《江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《基本不等式1 新人教A版選修45》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《基本不等式1 新人教A版選修45(32頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2abab 重要不等式重要不等式定理定理:如果如果 ,那么,那么 (當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“=”=”號)號)Rba,abba222ba 我們可以用比較法證明我們可以用比較法證明探究探究 你能從幾何的角度解釋定理嗎?你能從幾何的角度解釋定理嗎? 幾何解釋課本第五頁幾何解釋課本第五頁ab22ab 動(dòng)畫動(dòng)畫幾何解釋幾何解釋221aab221ba幾何解釋幾何解釋 思考思考 1220,0,2ababab當(dāng)在中以 a, b分別代替a,b能得到什么結(jié)果?2abababba2( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“ “ = = ”號)號) ba 如果如果 是正數(shù),那么是正數(shù),那么 ,a b 基本不等式基本不等
2、式定理定理(均值定理)(均值定理)概念概念如果、都是正數(shù),我們就稱如果、都是正數(shù),我們就稱為、為、的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù),稱為、的稱為、的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。2abab均值定理可以描述為:均值定理可以描述為: 兩個(gè)正數(shù)的兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)不小于(即大于或等于)它們的它們的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)ab.均值定理的均值定理的幾何意義幾何意義2abab2ab半徑不小于半弦DBCEoA2ababOCCDaD 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 中的中的“ “ = = ”號成立號成立 ba 時(shí)時(shí)2abab這句話的含義是這句話的含義是: 思考思考 2ba abba2當(dāng)當(dāng)ba abba2當(dāng)當(dāng)
3、 和成立的條件相同嗎? 如: 成立,而 不成立。abba222abba2)5() 1(2)5() 1(22)5() 1(2)5() 1( 思考思考 3abba222成立的條件_abba2成立的條件_a,bRabR,222abcabbcac (1 1) 典例探討典例探討222abbcca222變式:求證:2a +2b +2c例例1 1 求證:求證:()已知()已知, , ,a b c d都是正數(shù),求證都是正數(shù),求證()()4abcd acbdabcd證明:證明:由, , ,a b c d都是正數(shù),得都是正數(shù),得02abcdab cd02acbdac bd()()4abcd acbdabcd()(
4、)4abcd acbdabcd即2., ,a b c巳知均為正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)8abc1 .0 ,0 ,11: ()()4 .ababab巳 知求 證 練習(xí)練習(xí)1例例2 2 求證:求證:(1)在所有周長相同的矩)在所有周長相同的矩形中,正方形的面積最大;(形中,正方形的面積最大;(2)在所有)在所有面積相同的矩形中,正方形的周長最短。面積相同的矩形中,正方形的周長最短。變形變形.1 如果積 已知yx,都是正數(shù),求證:xy是定值 ,P那么當(dāng) yx 時(shí),和 yx 有最小值 2P2 如果和 yx 是定值 ,S那么當(dāng) yx 時(shí),積 xy有最大值 214S證:證: Ryx, xy
5、yx21當(dāng) xyP(定值)時(shí),2xyP 上式當(dāng) yx 時(shí)取“=” 當(dāng) yx 時(shí), xy有最小值2 P2當(dāng) xyS (定值)時(shí), 2Sxy 214xyS 上式當(dāng) yx 時(shí)取“=” 當(dāng) yx 時(shí), 214xyS有最大值yx 2 P注意:注意:1、最值的含義(最值的含義(“”取最小取最小值,值,“”取最大值)取最大值) 2、用極值定理求最值的三個(gè)必要條用極值定理求最值的三個(gè)必要條件:件:一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”2()2()abab 22a+b由 公 式 a +b2ab,ab2可 得 以 下 結(jié) 論 :ab(1)、同 號 ;baab( 2)、異 號 。ba練習(xí)練習(xí)21.巳知x0
6、,y0且xy=100,則x+y的最小 值是 _,此時(shí)x=_,y= _242.0,xxx巳知?jiǎng)t6的最小值是_,此時(shí)x=_.3.,2.x yxyyx巳知都是正數(shù),求證:4.證明證明210loglgxx(1)) 1(x證:證: 1x 0lgx010logx于是 210lglg210loglgxxxxlglog 10_2xx (2)(01)x解解: 10 x0lgx010logx于是 2)10log()lg(xx從而 210loglgxx?1.yxx5、求函數(shù)的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx時(shí)當(dāng),1,0)2(Rxxx時(shí)當(dāng)2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y解解: 1x 01x
7、011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 111xx即即 0 x時(shí) 11xx有最小值有最小值1例例3.若,則為何值時(shí)若,則為何值時(shí) 11xx有最小值,最小值為幾?有最小值,最小值為幾?1(3)821xxxx21、求函數(shù)y=的最小值;x-3、求函數(shù)y=的值域. 練習(xí)練習(xí)347(3)3aaa3、求證其中已知,求()的最大值例例4 4 sin232sinxyx求(0 x)的最小值。 1210,( )312(2)0,( )3xf xxxxf xxx若求的最小值;若的最大值。 注意注意:利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時(shí)一定要注意定理的條件數(shù)定
8、理時(shí)一定要注意定理的條件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一個(gè)條件達(dá)不有一個(gè)條件達(dá)不到就不能取得最值到就不能取得最值. 練習(xí)練習(xí)4求求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值的最值.例例5.5.且 1、已知、已知 Ryxba,1ybxa, 求yx 的最小值解: yx yxbxaybaybxayxyx)(1)(2)(2bayxbxayba當(dāng)且僅當(dāng) yxbxay即 bayx時(shí) 2()xyab取最小值:1abc2、 已 知31cabcab求證:1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222證明證明:cabcabcba222cabcabcba2221222cabcab33331cabcab注意注意:本題條件本題條件a,b,c為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)22219(1),1,1,1211(sin)(cos)sincosx yRxyxyba bRaab已知:且求的最小值.(2)已知:且求的最大值.(3)設(shè) 為銳角,求的最小值. 練習(xí)練習(xí)5作業(yè) 課本作業(yè);課本作業(yè);P1P1、