安徽省安慶市重點高中2022屆高三10月月考 數(shù)學（理）試題【含答案】

2022屆高三10月月考數(shù)學試卷（理數(shù)）一、單選題（本大題共12小題，共60分）1. 已知全集，集合，集合，則陰影部分所示集合為A. B. C. D. 2. 已知命題p：，命題q：若，則，下列命題為真命題的是A. B. C. D. 3. 設，則A. B. C. D. 4. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是A. B. C. D. 5. 函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍A. B. C. D. 6. Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)當時，標志著已初步遏制疫情，則約為A. 60B. 63C. 66D. 697. 已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足關系式，則的值等于A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，則a，b，c的大小關系是 A. B. C. D. 9. 對任意實數(shù)a，b定義運算“：，設，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是A. B. C. D. 10. 已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關于點對稱，若，則的最小值為A. 2B. C. ln2D. 11. 已知定義域為R的函數(shù)，若關于x的方程有無數(shù)個不同的實數(shù)解，但只有三個不同的實數(shù)解，則A. B. C. 3D. 212. 對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是A. B. C. D. 二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為a，則_14. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關于點對稱，且滿足，又，則_15. 已知函數(shù)，正實數(shù)m，n滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則_16. 已知偶函數(shù)滿足，且當時，關于x的不等式在上有且只有300個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_三、解答題（本大題共7小題，共84.0分）17. 已知函數(shù)若的解集為，求實數(shù)k的值；若，都，使成立，求實數(shù)m的取值范18. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面平面ABCD，點F為棱PD的中點在棱AB上是否存在一點E，使得平面PCE，并說明理由；當二面角的余弦值為時，求直線PB與平面ABCD所成角的余弦值19. 設，函數(shù)為常數(shù)，若，求證：函數(shù)為奇函數(shù)；(2) 若用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍20. 如圖，A為橢圓的左頂點，過A的直線交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點求證：點C的橫坐標是定值，并求出該定值；若直線m過C點，且傾斜角和直線的傾斜角互補，交橢圓于M、N兩點，求p的值，使的面積最大21. 數(shù)學中，我們把僅有變量不同，而結構，形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式若關于a的方程和關于b的方程可化為同構方程(1) 求ab的值； 函數(shù)若斜率為k的直線與曲線相交于，兩點，求證：選做題22. 直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線C的極坐標方程為求曲線C的直角坐標方程；設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當變化時，求的最小值23.已知函數(shù)，M為不等式的解集求集合M；若a，求證：10月月考（理數(shù)）答案一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）23. 已知全集，集合，集合，則陰影部分所示集合為 A. B. C. D. 解：集合，集合，圖形陰影部分為，故選：B24. 已知命題p：，命題q：若，則，下列命題為真命題的是A. B. C. D. 解：命題p：，使成立故命題p為真命題；當，時，成立，但不成立，故命題q為假命題，故命題，均為假命題；命題為真命題，故選B25. 設，則A. B. C. D. 解：，故選：A26. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是A. B. C. D. 解：，為奇函數(shù)，排除A，C；當時，排除D，故選：B27. 函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍A. B. C. D. 解：令，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，解可得，故選：C28. Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)當時，標志著已初步遏制疫情，則約為A. 60B. 63C. 66D. 69解：由已知，當時，標志著已初步遏制疫情，可得，解得，兩邊取對數(shù)有，解得，故選：C29. 已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足關系式，則的值等于A. B. C. D. 解：，令，則，即，故選：D30. 已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，則a，b，c的大小關系是 A. B. C. D. 解：令，即為奇函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞增，又因為為奇函數(shù)，函數(shù)在R上為增函數(shù)，即故選：A31. 對任意實數(shù)a，b定義運算“：，設，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是A. B. C. D. 解：當時，解得，當時，解得或，或，函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象得：，函數(shù)與的圖象有3個交點，即函數(shù)的圖象與x軸恰有三個公共點；故答案選：A32. 已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關于點對稱，若，則的最小值為A. 2B. C. ln2D. 解：設函數(shù)上任意一點，點關于對稱的點為，則，即，依題意，則，設，則，知函數(shù)在單減，在單增，即最小值為故選：D33. 已知定義域為R的函數(shù)，若關于x的方程有無數(shù)個不同的實數(shù)解，但只有三個不同的實數(shù)解，則A. B. C. 3D. 2解：當時，函數(shù)單調(diào)遞增，則關于x的方程在內(nèi)至多只有兩個解，所以必為其中一解，即，故當時，此時由函數(shù)得，若關于x的方程有無數(shù)個不同的實數(shù)解，則當時，也一定滿足方程，此時有，由可得，當時，由即，得，解得或，解得，或，故選：A34. 對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是A. B. C. D. 解：可化為：，設，則，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在為增函數(shù)，又，設，即函數(shù)在為增函數(shù)，所以，對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立，即對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立，即對于任意的實數(shù)恒成立，即，即，故選：B二、單空題（本大題共4小題，共20分）35. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為a，則_解：函數(shù)的導數(shù)為，可得圖象在點處的切線斜率為，可得，解得故答案為：36. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關于點對稱，且滿足，又，則_解：，周期，又，函數(shù)的圖象關于點對稱，又，故答案為237. 若函數(shù)，正實數(shù)m，n滿足，且，若在上最大值為2，則_解：，且，若在區(qū)間上的最大值為2， 故答案為：38. 已知偶函數(shù)滿足，且當時，關于x的不等式在上有且只有300個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_解：是偶函數(shù)，的周期為當時，當時，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，且是以8為周期的偶函數(shù)，當x為整數(shù)時，在上有300個整數(shù)解，在上有3個整數(shù)解，顯然這三個整數(shù)解為1，2，3，即在上有三個整數(shù)解1，2，3，即，解得：故答案為：三、解答題（本大題共7小題，共70分）39. 已知函數(shù)若的解集為，求實數(shù)k的值；若，都，使成立，求實數(shù)m的取值范解：由得，整理得，因為不等式的解集為，所以方程的兩個根是，；得，即；由已知，只需，因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，由于，所以函數(shù)在上的最小值為，因為開口向上，且對稱軸為，故當，即時，解得；當，即時，解得或，所以；當，即時，解得，所以綜上所述，m的取值范圍是40. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面平面ABCD，點F為棱PD的中點在棱AB上是否存在一點E，使得平面PCE，并說明理由；當二面角的余弦值為時，求直線PB與平面ABCD所成的角余弦值解：在棱AB上存在點E，使得平面PCE，點E為棱AB的中點理由如下：取PC的中點Q，連接EQ、FQ，由題意，且，且，故AE且所以，四邊形AEQF為平行四邊形所以，又平面PEC，平面PEC，所以，平面PEC；由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，所以平面ABCD，故以D為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設，則由題意知0，0，2，1，2，設平面FBC的法向量為y，則由令，則，則，易知平面DFC的法向量0，二面角的余弦值為，解得由于平面ABCD，所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD，所以為直線PB與平面ABCD所成的角，題意知中，從而，所以直線PB與平面ABCD所成的角余弦值為41. 設，函數(shù)為常數(shù)，若，求證：函數(shù)為奇函數(shù)；若定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍解：當時，函數(shù)，因為，則，所以定義域為，對任意，所以是奇函數(shù)當時，為R上的單調(diào)增函數(shù)，證明如下：證明：時，恒成立，故函數(shù)定義域為R任取，且，則，因為，所以為R上的單調(diào)增函數(shù)設命題存在，使得成立下面研究命題p的否定：恒成立若為真命題，由，為R上的單調(diào)增函數(shù)，故恒成立設，解得 p為真，則假，a的取值范圍為42. 如圖，A為橢圓的左頂點，過A的直線交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點求證：點C的橫坐標是定值，并求出該定值；若直線m過C點，且傾斜角和直線的傾斜角互補，交橢圓于M、N兩點，求p的值，使的面積最大解：由題意可知，設，過A的直線l交拋物線于兩點，直線l的斜率存在且不為0，設l：，聯(lián)立方程，消去x得，點C是AB的中點，點C的橫坐標為定值1；直線m的傾斜角和直線l的傾斜角互補，所以直線m的斜率和直線l的斜率互為相反數(shù)，又點，所以設直線m的方程為：，即，設，聯(lián)立方程，消去x得，解得，點C是AB的中點，設點到直線MN的距離為d，則，令，當且僅當，即，時，等號成立，43. 數(shù)學中，我們把僅有變量不同，而結構，形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式若關于a的方程和關于b的方程可化為同構方程求ab的值；已知函數(shù)若斜率為k的直線與曲線相交于，兩點，求證：解：對兩邊取自然對數(shù)，得對兩邊取自然對數(shù)，得，即因為方程，為兩個同構方程，所以，解得設，則，所以在單調(diào)遞增，故方程的解只有一個所以，故由知，所以，要證，即證明，等價于令，則只要證即可由，知，故等價于證設，則，在單增，故，即設，則，即在單調(diào)遞增，故，即由可知成立，則44. 直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線C的極坐標方程為求曲線C的直角坐標方程；設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當變化時，求的最小值解：由，得，所以曲線C的直角坐標方程為將直線l的參數(shù)方程代入，得則，當時，取最小值245. 若函數(shù)，M為解集求集合M；若a，證：解：當時，由解得，；當時，恒成立，；當時，由解得，綜上，的解集；證明：由a，得， ，