高一數(shù)學(xué)必修2 球的表面積和體積 課件

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1、1.3.2球的表面積和體積人類(lèi)的家地球人類(lèi)未來(lái)的家火星探索火星的航天飛船 如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？為什么？為什么？ 一個(gè)充滿(mǎn)空氣的足球和一個(gè)充滿(mǎn)空氣的籃球，一個(gè)充滿(mǎn)空氣的足球和一個(gè)充滿(mǎn)空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？ 怎樣求球的表面積和體積？怎樣求球的表面積和體積？ 球既沒(méi)有底面，也無(wú)法象柱、錐、臺(tái)體一樣展成球既沒(méi)有底面，也無(wú)法象柱、

2、錐、臺(tái)體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？mVVmh實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積曹沖稱(chēng)象曹沖稱(chēng)象H假設(shè)將圓n等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)(2113221AAAAAApn正多邊形pC21圓正多邊形時(shí)，當(dāng)CCRpn,2221RRRS圓pA3回顧圓面積公式的推導(dǎo)回顧圓面積公式的推導(dǎo) 割割 圓圓 術(shù)術(shù) 早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了積公式而發(fā)明了“倍邊法割

3、圓術(shù)倍邊法割圓術(shù)”他用加倍的方式他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小割之彌細(xì)，所失彌小”這樣這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無(wú)所失矣則與圓合體而無(wú)所失矣”這是世界上最早的這是世界上最早的“極限極限”思想思想,21RRr,)(222nRRr已知球的半徑為已知球的半徑為R,用用V表示球的體積表示球的體積.)2(223nRRrAOAOB2C2r2r3r1OR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下

4、下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOAnininRnRrVii,2, 1,)1(1232niinRRri,2, 1,)1(22nVVVV21半球)1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6)12)(1(1123nnnR) 1(1 21 11 1222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVRV 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是 在球的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，使用了在球的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，使用了

5、“分割、求近似值、再將近似值轉(zhuǎn)化為球的體分割、求近似值、再將近似值轉(zhuǎn)化為球的體積積”的方法：的方法： 即先將半徑即先將半徑 n 等分；再求出每一部分體積等分；再求出每一部分體積的近似值，并將這些近似值相加，得出半球的的近似值，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積；當(dāng)近似體積；當(dāng) n 無(wú)限變大時(shí)，就可得到半球的無(wú)限變大時(shí)，就可得到半球的體積體積 例例4 4 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.97.9g/cmg/cm3 3），每個(gè)鋼球重），每個(gè)鋼球重145kg145kg，并且外徑等于，并且外徑等于50cm50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還，試根據(jù)以上數(shù)

6、據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（徑（取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1cmcm） 解：解：由于外徑為由于外徑為50cm50cm的鋼球的質(zhì)量為：的鋼球的質(zhì)量為：)(517054250349 . 73g 街心花園中鋼球的質(zhì)街心花園中鋼球的質(zhì)量為量為145000g145000g，而，而145000517054145000517054，所以鋼，所以鋼球是空心的球是空心的 例例4 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個(gè)鋼球重），每個(gè)鋼球重145kg，并且外徑等于，并且外

7、徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)是空心的如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（徑（取取3.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1cm） 解：解：)(517054250349 . 73g 設(shè)球的內(nèi)徑是設(shè)球的內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為：，那么球的質(zhì)量為：,42.112393x 解得：解得：.4 .22x.8 .442x 答：答：鋼球是空心的其內(nèi)徑約為鋼球是空心的其內(nèi)徑約為45cm 球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何

8、求球的表面積公式呢公式呢? ? 回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法, , 得到啟發(fā)，得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式式第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSOO第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 ii

9、ihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小小錐體錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV,31343RSRRhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 .42RS從而 例例5 如圖表示一個(gè)用鮮花作成的花柱，它的下面如圖表示一個(gè)用鮮花作成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為是一個(gè)直徑為1m、高為、高為3m的圓柱形物體，上面是一個(gè)的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形

10、體如果每平方米大約需要鮮花半球形體如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（取取3.1)？ 解：解：圓柱形物體的側(cè)面面積圓柱形物體的側(cè)面面積,3 . 9311 . 321mS半球形物體的表面積為半球形物體的表面積為,6 . 1211 . 32222mS所以所以.9 .106 . 13 . 9221mSS.16351509 .10朵答：答：裝飾這個(gè)花柱大約需要裝飾這個(gè)花柱大約需要16351635朵鮮花朵鮮花(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 倍倍. .(2)(

11、2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的 倍倍. .(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是 . .(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是 . .2422:134:1 影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，就是就是球的半徑球的半徑. . 1.1.球的體積和表面積的推導(dǎo)方法：球的體積和表面積的推導(dǎo)方法： 分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和 2. .影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，就是素，就是球的半徑球的半徑. .