安徽省安慶市重點(diǎn)高中2022屆高三10月月考 數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

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1、2022屆高三10月月考數(shù)學(xué)試卷（理數(shù)）一、單選題（本大題共12小題，共60分）1. 已知全集，集合，集合，則陰影部分所示集合為A. B. C. D. 2. 已知命題p：，命題q：若，則，下列命題為真命題的是A. B. C. D. 3. 設(shè)，則A. B. C. D. 4. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是A. B. C. D. 5. 函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍A. B. C. D. 6. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位：天的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫

2、情，則約為A. 60B. 63C. 66D. 697. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，則a，b，c的大小關(guān)系是 A. B. C. D. 9. 對任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“：，設(shè)，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是A. B. C. D. 10. 已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，若，則的最小值為A. 2B. C. ln2D. 11. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，若關(guān)于x的方程有無數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，但只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則A. B. C. 3D. 212. 對于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的

3、取值范圍是A. B. C. D. 二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為a，則_14. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且滿足，又，則_15. 已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)m，n滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則_16. 已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式在上有且只有300個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_三、解答題（本大題共7小題，共84.0分）17. 已知函數(shù)若的解集為，求實(shí)數(shù)k的值；若，都，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范18. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面平面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PCE，

4、并說明理由；當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線PB與平面ABCD所成角的余弦值19. 設(shè)，函數(shù)為常數(shù)，若，求證：函數(shù)為奇函數(shù)；(2) 若用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20. 如圖，A為橢圓的左頂點(diǎn)，過A的直線交拋物線于B、C兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)求證：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值；若直線m過C點(diǎn)，且傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求p的值，使的面積最大21. 數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)，形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式若關(guān)于a的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程(1) 求ab的值； 函數(shù)若斜率為k的

5、直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：選做題22. 直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線C的極坐標(biāo)方程為求曲線C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求的最小值23.已知函數(shù)，M為不等式的解集求集合M；若a，求證：10月月考（理數(shù)）答案一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）23. 已知全集，集合，集合，則陰影部分所示集合為 A. B. C. D. 解：集合，集合，圖形陰影部分為，故選：B24. 已知命題p：，命題q：若，則，下列命題為真命題的是A. B. C. D. 解：命題p：，使成立故命題p為真命

6、題；當(dāng)，時(shí)，成立，但不成立，故命題q為假命題，故命題，均為假命題；命題為真命題，故選B25. 設(shè)，則A. B. C. D. 解：，故選：A26. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是A. B. C. D. 解：，為奇函數(shù)，排除A，C；當(dāng)時(shí)，排除D，故選：B27. 函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍A. B. C. D. 解：令，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，解可得，故選：C28. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位：天的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為A. 60B.

7、63C. 66D. 69解：由已知，當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，可得，解得，兩邊取對數(shù)有，解得，故選：C29. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于A. B. C. D. 解：，令，則，即，故選：D30. 已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，則a，b，c的大小關(guān)系是 A. B. C. D. 解：令，即為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，函數(shù)在R上為增函數(shù)，即故選：A31. 對任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“：，設(shè)，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是A. B. C. D. 解：當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得或，或，函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象得：，函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與

8、x軸恰有三個(gè)公共點(diǎn)；故答案選：A32. 已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，若，則的最小值為A. 2B. C. ln2D. 解：設(shè)函數(shù)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，則，即，依題意，則，設(shè)，則，知函數(shù)在單減，在單增，即最小值為故選：D33. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，若關(guān)于x的方程有無數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，但只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則A. B. C. 3D. 2解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則關(guān)于x的方程在內(nèi)至多只有兩個(gè)解，所以必為其中一解，即，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)由函數(shù)得，若關(guān)于x的方程有無數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則當(dāng)時(shí)，也一定滿足方程，此時(shí)有，由可得，當(dāng)時(shí)，由即，得，解得或，解得，或，故選：A34. 對于任意的實(shí)數(shù)，總存在

9、三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B. C. D. 解：可化為：，設(shè)，則，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在為增函數(shù)，又，設(shè)，即函數(shù)在為增函數(shù)，所以，對于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，即對于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，即對于任意的實(shí)數(shù)恒成立，即，即，故選：B二、單空題（本大題共4小題，共20分）35. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為a，則_解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，可得，解得故答案為：36. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且滿足，又，則_解：，周期，又，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又，故答案為237. 若函數(shù)，正實(shí)數(shù)m，n滿足，且，若

10、在上最大值為2，則_解：，且，若在區(qū)間上的最大值為2， 故答案為：38. 已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式在上有且只有300個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解：是偶函數(shù)，的周期為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，且是以8為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，在上有300個(gè)整數(shù)解，在上有3個(gè)整數(shù)解，顯然這三個(gè)整數(shù)解為1，2，3，即在上有三個(gè)整數(shù)解1，2，3，即，解得：故答案為：三、解答題（本大題共7小題，共70分）39. 已知函數(shù)若的解集為，求實(shí)數(shù)k的值；若，都，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范解：由得，整理得，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋苑匠痰膬蓚€(gè)根是，；得，即；由已知，只需，因?yàn)樵趨^(qū)間上為增

11、函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，由于，所以函數(shù)在上的最小值為，因?yàn)殚_口向上，且對稱軸為，故當(dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得或，所以；當(dāng)，即時(shí)，解得，所以綜上所述，m的取值范圍是40. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面平面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PCE，并說明理由；當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線PB與平面ABCD所成的角余弦值解：在棱AB上存在點(diǎn)E，使得平面PCE，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)理由如下：取PC的中點(diǎn)Q，連接EQ、FQ，由題意，且，且，故AE且所以，四邊形AEQF為平行四邊形所以，又平面PEC，平面PEC，所以，平面PEC；由題意知為正三角形，所

12、以，亦即，又，所以，且平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，所以平面ABCD，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題意知0，0，2，1，2，設(shè)平面FBC的法向量為y，則由令，則，則，易知平面DFC的法向量0，二面角的余弦值為，解得由于平面ABCD，所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD，所以為直線PB與平面ABCD所成的角，題意知中，從而，所以直線PB與平面ABCD所成的角余弦值為41. 設(shè)，函數(shù)為常數(shù)，若，求證：函數(shù)為奇函數(shù)；若定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，因?yàn)?，則，所以定義域?yàn)?，對任意，所以是奇函?shù)當(dāng)時(shí)，為R上的單調(diào)增函數(shù)，證明如下

13、：證明：時(shí)，恒成立，故函數(shù)定義域?yàn)镽任取，且，則，因?yàn)椋詾镽上的單調(diào)增函數(shù)設(shè)命題存在，使得成立下面研究命題p的否定：恒成立若為真命題，由，為R上的單調(diào)增函數(shù)，故恒成立設(shè)，解得 p為真，則假，a的取值范圍為42. 如圖，A為橢圓的左頂點(diǎn)，過A的直線交拋物線于B、C兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)求證：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值；若直線m過C點(diǎn)，且傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求p的值，使的面積最大解：由題意可知，設(shè)，過A的直線l交拋物線于兩點(diǎn)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l：，聯(lián)立方程，消去x得，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為定值1；直線m的傾斜角和直線l的傾斜角互補(bǔ)，所以直線m

14、的斜率和直線l的斜率互為相反數(shù)，又點(diǎn)，所以設(shè)直線m的方程為：，即，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，解得，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線MN的距離為d，則，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，43. 數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)，形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式若關(guān)于a的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程求ab的值；已知函數(shù)若斜率為k的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：解：對兩邊取自然對數(shù)，得對兩邊取自然對數(shù)，得，即因?yàn)榉匠?，為兩個(gè)同構(gòu)方程，所以，解得設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，故方程的解只有一個(gè)所以，故由知，所以，要證，即證明，等價(jià)于令，則只要證即可由，知，故等價(jià)于證設(shè)，則，在單增，故，即設(shè)，則，即在單調(diào)遞增，故，即由可知成立，則44. 直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線C的極坐標(biāo)方程為求曲線C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求的最小值解：由，得，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為將直線l的參數(shù)方程代入，得則，當(dāng)時(shí)，取最小值245. 若函數(shù)，M為解集求集合M；若a，證：解：當(dāng)時(shí)，由解得，；當(dāng)時(shí)，恒成立，；當(dāng)時(shí)，由解得，綜上，的解集；證明：由a，得， ，