2022年中考數(shù)學(xué)考前專(zhuān)題輔導(dǎo) 平方根與立方根

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1、教學(xué)目標(biāo)1. 了解一個(gè)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的意義，理解和掌握平方根的性質(zhì)；2. 會(huì)求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根；3. 掌握立方根的意義，會(huì)求一個(gè)數(shù)的立方根；4. 理解開(kāi)立方與立方的關(guān)系。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：算術(shù)平方根、平方根以及立方根的概念和性質(zhì)。難點(diǎn)：算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系?？键c(diǎn)及考試要求以考查對(duì)平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念的理解程度和估算為主教 學(xué) 內(nèi) 容第一課時(shí) 平方根與立方根知識(shí)梳理課前檢測(cè)1、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： 2、求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）3、算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有 。4、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. ， ， ， ，5、已知求的值.知識(shí)梳理一

2、. 平方根：1. 算術(shù)平方根的概念及表示方法如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。當(dāng)時(shí)，的算術(shù)平方根記為，讀作“根號(hào)”，叫做被開(kāi)方數(shù)。2. 平方根的概念及其性質(zhì)（1）平方根的定義如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根或二次方根。即如果，那么叫做的平方根。（2）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。當(dāng)時(shí)，的平方根表示為。（3）求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方，其中叫做被開(kāi)方數(shù)。3. 用計(jì)算器求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根用計(jì)算器可以求出任何一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值）。二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那

3、么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根。即如果，那么叫做的立方根，記作。正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的立方根是0。2. 開(kāi)立方的概念求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方。正如開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開(kāi)立方與立方也互為逆運(yùn)算。3. 用計(jì)算器求立方根很多有理數(shù)的立方根是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我們可用計(jì)算器求出它們的近似值。第二課時(shí) 平方根與立方根典型例題典型例題知識(shí)點(diǎn)一：算術(shù)平方根例1. 下列各數(shù)有算術(shù)平方根嗎？如果有，求出它的算術(shù)平方根；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）81；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）。思路分析：根據(jù)“正數(shù)和0都有算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根”知，（1）、（

4、3）、（4）、（5）有算術(shù)平方根，（2）、（6）沒(méi)有算術(shù)平方根。解答過(guò)程：（1）因?yàn)?1是正數(shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)?，所?1的算術(shù)平方根是9；（2）因?yàn)槭秦?fù)數(shù)，所以它沒(méi)有算術(shù)平方根；（3）0有算術(shù)平方根，就是0；（4）因?yàn)槭钦龜?shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是；（5）因?yàn)槭钦龜?shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)椋缘乃阈g(shù)平方根是2；（6），是負(fù)數(shù)，所以沒(méi)有算術(shù)平方根。解題后的思考：要判斷一個(gè)數(shù)有沒(méi)有算術(shù)平方根，要根據(jù)算術(shù)平方根的概念確定這個(gè)數(shù)是不是非負(fù)數(shù)，只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根。以上結(jié)論不要死記硬背，同學(xué)們要理解為什么負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根？例2. 已知，求的值。思路分析：考

5、慮、都是非負(fù)數(shù)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，不難解決此題。解答過(guò)程：又解得。解題后的思考：一個(gè)數(shù)的平方、絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為零。這是解決這類(lèi)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。小結(jié)：1. 只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根，并且只有一個(gè)；2. 一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)二：平方根的概念及其性質(zhì)例3. 求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根：（1）3600；（2）；（3）0.0001；（4）。思路分析：因?yàn)榍笠粋€(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，所以可借助平方運(yùn)算來(lái)求這些數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。解答過(guò)程：（1）因?yàn)?，所?600的平方根是，即。3600的算術(shù)平

6、方根是60，即。（2）因?yàn)?，所以的平方根是，即。的算術(shù)平方根是，即。（3）因?yàn)?，所?.0001的平方根為，即。0.0001的算術(shù)平方根為0.01，即。（4）因?yàn)?，所以的平方根為，即。的算術(shù)平方根為7，即。解題后的思考：運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根是常用的方法。如果被開(kāi)方數(shù)是小數(shù)，要注意小數(shù)點(diǎn)的位置，也可以先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求它的平方根和算術(shù)平方根；如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的平方根和算術(shù)平方根。例4. 求下列各式中的。（1）；（2）；（3）；（4）。思路分析：把上面各式化成的形式，求出的平方根，就可以求出的值。解答過(guò)程：（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?/p>

7、，所以，所以或；（3）因?yàn)椋?，所以；?）因?yàn)椋?，所以。解題后的思考：雖然目前我們并沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)一元二次方程的解法，但是我們可以利用平方根的定義求解一些簡(jiǎn)單的一元二次方程。例5. 若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為和，求的值。思路分析：由平方根的性質(zhì)知：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)，因而可構(gòu)造方程，求出的值，而或，據(jù)此可求出的值。解答過(guò)程：因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)所以，解得。從而（或所以。解題后的思考：本題利用平方根的性質(zhì)，構(gòu)造一元一次方程，先求出其平方根，再進(jìn)一步求出。這里用到了方程思想，它是初中階段一種重要的數(shù)學(xué)思想。例6. 若適合關(guān)系式，試求的值。思路分析：從已知關(guān)系

8、式看似乎無(wú)從下手，但關(guān)系式要成立先要有意義，此題從被開(kāi)方數(shù)必須非負(fù)入手就能迎刃而解。解答過(guò)程：由已知，得由（3）（4）式可知，所以，原式即為因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，解得。解題后的思考：的非負(fù)性包括兩層含義：一是被開(kāi)方數(shù)必須非負(fù)，即；二是的算術(shù)平方根必須非負(fù)，即。小結(jié)：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根；0的平方根是0知識(shí)點(diǎn)三：平方根的估算例7. 已知為的整數(shù)部分，是9的平方根，且，求的值。思路分析：此題涉及的估值問(wèn)題，由，即可解。還涉及的取值的取舍問(wèn)題，求出的值要滿(mǎn)足題目中的所有條件，既不能漏解，也不能多解。解答過(guò)程：因?yàn)椋?，即因?yàn)槭?的平方根，所以，即或又因?yàn)?，所以所以?/p>

9、故。解題后的思考：若的整數(shù)部分為，則其小數(shù)部分為。小結(jié)：若一個(gè)非負(fù)數(shù)介于另外兩個(gè)非負(fù)數(shù)之間，即時(shí)，它的算術(shù)平方根也介于之間，即。利用這個(gè)結(jié)論我們可以來(lái)估算一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的大致范圍。對(duì)一個(gè)數(shù)和式子進(jìn)行估算是以后我們會(huì)經(jīng)常遇到的問(wèn)題。比如解不等式組、求函數(shù)定義域和值域、求集合的交集和并集等。知識(shí)點(diǎn)四：立方根的概念及其性質(zhì)例8. 已知是8的立方根，求。思路分析：此題主要考查立方根的概念，但是用字母表示具體的數(shù)，涉及到代數(shù)。解答過(guò)程：是8的立方根，解題后的思考：利用立方根的概念解決抽象的代數(shù)問(wèn)題。小結(jié)：立方根與平方根的區(qū)別：只有非負(fù)數(shù)才有平方根，0的平方根為0，正數(shù)的平方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)；

10、任何數(shù)均有立方根，并且有唯一的與其符號(hào)相同的立方根。知識(shí)點(diǎn)五：平方根與立方根的綜合運(yùn)用例9. （1）已知，則_；（2）已知，則。思路分析：一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大（或縮?。?00倍，則它的算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮?。?0倍。從小數(shù)點(diǎn)的位置看，一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)1位。一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大（或縮?。?000倍，則它的立方根擴(kuò)大（或縮小）10倍。從小數(shù)點(diǎn)的位置看，一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)3位，則它的立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)1位。解答過(guò)程：（1）因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗越忸}后的思考：同學(xué)們可以將以前所學(xué)知識(shí)和這個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)理解和記憶：一個(gè)正數(shù)擴(kuò)大

11、10倍，則它的平方擴(kuò)大100倍，立方擴(kuò)大1000倍；反之，一個(gè)正數(shù)縮小100倍，它的算術(shù)平方根縮小10倍；一個(gè)正數(shù)縮小1000倍，它的立方根縮小10倍。例10. 已知是的算術(shù)平方根，是的立方根，試求的值。思路分析：由是的算術(shù)平方根可知，由是的立方根可知，由此可得方程組，解得的值，從而求得的值，最后求出的值。解答過(guò)程：由題意可知解方程組得所以，所以，。解題后的思考：明確算術(shù)平方根和立方根的意義及表示方法。例11. 若與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值。思路分析：由立方根的定義和性質(zhì)可知，若與互為相反數(shù)，則有被開(kāi)方數(shù)互為相反數(shù)。由此求出的關(guān)系式，然后代入求值。解答過(guò)程：由題意得所以，則。解題后的思考：熟悉

12、掌握立方根的性質(zhì)是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。師生小結(jié) 被開(kāi)方數(shù)名稱(chēng)正數(shù)0負(fù)數(shù)1算術(shù)平方根1個(gè)（正數(shù)）0無(wú)1無(wú)平方根2個(gè)（一正一負(fù)）0無(wú)無(wú)立方根1個(gè)（正數(shù)）01個(gè)（負(fù)數(shù)）1第三課時(shí) 平方根與立方根課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)一、選擇題：1. 的絕對(duì)值是（ ）A. 3B. C. D. 2. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）A. 一個(gè)數(shù)的立方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)B. 負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根C. 如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么它一定有平方根D. 一個(gè)非零數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)同號(hào)3. 與最接近的數(shù)是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 54. 若某數(shù)的立方根等于這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，那么這個(gè)數(shù)是（ ）A. 1B. C. 0或1D. 或05. 計(jì)

13、算（ ）A. B. C. D. 0二、填空題：6. （1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；7. 的平方根是_；8. 的小數(shù)部分為_(kāi)；9. 下列說(shuō)法中正確的是_（將序號(hào)填寫(xiě)在橫線上）4的平方根是2；4的算術(shù)平方根是2；是4的平方根；的平方根是；0.3是0.09的平方根；0.4的算術(shù)平方根是0.2。10. 如果，那么_。三、解答題：11. 求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根（1）（2）0.0081（3）()2（4）1412. 求下列各數(shù)的立方根（1）0.001（2）216（3）3（4）313. 求下列各式中的x（1）9x22560 （2）4(2x1)22514. 已知：(12a)20，求a

14、b的值15. 若3x16的立方根是4，求2x4的算術(shù)平方根16. 已知，求的值。 17.已知：（1）2+0，求+2的立方根18.已知：2的平方根是2,2+7的立方根是3，求2+2的平方根19. 若2（3）2，3（2）3，求+的所有可能值19. 將半徑為3 cm的鐵球熔化，重新鑄成8個(gè)半徑相同的小鐵球。（1）原鐵球的體積是多少？（2）每個(gè)小鐵球的體積是多少？半徑是多少？（球的體積公式：） 20. 計(jì)劃用100塊地板磚來(lái)鋪設(shè)面積為16m2的客廳，求所需的正方形地板磚的邊長(zhǎng)是多少米？ 21. 已知第一個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng)是6cm，第二個(gè)正方體紙盒的體積要比第一個(gè)紙盒的體積大127cm3，求第二個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng)