《高等數(shù)學一》復習姜作廉

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1、課程名稱高等數(shù)學(一)教材信息名稱高等數(shù)學(上冊)出版社天津大學出版社作者李君湘邱忠文主編版次2007年8月第1版注：如學員使用其他版本教材，請參考相關(guān)知識點一、客觀部分：(單項選擇、多項選擇、不定項選擇、判斷)(一)、單項選擇部分111 .函數(shù)f(x)(二L)x(L)x為()。2 .32、3(A)奇函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)幕函數(shù)；(D)偶函數(shù)考核知識點：函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7附1.1.1(考核知識點解釋及答案)：函數(shù)的基本特性：有界性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果有M0,使得對xD,都有f(x)M,則稱f(x)在D上有界。如果對xD,使得f(x)M,則稱f(x)在D上有上界。單調(diào)性

2、：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果對x1,x2D,當x2時，包有f(x“f(x2),就稱f(x)在D上為單調(diào)遞增函數(shù)。同理，可以定義單調(diào)遞減函數(shù)。我們統(tǒng)稱單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)為單調(diào)函數(shù)。奇偶性：設(shè)f(x)的定義域為D,又txD,如果(i) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為奇函數(shù)；(ii) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為偶函數(shù).周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在Tw0,使得對xD，總有則稱f(x)為D上的周期函數(shù)，T為f(x)的一個周期.通常周期函數(shù)有無窮多個周期.習慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期f(-x)(1T-x(1T-x=2.32.3計算過程如下：=(23)-x(23戶

3、=(2.3)(2.3)(23)(23)二(1)x(1)x=f(x)2.32、3答案：(D)偶函數(shù)。2.函數(shù)f(x)ln(1sinx)(x0)為()。(A)無窮小量；(B)無窮大量；(C)零函數(shù)；(D)常數(shù)函數(shù)考核知識點：無窮小與無窮大，參見P25-27附1.1.2(考核知識點解釋及答案)：當xx0時，如果函數(shù)f(x)的絕對值大于任意預先給定的正數(shù)M則我們稱函數(shù)f(x)為當xx0時的無窮大量，記為limf(x)。xxo若limf(x)0,則稱函數(shù)f(x)在該極限過程中為無窮小量.簡稱無窮小。xx0答案：(A)無窮小量。3.函數(shù)y處在點x0處()。x(A)可導；(B)間斷；(C)可微；(D)連續(xù)考

4、核知識點：連續(xù)與可導性，參見P40-46附1.1.3(考核知識點解釋及答案】)：函數(shù)在某點處連續(xù)是函數(shù)在該點處可導的必要條件，但不是充分條件.若函數(shù)在某點處不連續(xù)，則它在該點處一定不可導.答案：(B)間斷。4,若f(x)ln(2sinx),則f(0)()。1(A)-1;(B)0;(C)；(D)12考核知識點：復合函數(shù)微分法，參見P61-63附1.1.4(考核知識點解釋及答案)：下述“基本的求導公式”是各種導數(shù)與微分計算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里作為復習我們?nèi)拷o出，提供多處習題計算時使用，可以反復查找使用?；镜那髮Ч交境醯群瘮?shù)求導公式若函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在點ug(

5、x)處可導，則復合函數(shù)yfg(x)在點x處可導,且其導數(shù)為或變曳曳dxdudx本題計算用到復合函數(shù)的求導法則和導數(shù)的四則運算法則。導數(shù)的四則運算法則：如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點x具有導數(shù)，那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導數(shù)，且(1) u(x)v(x)u(x)v(x);(2) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);(3) 妝u(x)v(x)2u(x)v(x)(v(x)0)v(x)v(x)一1答案：(C)-o25.若f(x)xex,則f(0)()。(A)-2;(B)-1;(C)1;(D)2考核知識點：二階導數(shù)計算，參見P65-68附1.1.5(考核知

6、識點解釋及答案)：求高階導數(shù)的方法：求函數(shù)的高階導數(shù)時，除直接按定義逐階求出指定的高階導數(shù)外(直接法)，還常常利用已知的高階導數(shù)公式，通過導數(shù)的四則運算，變量代換等方法，問接求出指定的高階導數(shù)(間接法).復合函數(shù)的求導法則若函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在點ug(x)處可導，則復合函數(shù)yfg(x)在點x處可導，且其導數(shù)為或曳曳四dxdudx復合函數(shù)的求導法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).這一法則又稱為鏈式法則.復合函數(shù)求導既是重點又是難點.在求復合函數(shù)的導數(shù)時，首先要分清函數(shù)的復合層次，然后從外向里，逐層推進求導，不要遺漏，也不要重復.

7、在求導的過程中，始終要明確所求的導數(shù)是哪個函數(shù)對哪個變量(不管是自變量還是中間變量)的導數(shù).在開始時可以先設(shè)中間變量，一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個過程一氣呵成.答案：(D)2。6.函數(shù)f(x)lg1x為()。1cosx(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)幕函數(shù)；(D)周期函數(shù)考核知識點：函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7附1.1.6(考核知識點解釋及答案)：奇偶性：設(shè)f(x)的定義域為D,又txD,如果(i) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為奇函數(shù)；(ii) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為偶函數(shù).周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定

8、義域為D,如果存在TW0,使得對XD，總有則稱f(x)為D上的周期函數(shù)，T為f(x)的一個周期.通常周期函數(shù)有無窮多個周期.習慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期答案：(B)偶函數(shù)。7.函數(shù)f(x)2X1(x0)為()。(A)零函數(shù)；(B)無窮大量；(C)無窮小量；(D)常數(shù)考核知識點：無窮小與無窮大，參見P25-27附1.1.7(考核知識點解釋及答案)：當xx0時，如果函數(shù)f(x)的絕對值大于任意預先給定的正數(shù)M則我們稱函數(shù)f(x)為當xxo時的無窮大量，記為limf(x)。xxo若limf(x)0,則稱函數(shù)f(x)在該極限過程中為無窮小量.簡稱無窮小。xxo答案：(C)無窮小量。8 .

9、函數(shù)yx在點x0處()。(A)間斷；(B)可導；(C)可微；(D)連續(xù)考核知識點：連續(xù)與可導性，參見P40-46附1.1.8(考核知識點解釋及答案)：函數(shù)在某點處連續(xù)是函數(shù)在該點處可導的必要條件，但不是充分條件.若函數(shù)在某點處不連續(xù)，則它在該點處一定不可導.答案：(D)連續(xù)。9 .若f(x)esinx,則f(0)()。(A)-1;(B)0;(C)1;(D)2考核知識點：復合函數(shù)微分法，參見P61-63附1.1.9(考核知識點解釋及答案)：初等函數(shù)的求導法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導法則反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則。若函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在點ug(x)處可導，則復合函

10、數(shù)yfg(x)在點x處可導，且其導數(shù)為或曳dydudxdudx復合函數(shù)的求導法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).在求復合函數(shù)的導數(shù)時，首先要分清函數(shù)的復合層次，然后從外向里，逐層推進求導，不要遺漏，也不要重復.在求導的過程中，始終要明確所求的導數(shù)是哪個函數(shù)對哪個變量(不管是自變量還是中間變量)的導數(shù).在開始時可以先設(shè)中間變量，一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來.答案：(C)00210 .若f(x)ex,則f(0)()。(A)-2;(B)-1;(C)1;(D)2考核知識點：二階

11、導數(shù)計算，參見P65-68附1.1.10(考核知識點解釋及答案)：求高階導數(shù)的方法：求函數(shù)的高階導數(shù)時，除直接按定義逐階求出指定的高階導數(shù)外(直接法)，還常常利用已知的高階導數(shù)公式，通過導數(shù)的四則運算，變量代換等方法，問接求出指定的高階導數(shù)(間接法).答案：(A)-2。I x.II .函數(shù)f(x)lg為()。1x(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)指數(shù)函數(shù)；(D)周期函數(shù)考核知識點：函數(shù)的性質(zhì)，參見P4-7附1.1.11(考核知識點解釋及答案)：函數(shù)的奇偶性：設(shè)f(x)的定義域為D,又txD,如果(i) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為奇函數(shù)；(ii) f(x)f(x),則稱該函數(shù)為偶函數(shù).函數(shù)的

12、周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在T*0,使得對xD，總有則稱f(x)為D上的周期函數(shù)，T為f(x)的一個周期.通常周期函數(shù)有無窮多個周期.習慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期答案：(A)奇函數(shù)。112 .函數(shù)f(x)xcos(x0)為()。x(A)零函數(shù)；(B)無窮大量；(C)無窮小量；(D)常數(shù)考核知識點：無窮小與無窮大，參見P25-27附1.1.12(考核知識點解釋及答案)：當xXo時，如果函數(shù)f(x)的絕對值大于任意預先給定的正數(shù)M則我們稱函數(shù)f(x)為當XXo時的無窮大量，記為limf(x)。xXo若limf(x)0,則稱函數(shù)f(x)在該極限過程中為無窮小量.簡稱無窮

13、小。xXo答案：(C)無窮小量。13 .函數(shù)f(x)tanx|在x=0處()。(A)間斷；(B)可導；(C)可微；(D)連續(xù)考核知識點：連續(xù)與可導性，參見P40-46附1.1.13(考核知識點解釋及答案)：函數(shù)在某點處連續(xù)是函數(shù)在該點處可導的必要條件，但不是充分條件.若函數(shù)在某點處不連續(xù)，則它在該點處一定不可導.答案：(D)連續(xù)。14.若 f(x)()(A)2;(B)-2;(C)4;(D)-4考核知識點：復合函數(shù)微分法，參見P61-63附1.1.14(考核知識點解釋及答案)：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式C0(C為常數(shù))；(xn)nxn1(nR但不為零)；1(e)e;(lnx)一；x(sinx)cos

14、x；(cosx)sinx；1(a)alna；(logax).xlna若函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在點ug(x)處可導，則復合函數(shù)yfg(x)在點x處可導，且其導數(shù)為或曳dydudxdudx復合函數(shù)的求導法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).答案：(C)4。15.若f(x)ln(1x2)，則f(0)()。(A)-2;(B)-1;(C)1;(D)2考核知識點：二階導數(shù)計算，參見P65-68附1.1.15(考核知識點解釋及答案)：求高階導數(shù)的方法：求函數(shù)的高階導數(shù)時，除直接按定義逐階求出指定的高階導數(shù)外(直接法)，還常常利用已知的高階導數(shù)公式

15、，通過導數(shù)的四則運算，變量代換等方法，問接求出指定的高階導數(shù)(間接法).導數(shù)的四則運算法則：如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點x具有導數(shù)，那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導數(shù)，且(1)u(x) v(x) u (x) v (x);u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x);(3)u(x)u (x)v(x) u(x)v(x)v(x)答案：(A) -2v2(x)(v(x) 0)、主觀部分:(一)、填空部分1.函數(shù) yarcsin x-71、 ，一-的定義域是考核知識點：函數(shù)的概念，參見P1-6附2.1.1(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：函數(shù)是最重要的數(shù)學

16、概念之一。下面給出函數(shù)的概念:設(shè)D是一個非空的實數(shù)集合，如果存在某種對應(yīng)規(guī)則f,使得對xD,都有唯一的實數(shù)y與之對應(yīng)，就稱f確定了一個一元函數(shù)，通常記為yf(x),稱x為自變量，y為函數(shù)(因變量)，D為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域.函數(shù)表示的通常方式為公式法，自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學式子表示出來的方法稱為公式法計算過程如下：1也17答案：3,4o2. limx 0xtanx3x考核知識點：洛必達法則求極限，參見P90-95附2.1.2(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個條件：(1) limf(x)0,limg(x)0;xxoxx0(2) f(x)和g(

17、x)在點的某去心鄰域內(nèi)可導,且g(x)0;limf皿存在(或無窮大).xx0g(x)則極限limUx_存在(或無窮大)，且xx0g(x)這種求極限的方法稱為洛必達法則.法則中的xX0改為x后法則仍成立.。答案：10333 .設(shè)函數(shù)f(x)arctanxex,則f(x)=.考核知識點：復合函數(shù)微分法，參見P61-63附2.1.3(考核知識點解釋及答案)：若函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在點ug(x)處可導，則復合函數(shù)yfg(x)在點x處可導，且其導數(shù)為或曳dydudxdudx復合函數(shù)的求導法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).導數(shù)的四則運算法

18、則：如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點x具有導數(shù)，那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導數(shù)，且/八，、，、，、，、(1) u(x)v(x)u(x)v(x);(2) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);(3) 皿u(x)v(x)u(x)v(x)0)v(x)v2(x)答案：2x43x2exo1x44 .設(shè)y(x21)sinx,則dy.考核知識點：微分計算，參見P74-79附2.1.4(考核知識點解釋及答案)：微分的定義：設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量yf(Xox)f(x0)可表示為其中A是與x無關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)yf(x

19、)在點X0可微，并且稱Ax為函數(shù)yf(x)在點xo處相應(yīng)于自變量改變量x的微分,記作dy,即函數(shù)可微的條件：函數(shù)yf(x)在點xo可微的充分必要條件是函數(shù)yf(x)在點xo可導，且當yf(x)在點x?？晌r，其微分一定是：上述“基本的微分公式”是各種微分計算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里為了方便我們給出，提供多處習題計算時使用，可以反復查找使用。答案：(2xsinx(x21)conx)dx。5.函數(shù)f(x)(x21)31的極值點為.考核知識點：函數(shù)極值的計算，參見P96-101附2.1.5(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：確定極值點和極值的步驟(1)求出函數(shù)的定義域和導數(shù)f(x)(2)求出f

20、(x)的全部駐點和不可導點(3)利用第一充分條件，根據(jù)f(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況以便確定該點是否是極大值點或極小值點如函數(shù)存在二階導數(shù)，也可根據(jù)第二充分條件判定；(4)求出函數(shù)的極值計算過程如下：f(x)6x(x21)2，令f(x)0求得駐點x11,x20,x31又f(x)6(x21)(5x21),所以f(0)60因此f(x)在x0處取得極小值極小值為f(0)0因為f(1)f(1)0所以用定理3無法判別而f(x)在x1處的左右鄰域內(nèi)f(x)0,所以f(x)在x1處沒有極值同理“*)在乂1處也沒有極值答案：x006.函數(shù)y1g11gx的定義域是.考核知識點：函數(shù)的概念，參

21、見P1-6附2.1.6(考核知識點解釋及答案)：函數(shù)是最重要的數(shù)學概念之一。下面給出函數(shù)的概念：設(shè)D是一個非空的實數(shù)集合，如果存在某種對應(yīng)規(guī)則f,使得對xD都有唯一的實數(shù)y與之對應(yīng)，就稱f確定了一個一元函數(shù)，通常記為yf（x）,稱x為自變量，y為函數(shù)（因變量），D為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域.答案:（0,10）。17.lim（12x）x.考核知識點：求極限，參見上冊P33-37附2.1.7（考核知識點解釋及答案）：兩個重要極限如下：sinx / lim 1, x 0 xx1lim1e。xx運用第二個重要極限計算該題。8 .設(shè)函數(shù)f（ex）e2xex1,則f（x尸.考核知識點：復合函數(shù)微分法，

22、參見P61-63附2.1.8（考核知識點解釋及答案）：復合函數(shù)的求導法則若函數(shù)ug（x）在點x處可導，而yf（u）在點ug（x）處可導，則復合函數(shù)yfg（x）在點x處可導，且其導數(shù)為或dydy業(yè)dxdudx復合函數(shù)的求導法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).基本初等函數(shù)的導數(shù)公式C0（C為常數(shù)）；（xn）nxn1（nR但不為零）；1（e）e;（lnx）一；x（sinx）cosx；（cosx）sinx；1（a）alna；（logax）.xlna答案：2xe9 .設(shè)yln(1x2)，貝ijdy考核知識點：微分計算，參見P74-79附2.1.9(考核知識點

23、解釋及答案)：函數(shù)yf(x)在點可微的充分必要條件是函數(shù)yf(x)在點可導，且當yf(x)在點飛可微時，其微分一定是：即函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.答案：一2x2-dx。1 x2210 .曲線yxex1的斜漸近線為.考核知識點：求漸近線，參見P109-111附2.1.10(考核知識點解釋及答案)：yf(x)的斜漸近線的計算：如果.f(x).limk,xxJimf(x)kxb,則斜漸近線就是直線ykxbo答案：yx3。11 .函數(shù)yLg3的定義域是x1x考核知識點：函數(shù)的概念，參見P1-6附2.1.11(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：設(shè)D是一個非空的實數(shù)集合，如果存在某種對

24、應(yīng)規(guī)則f,使得對xD,都有唯一的實數(shù)y與之對應(yīng)，就稱f確定了一個一元函數(shù)，通常記為yf(x),稱x為自變量，y為函數(shù)(因變量)，D為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域.函數(shù)表示的通常方式為公式法，自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學式子表示出來的方法稱為公式法計算過程如下：x0且0,x11x答案：(1,0)(0,1)。tanxsinx12 .lim3.x0sinx考核知識點：洛必達法則求極限,參見P90-95附2.1.12(考核知識點解釋及答案)：如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個條件：(1) limf(x)0,limg(x)0；xx0xx0(2) f(x)和g(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)可導,且g(x)

25、0;(3) lim29存在(或無窮大).xx0g(x)則極限lim3存在(或無窮大)，且xx0g(x)這種求極限的方法稱為洛必達法則.法則中的xx。改為x后法則仍成立.答案：1。213 .設(shè)y(x23)3,貝1Jdy.考核知識點：微分計算，參見P74-79附2.1.13(考核知識點解釋及答案)：函數(shù)yf(x)在點看可微的充分必要條件是函數(shù)yf(x)在點看可導，且當yf(x)在點看可微時，其微分一定是：即函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.答案：6x(x23)2dx。14 .設(shè)y2x2ax疑點x=1取得極小值，則a.考核知識點：極值的確定，參見下冊P98-101附2.1.14(考核知識點

26、解釋及答案)：確定極值點(1)求出函數(shù)的定義域和導數(shù)f(x)(2)求出f(x)的駐點和不可導點令f(x)00如函數(shù)存在二階導數(shù)，可根據(jù)第二充分條件判定答案：4。15 .曲線yx33x24x的拐點坐標為.考核知識點:求拐點,參見P108-109附2.1.15(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：如果f(x)的二階導數(shù)f(x)在x0的左右兩側(cè)變號，則(xo,f(xo)就是拐點。計算過程如下:答案：(1,2)入cos-.-1.求yex的導數(shù).考核知識點：導數(shù)計算，參見P56-63附2.2.1(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：復合函數(shù)的求導法則：若函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在點ug(

27、x)處可導，則復合函數(shù)yfg(x)在點x處可導，且其導數(shù)為或dydydudxdudx復合函數(shù)的求導法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).復合函數(shù)求導既是重點又是難點.在求復合函數(shù)的導數(shù)時，首先要分清函數(shù)的復合層次，然后從外向里，逐層推進求導，不要遺漏，也不要重復.在求導的過程中，始終要明確所求的導數(shù)是哪個函數(shù)對哪個變量(不管是自變量還是中間變量)的導數(shù).在開始時可以先設(shè)中間變量，一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個過程一氣呵成.初等函數(shù)的求導法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導

28、法則?；镜那髮Ч交境醯群瘮?shù)求導公式這里為了方便我們再次給出，提供多處習題計算時使用，可以反復查找使用2.求由方程xyexey0確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)?？己酥R點：隱函數(shù)求導，參見P69-71附2.2.2(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：隱函數(shù)的導數(shù)：假設(shè)由方程F(x,y)0所確定的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0中，得到恒等式利用復合函數(shù)求導法則，在上式兩邊同時對自變量x求導，再解出所求導數(shù)dy,這就是隱函數(shù)求導法.dx導數(shù)的四則運算法則：如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點x具有導數(shù)，那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點X具有導數(shù)，且(1) u(x

29、)v(x)u(x)v(x);I(2) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);(3) 幽u(x)v(x)2u(x)v(x)(v(x)0)v(x)v(x)亍答案：對原方程，兩邊關(guān)于x求導，其中y=y(x),有xeyy-。ex(4) y(lnx)x的導數(shù).考核知識點：導數(shù)計算，參見P56-63附2.2.3(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：對數(shù)求導法：形如yu(x)v(x)的函數(shù)稱為幕指函數(shù).直接使用前面介紹的求導法則不能求出幕指函數(shù)的導數(shù)，對于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對數(shù)，然后在等式兩邊同時對自變量x求導，最后解出所求導數(shù).我們把這種方法稱為對數(shù)求導法.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式C0

30、(C為常數(shù))；(xn)nxn1(nR但不為零)；1(e)e;(lnx)；x(sinx)cosx;(cosx)sinx;1(a)alna;(logax).xlna(5) 由方程xyyx確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)。考核知識點：隱函數(shù)求導，參見P69-71附2.2.4(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：隱函數(shù)的導數(shù)：假設(shè)由方程F(x,y)0所確定的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0中，得到恒等式利用復合函數(shù)求導法則，在上式兩邊同時對自變量x求導，再解出所求導數(shù)dy,這就是隱函數(shù)求導法.dx對數(shù)求導法：形如yu(x)v(x)的函數(shù)稱為幕指函數(shù).直接使用前面介紹的求導法則不能求出幕指函數(shù)

31、的導數(shù)，對于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對數(shù)，然后在等式兩邊同時對自變量x求導，最后解出所求導數(shù).我們把這種方法稱為對數(shù)求導法.參考答案：原方程化為ey1nxex1ny,兩邊對x求導，其中y=y(x),有5 .求yarctan(sinx2ecosx)的導數(shù)。考核知識點：復合函數(shù)的求導，參見P56-63附2.2.5(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：復合函數(shù)的求導法則：若函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在點ug(x)處可導，則復合函數(shù)yfg(x)在點x處可導，且其導數(shù)為或曳曳業(yè)dxdudx復合函數(shù)的求導法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).6

32、 .求由方程xyexy確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)?？己酥R點：隱函數(shù)求導，參見P69-71附2.2.6(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：隱函數(shù)的導數(shù)：假設(shè)由方程F(x,y)0所確定的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0中，得到恒等式利用復合函數(shù)求導法則，在上式兩邊同時對自變量x求導，再解出所求導數(shù)曳，這就是隱函數(shù)求導法.dx參考答案：27 .求f(x)(2x1)(x2)3的極值?？己酥R點：求極值，參見P96-101附2.2.7(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：確定極值點和極值的步驟(1)求出函數(shù)的定義域和導數(shù)f(x)(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點(3)利用第一充分

33、條件，根據(jù)f(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況以便確定該點是否是極大值點或極小值點如函數(shù)存在二階導數(shù)，也可根據(jù)第二充分條件判定；(4)求出函數(shù)的極值參考答案：由f(x)10(X1)0得到x1為駐點;33x2又 f (x)10g2x 53 (x 2)410 _38 T10所以f(x)在x1處取得極大值，且極大值為1)3。又f(x)在x2處不可導,在x2的充分小鄰域內(nèi)，當x2時，f(x)0;當x2時，f(x)0,由極值的第一充分條件知“*)在乂2處取得極小值，且極小值為f(2)=0,所以f(x)在x=1處取得極大值3,在x=2處取得極小值0。不存在一/極大值極小值/8.設(shè)函數(shù)f(x)

34、，x21ax,其中a0,求f(x)的單調(diào)區(qū)問考核知識點：函數(shù)單調(diào)性判定，參見P96-98附2.2.8(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：函數(shù)單調(diào)性判定定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，則(1) 如果在(a,b)內(nèi)f(x)0,則f(x)在a,b上單調(diào)增加.(2) 如果在(a,b)內(nèi)f(x)0,則f(x)在a,b上單調(diào)減少.若將定理的條件換成開區(qū)間或無窮區(qū)問，判定定理的結(jié)論仍然成立.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，且使f(x)0的點x僅有有限個，則f(x)在區(qū)間I上為嚴格遞增(減)函數(shù)的充要條件為：對一切xI有f(x)()0.利用一階導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)

35、的單調(diào)區(qū)間，用導數(shù)為零的點及不可導點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些.當a1時，有1a,此時f/(x)0,.x21函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上是單調(diào)遞減函數(shù)當0a1時，解不等式f/(x)0得x11a,-1a2f(x)在區(qū)間,)上是單調(diào)遞增函數(shù)。.1a29 .求函數(shù)f(x)=3(x2-2x)2,(0x3)的最大值和最小值?？己酥R點：求函數(shù)的最大最小值，參見P102-105附2.2.9(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：求函數(shù)f(x)(axb)的最大最小值的步驟:(1)求函數(shù)的所有駐點，不可導點；(2)比

36、較f(a),f(b)和駐點的函數(shù)值以及不可導點的函數(shù)值,取其中的最大值和最小值即可.參考答案：10 .求函數(shù)f(x)次、的間斷點,指出間斷點的類型;ln(x1)并給出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.考核知識點：函數(shù)的連續(xù)性，參見P40-43附2.2.10(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：如果limf(x)f(xo)，則y=f(x)在xo處是連續(xù)函數(shù)。xxo由定義可得出函數(shù)連續(xù)的三個必要條件(連續(xù)的三要素)：(1)y=f(x)在xo有意義(2)當x一xo時，極限存在(3)極限等于f(xo)函數(shù)的間斷點：三要素中至少一個不成立的點，稱為函數(shù)的間斷點。間斷點的類型：左右極限都存在的點，稱為第一類間斷點；不是第一

37、類間斷點的稱為第二類間斷點。參考答案：x1,2為函數(shù)的第二類間斷點。11.試問函數(shù)f(x)ln(1x2)sin3x是否為x2的等價無窮?。繛槭裁?考核知識點：無窮小的比較，參見P37-39,附2.2.11(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：如果limx a(x)(x)則稱(x)與(x)(xa)是等價的無窮小量。因而f(x)ln(1x2)sin3x是x2的等價無窮小。x12求極限limJ(n是正整數(shù))。xx考核知識點：洛必達法則求極限，參見P90-95附2.2.12(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個條件：(1) limf(x)0,limg(x)0;xx

38、oxxo(2) f(x)和g(x)在點xo的某去心鄰域內(nèi)可導,且g(x)0;(3) lim上但存在(或無窮大).xx0g(x)則極限lim心存在(或無窮大)，且xxog(x)這種求極限的方法稱為洛必達法則.法則中的xxo改為x后法則仍成立.如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下三個條件：(1) limf(x),limg(x);xxoxxo(2) f(x)和g(x)在點的某去心鄰域內(nèi)可導,且g(x)0;(3) lim存在(或無窮大).xx0g(x)則極限limx x?；卮嬖?或無窮大)，且 g(x)這種求一型未定式的極限的方法同上面求0型未定式極限一樣都稱為洛必達法0則.上式為一型未定式，使用洛必達

39、法則得xlimenxxlimxxxxe.e.e-n-jlimlimn-nxx6xxn(n1)xx.elimxn!213求方程-161在點MW%處的切線方程.考核知識點：導數(shù)的幾何意義，參見P69-71附2.2.13(考核知識點解釋及答案【解答過程】)：以曲線yf(x)上一點(xo,f(x。)為切點的切線方程是隱函數(shù)的導數(shù)：假設(shè)由方程F(x,y)0所確定的函數(shù)為yy(x),則把它代回方程F(x,y)0中，得到恒等式x求導，再解出所求導數(shù)利用復合函數(shù)求導法則，在上式兩邊同時對自變量dy,這就是隱函數(shù)求導法.dx參考答案：由導數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為橢圓方程的兩邊分別對x求導，有9x從而y16y當x2時，y3向，代入上式2于是用求的切線程為即3x4y8.30