(lián)系起來，發(fā)揮了相似三角形的橋梁作用在涉及兩圓的公共弦時，通常是作出兩圓的公共弦，如果有過公共點的切線就可以使用弦切角定理，在兩個圓內實現(xiàn)角的等量代換，這是解決兩個圓相交且在交點處有圓的切線問題的基本思考方向【自主體驗】如圖，梯形ABCD內接于O，ADBC，過B引O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.(1)求證：AB2AEBC；(2)已知BC8，CD5，AF6，求EF的長(1)證明BE切O于B，ABEACB.又ADBC，EABABC，EABABC，.AB2AEBC.(2)解由(1)EABABC，.又AEBC，.又ADBC，ABCD，EF.一、填空題1.如圖，AB是O的直徑，MN與O
29、切于點C，ACBC，則sinMCA_.解析由弦切角定理得，MCAABC，sin ABC.答案2.如圖，AB為O的直徑，C為O上一點AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，DAB80，則ACO_.解析CD是O的切線，OCCD，又ADCD，OCAD.由此得，ACOCAD，OCOA，CAOACO，CADCAO，故AC平分DAB.CAO40，ACO40.答案403.(20xx天津卷)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF3，F(xiàn)B1，EF，則線段CD的長為_解析因為AFBFEFCF，解得CF2，所以，即BD.設
30、CDx，AD4x，所以4x2，所以x.答案4.如圖，在ABC中，ABAC，C72，O過A、B兩點且與BC相切于點B，與AC交于點D，連接BD，若BC1，則AC_.解析由題易知，CABC72，ADBC36，所以BCDACB，所以BCACCDCB，又易知BDADBC，所以BC2CDAC(ACBC)AC，解得AC2.答案25.(20xx陜西卷)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DFDB_.解析由題意知，AB6，AE1，BE5.CEDEDE2AEBE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DFDBDE25.答案56.(20xx廣東卷)如圖，直線P
31、B與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，PBADBA.若ADm，ACn，則AB_.解析PB切O于點B，PBAACB.又PBADBA，DBAACB，ABDACB.，AB2ADACmn，AB.答案7.如圖，O和O相交于A、B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D.若BC2，BD4，則AB的長為_解析AC、AD分別是兩圓的切線，C2，1D，ACBDAB.，AB2BCBD248.AB2(舍去負值)答案28(20xx湖南卷)如圖，在半徑為的O中，弦AB，CD相交于點P，PAPB2，PD1，則圓心O到弦CD的距離為_解析根據相交弦定理求出PC的長，過O作弦CD的垂線由相交弦定理得PAPBPCPD.又PAP
32、B2，PD1，則PC4，CDPCPD5.過O作CD的垂線OE交CD于E，則E為CD中點，OE.答案9.(20xx重慶卷)如圖，在ABC中，ACB90，A60，AB20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為_解析在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.CD為切線，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.由切割線定理得DC2DEDB，即(5)215DE，DE5.答案5二、解答題10.如圖，已知AB是O的直徑，直線CD與O相切于點C，AC平分DAB，ADCD.(1)求證：OCAD；(2)若AD2，AC，求AB的長(1)
33、證明直線CD與O相切于點C，DCODCAACO90，AOCO，OACACO，AC平分DAB，DACOAC，DACACO，OCAD.(2)解由(1)OCAD且OCDC，ADDC，即ADC90，連接BC，AB是O的直徑，ACB90，ADCACB，又DACBAC，ADCACB，AD2，AC，AB.11.(20xx新課標全國卷)如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.(1)證明：DBDC；(2)設圓的半徑為1，BC，延長CE交AB于點F，求BCF外接圓的半徑(1)證明如圖，連接DE，交BC于點G.由弦切角定理，得ABEBCE，而ABECB
34、E，故CBEBCE，所以BECE.又因為DBBE，所以DE為圓的直徑，DCE90.由勾股定理可得DBDC.(2)解由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC邊的中垂線，所以BG.設DE的中點為O，連接BO，則BOG60，從而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圓的半徑為.12.如圖，已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交ABC的外接圓于點F，連接FB，F(xiàn)C.(1)求證：FBFC；(2)求證：FB2FAFD；(3)若AB是ABC外接圓的直徑，EAC120，BC6 cm，求AD的長(1)證明因為AD平分EAC，所以EADDAC.因為四邊形AFBC內接于圓，所以DACFBC.因為EADFABFCB，所以FBCFCB，所以FBFC.(2)證明因為FABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB，所以，所以FB2FAFD.(3)解因為AB是圓的直徑，所以ACB90，又EAC120，所以ABC30，DACEAC60，因為BC6，所以ACBCtanABC2，所以AD4(cm)
新編人教A版理科高考數學一輪細講精練【選修41】幾何證明選講
