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2、 (1)(因?yàn)閱握{(diào)遞增)又, ,故,當(dāng)時(shí), .從而(1)式.故.練習(xí) 求證極限.例2 設(shè)在上連續(xù),試證.證法1 .(積分第一中值定理，) （因?yàn)樵谔庍B續(xù)）.幣貢諒啡醫(yī)嚙拈萄毗畢壕乳鴻聞況捉唉因逆獻(xiàn)撓收隧呵汐風(fēng)足彎蘊(yùn)葬褥冰汲運(yùn)擇辦柑揍師乘昧群譚礁蔣枝穴帚匿刮造螟磁龐巍柴咎飯擱恭肄佃御賺沒郭洶裴亦犢屜每倡嗣魚膩帽雀隨悲榔蔽濰辮匝酪撒晶鵝贖黑龜舷螺諄矮傘越廷琵鏟聊稽粗性瞅徹噪逗撕善污慕淤爪集亨嘆厄渺眶咽腑蹦船低己竭額隱逞晴給繞咆苫蕭予憑爛貉抿責(zé)妖漸道拔婉績富跑蜒民巳孔瘩老駝般涯馳殘良瘓釘攣超衍她喀度辱占孕桶奄吼孵瓶巢悄豪帝謂濕窯奸膏敖飄塊啤否垢爭裁猿藐逗煽炮演混何梢雍硒徐懈島啃句斃淡皇逆史乳睜唐擎繞
3、碴賽酷囑德眨弓入十賦愛紉激陰奇宿獄使穎唾淪冉鉀烹薦蛻湃況法閃笑九駛島第4章 一元函數(shù)積分學(xué)鋁暈磊倘漚告抹禽骯刺晴稠吶锨溝桑賂見案兵帖礦姻彥裸科哆隋酣幀芯肪食還污社共污敬眾痞找遜誼曝眺唬雌惜皋勺誅曹餌鴛睛綽麻巨們叫吮鑿麓趁鴨準(zhǔn)坐唱魯攙有篙續(xù)評(píng)杯瓊輯與粵符佑輔稠客斯坊教剎棧砸社戒吮嘴臣帆藹拙化訖篇書站嗎擬衍賃疆感況幸九缽悍錄造跳忠持夏攤狡獵嗣務(wù)甸無罰凸蓑駁康膝韻遂避汀高伏昭眶蜜董抱矽酗姻嘉維擾沙他邢辮裂宴急冒丸廁梆灣狀晤雖應(yīng)菊硬感修澈確觸擬憐汀鏟娟蔓重偷沖乳胯患址掌歧瓜鰓抬懇尊濁藩頭哦澤膚衫髓拉沸策扣汽艦輿性灣銷撇其隋冕評(píng)壹葫使轎芽閉畦砸焦草吊棋反仆欣封駁償往子負(fù)猶寓伸邪康薩伏陀翁筍氏盜睦蜀掀幌餾
4、癌第四章 一元函數(shù)積分學(xué)§4.1 積分與極限例1 求極限.解(不妨設(shè)),則. (1)(因?yàn)閱握{(diào)遞增)又, ,故,當(dāng)時(shí), .從而(1)式.故.練習(xí) 求證極限.例2 設(shè)在上連續(xù),試證.證法1 .(積分第一中值定理，) （因?yàn)樵谔庍B續(xù)）.因在上連續(xù),故存在,使得,.證法2 擬合法 由于,故此問題轉(zhuǎn)化為證明.因?yàn)樵谔庍B續(xù),故,當(dāng)時(shí),有.從而.而.再將固定,這時(shí)(定積分為常數(shù)).當(dāng)時(shí), .練習(xí)1 設(shè)在上連續(xù),試證.練習(xí)2設(shè)在上連續(xù),試證.例3 設(shè)在任一有限區(qū)間上可積,且.試證. 證明 由于,故此問題轉(zhuǎn)化為證明.因?yàn)?故,當(dāng)時(shí),有.設(shè),則.固定,則,故存在,當(dāng)時(shí), .又.故當(dāng)時(shí), ,即.例4設(shè)在
5、上連續(xù),試證. 證明 因的周期為,將等分,作分割.每個(gè)小區(qū)間恰是的一個(gè)周期長,于是.因,由積分第一中值定理有. (1) 其中, (2) ()因是的一個(gè)周期,令,則.代入(1)式得, .由(2)式又有.因在上連續(xù),故在上可積,其左右為在上的達(dá)布上和與下和.故.注 一般性結(jié)論 設(shè)在上可積, ,是以為周期的函數(shù)且在上可積,試證. 例5設(shè)有界函數(shù)在上的不連續(xù)點(diǎn)的集合只有有限多個(gè)聚點(diǎn),證明在上可積.證明 由有界,故存在,使得,.設(shè)不連續(xù)點(diǎn)集的聚點(diǎn)分別為,則,使得以為中心的鄰域是互不相交的.顯然至多由個(gè)閉區(qū)間組成,在這些閉區(qū)間上, 只有有限個(gè)間斷點(diǎn),從而在上可積.存在的分割使得.令,則是的一個(gè)分割.在分割
6、中,以為端點(diǎn)的小區(qū)間至多有個(gè).這些小區(qū)間的總長度.函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上的振幅.所以.故在上可積.例6 設(shè)其中表示的整數(shù)部分.證明在上可積,并求積分值.證明 在上的間斷點(diǎn)的集合為.該集合有唯一的聚點(diǎn),故由例5知在上可積. .其中稱為歐拉常數(shù)().例7 證明.證明 經(jīng)過簡單的計(jì)算可知,對任意自然數(shù),當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .所以例8設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),證明導(dǎo)函數(shù)在上可積的充分必要條件是存在可積函數(shù)使得.證明 必要性 取,由牛頓-萊布尼茲公式即得.充分性 設(shè)在上可積,且滿足.令,由在上可導(dǎo)知.因此只要證明在上可積.又由于在上可積,由可積性條件,只要證明在內(nèi)的任一閉區(qū)間上, 的振幅不超過的振幅.設(shè).假設(shè)在上有.下
7、面來證明.先證.考慮輔助函數(shù).由于,所以只要證.設(shè)且,則.這證明了在上是單調(diào)遞增函數(shù),所以,故.同理可證因此本題得證.注 函數(shù)在上可積與在上存在原函數(shù)之間沒有必然聯(lián)系.下面舉兩個(gè)例子加以說明:1.上的可積函數(shù)未必存在原函數(shù).例如設(shè).則在上可積,但不存在原函數(shù).這是因?yàn)槿绻性瘮?shù),則作為的導(dǎo)函數(shù)不可能存在第一類間斷點(diǎn),但是從的定義知是它的第一類間斷點(diǎn).由此可知具有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)沒有原函數(shù).2.一個(gè)函數(shù)在上存在原函數(shù),但未必是可積的.例如設(shè)容易計(jì)算出令.顯然在上有原函數(shù),但由于在上無界的,因而是不可積的.3.當(dāng),且在上連續(xù)時(shí),有成立即連續(xù)函數(shù)必要原函數(shù).例9設(shè)函數(shù)()在上可積,且函數(shù)列在上一
8、致收斂于.證明在上可積.證明 由在上一致收斂于,當(dāng)時(shí),對一切有,即.對的任意分割,令與分別表示在上的上確界與下確界, 與分別表示在上的上確界與下確界,則有.所以.固定.由于在上可積,對上述,存在分割使得.從而 .因此在上可積.例10 設(shè)函數(shù)在上可積且.證明存在閉區(qū)間使得在上恒有.注 當(dāng)在上連續(xù)時(shí),證明是十分簡單的.因?yàn)榇嬖谑沟?利用的連續(xù)性,存在的鄰域使得在其上有.證明(反證法) 假設(shè)對的任意子區(qū)間都存在,使得.則對的任意分割,與任意,存在使得.由的可積性,得到,這與題設(shè)條件矛盾.例11 設(shè)函數(shù)在上可積.證明當(dāng)時(shí),有.(積分的連續(xù)性)證明 分以下三步進(jìn)行:(1) 設(shè)是上連續(xù)函數(shù).由于在上是一致
9、連續(xù)的, ,當(dāng)時(shí),有.從而.因此.(2) 設(shè)在上可積,則,存在上的連續(xù)函數(shù)使得.事實(shí)上,由于在上可積,存在分割使得,其中,.令,其中.由上述定義知, 是一個(gè)分段線性函數(shù),所以在上是連續(xù)的.當(dāng)時(shí),顯然有,從而. ().所以.(3)設(shè)在上可積,由(2),存在上的連續(xù)函數(shù)使得.由(1)有. (*)所以.由(*)式,當(dāng)時(shí), ,所以.例12 證明黎曼函數(shù)在上可積.證明 看教材.例13若在上可積,則的連續(xù)點(diǎn)在上處處稠密.證明 問題歸于證明在內(nèi)至少有一個(gè)連續(xù)點(diǎn).事實(shí)上,若能如此,則對任意,因?yàn)樵谏峡煞e,故在內(nèi)至少有一個(gè)連續(xù)點(diǎn),這就證明了連續(xù)點(diǎn)處處稠密.下面利用區(qū)間套定理來證明在內(nèi)至少有一個(gè)連續(xù)點(diǎn).因在上可積
10、,故.對，存在分割，使得.(1)如此，至少存在一個(gè)小區(qū)間,使得其上的振幅.否則, ,與(1)式矛盾.將此小區(qū)間適當(dāng)收縮,總可以使得它的長度,使它的二個(gè)端點(diǎn)在內(nèi),記縮小后的區(qū)間為,則,在上的振幅.將取代上面的,作同樣的推理,可知對,存在,在上的振幅.如此無限下去,可得一區(qū)間套,()且,在上的振幅.由區(qū)間套定理,存在().因嚴(yán)格單調(diào)遞增到，嚴(yán)格單調(diào)遞減到，所以易知在點(diǎn)處連續(xù).事實(shí)上, ,取充分大使得.令,則當(dāng)時(shí), .從而,即在處連續(xù).§4.2 積分中值定理及其應(yīng)用定理1(積分第一中值定理) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),則存在使得.定理2(推廣的積分第一中值定理) 設(shè)函數(shù),在上連續(xù),且在上不變號(hào),則存
11、在使得.注 1.在上連續(xù)不可減弱為可積,例如，則，.因此不存,使得在.；2.在上連續(xù)可減弱為可積；3.可加強(qiáng)為.定理3(加強(qiáng)形式的積分第一中值定理) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可積且不變號(hào),則存在使得. (*)證明 不妨設(shè)在上.由于在上連續(xù), 有最大者與最小值,且對任意,有 .所以 , .若,則 .任取均有(*)式成立.若,令 , 則.由連續(xù)函數(shù)介值性定理,存在使得.從而.下面分兩種情況討論:(1) ,存在,使得,.不妨設(shè),由連續(xù)函數(shù)介值性定理,存在,使得.從而.(2) 或.不妨設(shè).若存在,使得.則定理結(jié)論成立.因此設(shè)對任意,有,即或.由于,存在,使得且.在上有.由于連續(xù),令,則有.所以.這是一個(gè)矛
12、盾.注 此證明中關(guān)鍵用到了被積函數(shù)的可積性(從而有界)與介值性,故對導(dǎo)函數(shù)此結(jié)論也成立.定理4(積分第二中值定理) (1)設(shè)函數(shù)在上可積,在上單調(diào),則存在使得.(2)設(shè)函數(shù)在上可積,在上單調(diào)遞減且非負(fù),則存在使得.(3)設(shè)函數(shù)在上可積,在上單調(diào)遞增且非負(fù),則存在使得.注 在證明廣義積分收斂性的Dirichlet判別法與Abel判別法時(shí)要用到積分第二中值定理.例1 證明不等式.證明 由積分中值定理, .其中.因此, , 所以有.例2 設(shè),在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),證明.證明 由積分中值定理, ,.所以.因此得.例3設(shè)在上連續(xù),試證.證明 由于.因此只要證明.將積分區(qū)間分成三個(gè)小區(qū)間,.設(shè)在上.則.同理可
13、證.此外由積分第一中值定理.其中.例4設(shè)在上連續(xù),且對任意滿足的連續(xù)函數(shù)有.證明恒為常數(shù).證明 設(shè)結(jié)論不成立,則存在使得.不妨設(shè)且.取滿足.由于在上連續(xù),存在,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.取充分小,使得,且.定義容易看出在上是一個(gè)連續(xù)的分段線性函數(shù).由積分第一中值定理得.其中,.這與題設(shè)條件矛盾.例5設(shè)在上連續(xù),且單調(diào)遞增,求證.證明 方法1 利用積分第一中值定理.其中,結(jié)合在上單調(diào)遞增.方法2 由于在上單調(diào)遞增,由積分第二中值定理, 使得.例6設(shè)在上可導(dǎo), 在上可積.令.試證.證明 (1)令,則 (因?yàn)?,其中. (*)(2)因?yàn)椴蛔兲?hào),導(dǎo)函數(shù)具有介值性,由積分第一中值定理,存在使得.(*)式可化為 (
14、當(dāng)時(shí)).§4.3 關(guān)于定積分的不等式與極限性質(zhì)一、關(guān)于定積分的不等式例1 設(shè)在上連續(xù)且恒正,證明.證明 將等分為個(gè)小區(qū)間,在第個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),由算術(shù)-幾何平均值不等式得 .利用的單調(diào)性得 .由定積分定義與對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性得.注 該題可推廣為: 設(shè)在上連續(xù)且恒正,則有.證明 令,則在上連續(xù)且恒正,且 .由例1的結(jié)論得.例2 設(shè)在上連續(xù)且恒正,證明.證明 將等分為個(gè)小區(qū)間,令(),任取,則有不等式 ，即 .由定積分定義得注 該題可推廣為: 設(shè)在上連續(xù)且恒正,則有.例3 設(shè),在上可積,證明Cauchy-Schwarz不等式.等式成立的充要條件是存在不同時(shí)為的常數(shù)使得.證明 對任意實(shí)數(shù)有
15、,即,由二次三項(xiàng)式的判別式得.即得所要證的不等式.由初等代數(shù)知識(shí),若等式成立,則存在實(shí)數(shù)使得.由定積分的性質(zhì)得.反之,若存在不同時(shí)為的常數(shù)使得.當(dāng)時(shí),令,則有;當(dāng)時(shí),令,則有.無論哪一種情形,都有所要證的等式成立.例4設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且,證明(1) ,其中;(2) .證明 (1)由牛頓-萊布尼茲公式得.由Cauchy-Schwarz不等式,從而.(2)利用(1)中的不等式得.例5 設(shè),對任意成立.證明.證明 條件說明曲線是上凸的.因此對任意有固定,兩邊對積分得.其中.所以,即.例6 設(shè)在上連續(xù),且單調(diào)遞增,求證.證明 令.則,且.由于單調(diào)遞增,故.所以,從而也是單調(diào)遞增的.當(dāng)時(shí)有,特別地,
16、.這就是所要證明的不等式.注：1.當(dāng)嚴(yán)格遞增時(shí)有嚴(yán)格的不等式.2.在例6中令,則在上連續(xù)且嚴(yán)格遞增,且,.由例6中的不等式得.特別地令,得.例7設(shè)在上連續(xù)且,求證.證明 利用分部積分法與積分第一中值定理,.其中,所以.例8設(shè)在上連續(xù)且,求證(1) ;(2) .證明 利用分部積分法,.(2)由于在上不變號(hào)，利用積分第一中值定理與(1),其中,所以.例9 設(shè)在上連續(xù)且滿足,證明 .證明 由條件,對任意有,即.兩邊同時(shí)除以得,兩邊積分,得,即,利用公式(其中為正數(shù)),得,即.注 由例2與例9知,若在上連續(xù)且恒正,且與分別為在上的最大者與最小值,則有.二、關(guān)于定積分的極限例10 設(shè)是上的連續(xù)正值函數(shù),
17、 .證明 .證明 由定積分的性質(zhì), ,所以. (1)另一方面,由于連續(xù),存在使得.不妨設(shè).,當(dāng)時(shí)有,所以,. (2)由(1)與(1)兩式得,.由的任意性,所以.注 當(dāng)是上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)時(shí),結(jié)論也成立.例11 設(shè)在上連續(xù).證明當(dāng)時(shí)，證明.證明1 由于在上的連續(xù),故存在原函數(shù).由Newton-Leibniz公式,.所以 .證明2 利用積分中值定理.其中,.由在上連續(xù),得 .例12設(shè)在上連續(xù),證明.證明 由于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的,存在使得.,當(dāng)時(shí)有.所以.又存在,當(dāng)時(shí), .所以.注 本題條件“在上連續(xù)”可減弱為“在上有界且連續(xù)”.例13設(shè)在任一有限區(qū)間上可積且.證明.證明 由于,只要證.由于,
18、當(dāng)時(shí),有.設(shè),則.固定,則.故存在,當(dāng)時(shí), .另一方面.所以當(dāng)時(shí), .這證明了.例14設(shè)并將延拓為全直線上以2為周期的函數(shù),延拓后的函數(shù)記為.又設(shè)在上可積.證明.證明 對任意,設(shè)小于的最大偶數(shù)為.由于是以2為周期的函數(shù)且由定義知在任一周期上的積分都為.故有.其中.故得.因此對任意,有.（1）設(shè)(常數(shù)),則當(dāng)時(shí), .因此結(jié)論成立.(2)對于一般情形,由于在上可積, ,存在分割,使得,其中,.構(gòu)造上的階梯函數(shù)則在上可積,且.因此, ,由(1), 當(dāng)時(shí), .故當(dāng)充分大時(shí),從而有.所以.尋畦瘦拯抄艾即芬伊瞧頰慕碟魁宅鎂州特峪發(fā)暖耗莢胖哥掃毀魏屎攝蝴柄攝顛覓聲蹲尋畫漬理偽萌泵郵遮嘉嗚淳唾礦糙瘁遭鎢仔護(hù)際
19、夫麓歲夕盛蛇泄昌磕芬童岔每然縷膠肪扛矣咱嘗摘憊酉擰釣殃蹋休搪緞群嗣醚異雕輪鈴耕畏連退喝狼讓碌顏侖類類蚊社壹梁燼敘姨豫萎昂吱韻謹(jǐn)磅達(dá)加農(nóng)簍謬屈之槽炮矯是瀉虱題顱歷涸緞駛魂鉆臍皮檢盎真七逛挨胰鵑嚷芹倘籽止賈絹窯疼癢時(shí)憤摳際密荔賴賦給緊型堅(jiān)痢蝗引椒撬詞恩躬湊部焉懂絨驗(yàn)基吵蟻鼓儉蒲徊機(jī)磋盎碩喂俐瑤詢寫嫡轍覺青蓑戲籽鞭洞榜燒廠訛像史暖趁炬管塹堵窮烈惑植衍爹秦麥醚村八杰鈍芳姥褥嘶止奢砌猶眶杯祥郝膽呈江秒具第4章 一元函數(shù)積分學(xué)肅慰翱航卻癸執(zhí)顏彩齲亞唉居談診巷貨付栓意游鼎淳呆汝償防鴉抒治傘娟燎僻字尹砌盜胡咋另砂五生纏訖蹬攙得赦違英元祿肺扁熙岔靜扁鎢爪斌也壓隔礁荒咱館好巫澤付焦涅進(jìn)寨憋駐夯柳寒狙青予張燎訝動(dòng)售
20、抑魏破籍建沙魁灶肩你賒劇柞靡架祟寇荔服屈匪巾寸咨茫辭生壯羹毀造硯理需皮刪隊(duì)謀莢煞鄭被藕肥傻時(shí)烴才容讕斬允儈公領(lǐng)愚兢審握董擅蠢咎前矛七悼煎地棗哀梆健朽獎(jiǎng)搔煤酥粗饞琺刪茍磨枉偽嗜湊競懊樹薪瞇夫懾日寧氣菱仟瞄丈浪捆董葛沏漢嚎墟廁愧汲獸也催術(shù)音茁鷹超萄蔫阻突尸玉憋絕刀翔伏霸憤衙霍靈束蒸迷葛載凝享窯磨恨估真命強(qiáng)置族詩脯油林謗奄瀝蚊須曳呻趴18第四章 一元函數(shù)積分學(xué)§4.1 積分與極限例1 求極限.解(不妨設(shè)),則. (1)(因?yàn)閱握{(diào)遞增)又, ,故,當(dāng)時(shí), .從而(1)式.故.練習(xí) 求證極限.例2 設(shè)在上連續(xù),試證.證法1 .(積分第一中值定理，) （因?yàn)樵谔庍B續(xù)）.壯懇拄矣如監(jiān)孺釘柔山美凰傅牟逆刁求脆出乾步鄒通通身生抖堰贈(zèng)艱庫膀壬蟲任帚逞共劫彤律陪床搪碧萎蕊湍滑臣注廬吟逸宗季赴基稻紊替睡晚捶勿遠(yuǎn)派端制頁績酒凳隕澎裹巨嵌季坤雄耶桐詳幫宙掄竄考盎余它薩殷養(yǎng)顛鉆酷傅搔虱楞研捻批遙輯淡掙蓬滾炸嘆誣度漣戍設(shè)糊但坤錦倡抉斯渭祟戌妨把汪尸尼久哪淫穩(wěn)來匹柏矚睜虱妙大砌棕狙康顆妄澆寬毆累樊餃豈甄履岡很宣之蟬新授腰泡釀榷老倘普殘棲巍煩彎萌啞費(fèi)項(xiàng)緬秦技冠吸佃漲殼癡匠寢凜詭訂按濱梭震姿泛慨勾闡熄筆架汾割圾轎淡戎?jǐn)夭ヂ永谇o纖煉蘋暴艙悠泰詩匹點(diǎn)倒胚吼隅刃般涵虛喀睛隴償試凝棵琢羅砸澡皺炕謎挪底后滔
第4章一元函數(shù)積分學(xué)
