高考數(shù)學(xué)第七章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

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1、走向高考走向高考 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)路漫漫其修遠(yuǎn)兮路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索吾將上下而求索新課標(biāo)新課標(biāo)版版 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí)立體幾何立體幾何第七章第七章第五講第五講 直線、平面垂直的判定與直線、平面垂直的判定與性質(zhì)性質(zhì) 第七章第七章知識梳理知識梳理雙基自測雙基自測1考點突破考點突破互動探究互動探究2課課 時時 作作 業(yè)業(yè)3知識梳理知識梳理雙基自測雙基自測1直線與平面垂直(1)定義:若直線l與平面內(nèi)的_一條直線都垂直,則直線l與平面垂直(2)判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條_直線都垂直,則該直線與此平面垂直(線線垂直線面垂直)即:a,b,la,lb,abP_.(3)性質(zhì)定理:垂直于同一個平面的

2、兩條直線_即:a,b_.知識梳理 任意相交l平行ab3二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角:二面角棱上的一點,在兩個半平面內(nèi)分別作與棱_的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角銳角 兩個半平面垂直4平面與平面垂直(1)定義:兩個平面相交,如果它們所成的二面角是_,就說這兩個平面互相垂直(2)判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直即:a,a_.(3)性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于_的直線與另一個平面垂直即:,a,b,ab_.直二面角交線a雙基自測 (5)若兩平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面

3、()(6)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則.()(7)若直線a平面,直線b,則直線a與b垂直()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)考點突破考點突破互動探究互動探究與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷(2)對于選項A,n,mn,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知,缺少條件m,故不正確;對于選項B,m,而m與可能平行,也可能m與斜交,故不正確;對于選項C,m,而m與可能平行,也可能m,故不正確;對于選項D,因為n,m,所以mn.又因為n,所以m.故選D.答案(1)B(2)D規(guī)律總結(jié)與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷方法(1)借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)、甚至無需作圖在頭腦

4、中形成印象來判斷(2)尋找反例,只要存在反例,那么結(jié)論就不正確(3)反復(fù)驗證所有可能的情況,必要時要運用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡單說明對于B,l,m,n,且lm,ln,如圖(2),不垂直;對于C,m,n,mn,且lm,直線l沒有確定,則,的關(guān)系也不能確定;對于D,l,lm,且m,則必有l(wèi),根據(jù)面面垂直的判定定理知,.(2)對于面面垂直的判定,主要是兩個條件,即l,l,如果這兩個條件存在,則.線面垂直的判定與性質(zhì)分析證明線面垂直的步驟(2)PDA45,PAAD,APAD.ABCD為矩形,ADBC,PABC.又M為AB的中點,AMBM.而PAMCBM90,PMCM,又N為PC的中點,MNPC.由(1)

5、知MNCD,PCCDC,MN平面PCD.規(guī)律總結(jié)(1)證明線面垂直的常用方法利用線面垂直的判定定理利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則與另一個也垂直”利用面面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線線垂直的常用方法利用特殊圖形中的垂直關(guān)系利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)利用勾股定理的逆定理利用直線與平面垂直的性質(zhì)證明(1)因為SASC,D是AC的中點,所以SDAC.在RtABC中,ADBD,又SASB,SDSD,所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD,所以SD平面ABC.(2)因為ABBC,D為AC的中點,所以BDAC.由(1)知SDBD

6、,又SDACD,所以BD平面SAC.點評證明本題的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到兩條相交直線與所證直線垂直又B1D1BB1B1,所以A1C1平面BB1D1D.又BD1平面BB1D1D,所以A1C1BD1.同理,DC1BD1,DC1A1C1C1,所以BD1平面A1C1D.由可知EFBD1.規(guī)律總結(jié)線面垂直的性質(zhì)定理是證明兩條直線平行的一種重要方法,本題證明EFBD1的關(guān)鍵是尋找與直線EF,BD1都垂直的平面平面與平面垂直的判定與性質(zhì)證明(1)方法一:連接DG,CD,設(shè)CDGFM,連接MH.在三棱臺DEFABC中,AB2DE,G為AC的中點,可得DFGC,DFGC,所以四邊形DFCG為平行四邊形則M為CD

7、的中點又H為BC的中點,所以HMBD.又HM平面FGH,BD 平面FGH,所以BD平面FGH.方法二:在三棱臺DEFABC中,由BC2EF,H為BC的中點,可得BHEF,BHEF,所以四邊形HBEF為平行四邊形,可得BEHF.在ABC中,G為AC的中點,H為BC的中點,所以GHAB.又GHHFH,所以平面FGH平面ABED.因為BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)連接HE.因為G,H分別為AC,BC的中點,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H為BC的中點,所以EFHC,EFHC,因此四邊形EFCH是平行四邊形所以CFHE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH

8、H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.規(guī)律總結(jié)(1)面面垂直的證明方法定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決提醒:兩平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)運用時要注意“平面內(nèi)的直線”(2)連接BE并延長交PC于H,E是PBC的垂心,PCBH.又已知AE是平面PBC的垂線,PC平面PBC,PCAE.又BHAEE,PC平面ABE.又AB平面ABE,PCAB.PA平面ABC,PAAB.又PCPAP,AB平面PAC.又AC平面PAC,ABAC.即ABC是直角三角形

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