概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案課件.ppt

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1、習(xí) 題 選 解第 一 章 習(xí) 題 1.1(第 7頁(yè) ) =1, 2, 3, 4, 5, 6, A=1, 3, 5. 1. 用 集 合 的 形 式 寫 出 下 列 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 樣 本 空 間 與 隨機(jī) 事 件 A: (1)拋 一 顆 骰 子 , 觀 察 向 上 一 面 的 點(diǎn) 數(shù) , A表 示 “ 出 現(xiàn) 奇數(shù) 點(diǎn) ” . (2)對(duì) 一 個(gè) 目 標(biāo) 進(jìn) 行 射 擊 , 一 旦 擊 中 便 停 止 射 擊 , 觀 察 射擊 的 次 數(shù) , A表 示 “ 射 擊 不 超 過(guò) 3次 ” . (3)把 單 位 長(zhǎng) 度 的 一 根 細(xì) 棒 折 成 三 段 , 觀 察 各 段 的 長(zhǎng) 度 , A表

2、示 “ 三 段 細(xì) 棒 能 構(gòu) 成 一 個(gè) 三 角 形 ” . =1, 2, 3, ， A=1, 2, 3 =(a, b, 1 a b)|a, b0且 a+b1, 2. 把 表 示 成 n個(gè) 兩 兩 互 不 相 容 事 件 的 和 。 A=(a, b, 1 a b)|0a, b0.5 =(a, b, c)|a, b, c0且 a+b c 1, =(a, b, c)|0a, b, c0且 x+y+z=l, A=(x, y, z)|0 x, y, z0為 常 數(shù) ). 1 1 cNcNk 1)1(!1 eckck k所 以 , c=1/(e 1). 2.已 知 隨 機(jī) 變 量 X只 取 1, 0,

3、1, 2四 個(gè) 值 ,相 應(yīng) 概 率 依 次為 1/2c, 3/4c, 5/8c, 7/16c,試 確 定 常 數(shù) c, 并 求 PX1|X 0. 解 由 分 布 律 的 性 質(zhì) 有 ： 1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1所 以 , c=37/16. PX1|X 0=PX1且 X 0/PX 0 =PX= 1/1 PX 0 =(8/37)/1 12/37 =8/25 3. 一 批 產(chǎn) 品 分 一 、 二 、 三 級(jí) , 其 中 一 級(jí) 品 是 二 級(jí) 品 的兩 倍 , 三 級(jí) 品 是 二 級(jí) 品 的 一 半 . 從 這 批 產(chǎn) 品 中 隨 機(jī) 地 抽 取 一個(gè) 檢 驗(yàn) 質(zhì)

4、 量 , 試 用 隨 機(jī) 變 量 描 述 檢 驗(yàn) 的 可 能 結(jié) 果 , 并 寫 出 其分 布 律 . 解 記 X i為 檢 驗(yàn) 結(jié) 果 為 i級(jí) 品 , 則 X只 能 取 1, 2, 3.若 設(shè) PX=2=p, 則 PX=1 2p, PX=3 =0.5P, 于 是p+2p+0.5p=1, 即 p=2/7. 即 X的 分 布 律 為 : PX=1=4/7. PX=2=2/7. PX=3=1/7. 或 寫 成 : 7/17/27/4 321X 4. 某 運(yùn) 動(dòng) 員 的 投 籃 命 中 率 為 0.4, 寫 出 他 一 次 投 籃 命中 數(shù) X的 分 布 律 . 解 顯 然 , X只 能 取 0，

5、 1， 其 分 布 律 為 ： PX=0=0.6, PX=1=0.4.或 寫 成 : , 或X 0 1P 0.6 0.4 4.06.0 10X 5. 上 拋 兩 枚 硬 幣 , 寫 出 正 面 朝 上 的 個(gè) 數(shù) Y的 分 布 律 . 解 顯 然 , Y只 能 取 0, 1, 2, 其 分 布 律 為 ： PY=0=0.25, PY=1=0.5, PY=2=0.25. 7. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X B(6, p), 已 知 PX=1=PX=5, 求PX=2的 值 . 解 由 于 X B(6, p), 所 以 , PX=k=C6kpk(1-p)6-k,由 已 知 有 ： 6p(1-p)5=6p5

6、(1-p), 所 以 , p=0.5.因 此 , PX=2=15 0.52 0.54=15/64 0.2344 8. 已 知 事 件 A在 一 次 試 驗(yàn) 中 發(fā) 生 的 概 率 為 0.3,當(dāng) A發(fā) 生不 少 于 三 次 時(shí) , 指 示 燈 將 發(fā) 出 信 號(hào) , 若 按 一 下 兩 種 方 式 進(jìn) 行試 驗(yàn) , 分 別 求 指 示 燈 發(fā) 出 信 號(hào) 的 概 率 . 解 (1) PX 3= (2) PX 3=1 PXN 0.05, 則 PX N0.957374.097.00 10 XP因 為 :所 以 , PX 1=0.7374+0.2281=0.96550.95因 此 ， 取 N=1便

7、滿 足 條 件 。即 , 配 備 一 名 技 師 便 可 以 保 證 設(shè) 備 發(fā) 生 故 障 .2281.097.003.0101 9 XP 11. 某 救 援 站 在 長(zhǎng) 度 為 t的 時(shí) 間 (單 位 :h)內(nèi) 收 到 救 援 信 號(hào)的 次 數(shù) X服 從 P(t/2)分 布 且 與 時(shí) 間 的 起 點(diǎn) 無(wú) 關(guān) , 試 求 某 天 下午 救 援 站 在 1點(diǎn) 至 6點(diǎn) 間 至 少 收 到 一 次 救 援 信 號(hào) 的 概 率 . 解 由 已 知 , 1點(diǎn) 至 6點(diǎn) 收 到 救 援 信 號(hào) 的 次 數(shù) X P(5/2),所 以 , PX 1=1 PX=0=1 e-2.5 0.9179 12. 若

8、 X P()且 PX=2=PX=3, 求 PX=5. 解 由 已 知 有 : 2e /2=3e /6, 所 以 , =3所 以 , PX 5= 5e /5! 35e 3/5! 0.1008 13. 設(shè) 步 槍 射 擊 飛 機(jī) 的 命 中 率 為 0.001, 今 射 擊 6000次 ,試 按 泊 松 分 布 近 似 計(jì) 算 步 槍 至 少 擊 中 飛 機(jī) 兩 彈 的 概 率 , 并 求最 可 能 擊 中 數(shù) . 解 記 X為 擊 中 彈 數(shù) , 則 X B(6000, 0.001)所 以 , PX 2=1 PX=0 PX=1 1 e 6 6e 6 0.9826實(shí) 際 上 ,PX 2=1 0.9

9、996000 6000 0.001 0.9995999 )6( P近似 0.9827X的 最 可 能 數(shù) 為 : (n+1)p=6.001=6即 , 最 可 能 擊 中 數(shù) 為 6。 15. 在 有 8件 正 品 , 2件 次 品 的 10件 產(chǎn) 品 中 隨 機(jī) 地 取 3件 ,寫 出 取 出 的 次 品 數(shù) X的 分 布 律 . 解 X H(10, 2, 3)， 其 分 布 律 為 : PX=0=8/10 7/9 6/8=7/15 PX=1=3 8/10 7/9 2/8=7/15 PX=2=3 8/10 2/9 1/8=1/15 16. 在 一 副 撲 克 牌 中 (按 54張 計(jì) )隨 機(jī)

10、 地 抽 出 5張 , 求 抽出 黑 桃 張 數(shù) 的 概 率 分 布 . 解 黑 桃 張 數(shù) X H(54, 13, 5)， 其 分 布 律 為 : 5,4,3,2,1,0, 55454113 kCCCkXP kk 17. 一 批 產(chǎn) 品 的 次 品 率 為 0.02, 從 中 任 取 20件 , 現(xiàn) 已 初步 查 出 2件 次 品 , 求 20件 中 次 品 數(shù) 不 小 于 3的 概 率 . 解 20件 中 次 品 數(shù) X B(20, 0.02)， 于 是 , PX 3|X 2=PX 3/PX 2 =1-PX3/1-PX2 =1-0.9820-20 0.02 0.9819-190 0.022

11、 0.9818/ 1-0.9820-20 0.02 0.9819 0.1185 18. 自 動(dòng) 生 產(chǎn) 線 在 調(diào) 整 之 后 出 現(xiàn) 廢 品 的 概 率 為 p, 且 生產(chǎn) 過(guò) 程 中 一 旦 出 現(xiàn) 廢 品 即 刻 重 新 進(jìn) 行 調(diào) 整 . 求 在 兩 次 調(diào) 整之 間 生 產(chǎn) 的 合 格 品 數(shù) 的 分 布 律 . 解 合 格 品 數(shù) X 1 G(P)， 于 是 , 其 分 布 律 為 : PX=k=(1-p) kp， k=0, 1, 2, 19. 某 射 手 有 5發(fā) 子 彈 ,每 射 一 發(fā) 子 彈 的 命 中 率 都 是 0.7,如 果 命 中 目 標(biāo) 就 停 止 射 擊 , 不

12、 中 目 標(biāo) 就 一 直 射 擊 到 子 彈 用完 為 止 , 試 求 所 用 子 彈 數(shù) X的 分 布 律 . 解 顯 然 , X只 能 取 1, 2, 3, 4, 5, X的 分 布 律 為 : PX=1=0.7; PX=2=0.3 0.7=0.21; PX=3=0.32 0.7=0.063; PX=4=0.33 0.7=0.0189; PX=5=0.3 4=0.0081. 20. 從 有 10件 正 品 , 3件 次 品 的 產(chǎn) 品 中 一 件 一 件 地 抽 取 ,每 次 抽 取 時(shí) , 各 件 產(chǎn) 品 被 抽 到 的 可 能 性 相 等 . 在 下 列 三 種 情形 下 ,分 別 寫

13、 出 直 到 取 得 正 品 為 止 所 需 抽 取 次 數(shù) X的 分 布 律 . (1) 每 次 取 出 的 產(chǎn) 品 不 再 放 回 ; (2) 每 次 取 出 的 產(chǎn) 品 立 即 放 回 ; (3) 每 次 取 出 一 件 產(chǎn) 品 后 隨 即 放 回 一 件 正 品 . 解 (1) X只 能 取 1, 2, 3, 4, 其 分 布 律 為 : PX=3=3/13 2/12 10/11=5/143; PX=4=3/13 2/12 1/11=1/286. PX=1=10/13; PX=2=3/13 10/12=5/26; 解 (2) X G(10/13), 其 分 布 律 為 : PX=1=1

14、0/13; PX=2=3/13 11/13=33/169. PX=k=(3/13)k 1(10/13), k=1, 2, 3, ; (3) X只 能 取 1, 2, 3, 4， 其 分 布 律 為 : PX=3=3/13 2/13 12/13=72/2197. PX=4=3/13 2/13 1/13=6/2197. 5. 火 炮 向 某 目 標(biāo) 獨(dú) 立 射 擊 , 每 發(fā) 炮 彈 命 中 目 標(biāo) 的 概 率為 0.6, 且 只 要 命 中 一 發(fā) 目 標(biāo) 就 被 摧 毀 . 今 發(fā) 射 4發(fā) , 求 摧 毀目 標(biāo) 的 概 率 . 若 使 目 標(biāo) 被 摧 毀 的 概 率 達(dá) 到 0.999以 上

15、 , 則 至少 要 發(fā) 射 多 少 發(fā) 炮 彈 ？第 二 章 章 末 習(xí) 題 2(第 72頁(yè) ) 解 4法 炮 彈 中 命 中 目 標(biāo) 數(shù) XB(4, 0.6), 所 以 若 記 N發(fā) 炮 彈 命 中 目 標(biāo) 數(shù) Y, 則 Y(N, 0.6), 于 是 PX 1=1 PX=0=1 0.44=0.9744 PX 1=1 PX=0=1 0.4N 0.999則 , N ln0.001/ln0.4 7.539.故 ,至 少 要 發(fā) 射 8發(fā) 炮 彈 ,可 使 目 標(biāo) 被 摧 毀 的 概 率 達(dá) 到 0.999. 7. 某 種 動(dòng) 物 出 現(xiàn) 畸 形 概 率 為 0.001, 如 果 在 相 同 的 環(huán)

16、 境中 觀 察 5000例 , 試 按 泊 松 分 布 近 似 計(jì) 算 其 中 至 多 有 兩 例 是畸 形 的 概 率 , 并 求 最 可 能 畸 形 例 數(shù) . 解 記 X為 畸 形 例 數(shù) , 則 X B(5000, 0.001)所 以 , PX 2=PX=0 PX=1 PX=2 e 5+5e 5+52e 5/2 0.1247 )5( P近似X的 最 可 能 數(shù) 為 : (n+1)p=5.001=5即 , 最 可 能 畸 形 例 數(shù) 為 5。 9. 袋 中 裝 有 1個(gè) 白 球 , 4個(gè) 紅 球 , 每 次 從 中 任 取 一 球 , 直到 取 出 白 球 為 止 , 試 寫 出 取 球

17、 次 數(shù) X的 分 布 律 . 假 定 取 球 方式 為 每 次 取 出 的 紅 球 不 再 放 回 , 或 者 每 次 取 出 的 紅 球 放 回 . 解 取 出 的 紅 球 不 放 回 , 則 X的 分 布 律 為 : PX=1=1/5, PX=2=4/5 1/4=1/5, PX=3=4/5 3/4 1/3=1/5, PX=4=4/5 3/4 2/3 1/2=1/5 每 次 取 出 的 紅 球 再 放 回 , 則 XG(1/5), 其 分 布 律 為 : PX=5=4/5 3/4 2/3 1/2=1/5 PX=k=(4/5) k 1 1/5=22k 2/5k , k=1, 2, 3, 第

18、二 章 習(xí) 題 2.3(第 58頁(yè) ) 解 (1) 由 于 , 所 以 , c=1/9. 1. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X , 求 (1) 常 數(shù) c; (2) P1X2, PX 1, PX=2. 其它，0 30)( 2 xcxxf 30 2 9)(1 cdxcxdxxf (2) 21 21 2 27/79/)(21 dxxdxxfXP 1 10 2 27/19/)(1 dxxdxxfXP PX=2=0. 證 明 顯 然 f(x) 0, 且 2. 證 明 函 數(shù) (c為 正 的 常 數(shù) )為 密度 函 數(shù) .所 以 , f(x)是 密 度 函 數(shù) . 0,0 0)( 22 xxecxxf cx

19、，dxecxdxxf cx20 2)( 1|022 cxe 證 明 密 度 函 數(shù) 為 : 3. 設(shè) X U( 2, 3), 寫 出 X的 密 度 函 數(shù) . 其它，0 32,5/1)( xxf 證 明 (1) X的 密 度 函 數(shù) 為 : 6. 設(shè) XE(2), (1)寫 出 X的 密 度 函 數(shù) ; (2)求 P 1X2, P1X4. (2) P 1X2=P0 X2=1 e 4 0.9817 其它,0 0,2)( 2 xexf x p1x4=e 8 0.0003355 10. 設(shè) XN( 1, 16), 求 PX 1.5, PX 2.8, P|X|1. 解 PX 1.5=1 ( 1.5+1

20、)/4)=(0.125) 0.55 PX 2.8=( 2.8+1)/4)=1 (0.45)=0.3264 P|X|1=PX2 =(0.25)+1 (0.75)=0.8253 解 由 于 方 程 無(wú) 實(shí) 根 , 所 以 4 X0, 于 是 有 11. 設(shè) XN(, 2), 方 程 y2+4y+X=0無(wú) 實(shí) 根 的 概 率 為0.5, 求 . P4 X4=0.5 px4=1 (4 )/)=( 4)/)=0.5所 以 , ( 4)/=0, 即 , =4. 解 由 已 知 , P2X4=(2/) (0)=0.3 12. 設(shè) XN(2, 2), 且 P2X4=0.3, 求 PX0.所 以 , (2/)=

21、0.8. PX0=( 2/)=1 (2/)=0.2. (A) 單 調(diào) 增 大 ;(B) 單 調(diào) 減 小 ; (C) 保 持 不 變 ;(D) 增 減 不 定 . 13.設(shè) XN(, 2), 則 隨 著 增 大 , P|X |必 然 . 解 由 于 p|X |=P|X |/1=2(1) 1所 以 , 應(yīng) 選 (C). (A) 12; (C) 12. 14. 隨 機(jī) 變 量 XN(1, 12), YN(2, 22), 且 P|X 1| P|Y 2|1, 則 正 確 的 是 . 解 p|X 1|1=P|X 1|/11/1=2(1/1) 1 p|Y 2|1=P|Y 2|/2(1/2), 故 , 10.

22、12=P|X 10.05|/0.062 =2 2(2)=0.0456 解 P120X200=P|X 160|/40/ 16. 設(shè) XN(160, 2), 若 P120X200 0.8, 求 . =2(40/) 1 0.8.所 以 , (40/) 0.9.查 表 得 : 40/ 1.29. 即 31.008. 第 二 章 章 末 習(xí) 題 2(第 72頁(yè) ) 6. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 密 度 , 現(xiàn) 對(duì) X進(jìn) 行 n次 獨(dú) 立 的 重 復(fù) 觀 測(cè) , 并 以 Vn表 示 觀 測(cè) 值 不 大 于0.1的 次 數(shù) , 求 Vn的 概 率 分 布 . 其它,0 10,2)( xxxf

23、解 由 于 PX0.1= 1.0 1.00 01.02)( xdxdxxf所 以 , Vn B(n, 0.01), 故 , Vn的 分 布 律 為 : PVn=k=Cnk 0.01k 0.99n k， k=0, 1, 2, , n 11. 設(shè) X是 區(qū) 間 (0,1)中 的 隨 機(jī) 數(shù) , 試 確 定 滿 足 條 件 0aa=PaXp2; (C) p1u= , 若 P|X|x=, 則 x等 于 . (A) u/2; (B) u1 /2; (C) u(1 )/2; (D) u1 . 解 P|X|x=1 PXx=1 2PXx 所 以 , PXx=(1 )/2. 于 是 , x=u (1 )/2 .

24、 故 , 應(yīng) 選 (C). 第 二 章 習(xí) 題 2.4(第 65頁(yè) ) 解 定 義 式 為 : F(x)=PX x. 1. 寫 出 分 布 函 數(shù) 的 定 義 式 以 及 離 散 與 連 續(xù) 兩 種 類 型 隨機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 計(jì) 算 公 式 . xx ixx i ii pxXPxF )( 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 : 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 : x dxxfxF )()( 2. 寫 出 習(xí) 題 2.2第 3題 中 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) . 解 由 于 X的 分 布 律 為 : x1時(shí) , F(x)=0; 7/17/27/4 321X 1 x2時(shí) , F(x)

25、=PX x=PX=1=4/7; 2 x3時(shí) , F(x)=PX x=PX=1+PX=2=6/7; x 3時(shí) , F(x)=PX x=PX=1+PX=2+PX=3=1. 即 3,1 32,7/6 21,7/4 1,0)( x xxxxF (2) x1時(shí) , F(x)= A Axdxdxxf 0 2 12)( 1,1 10, 0,0)( 2 x xx xxF 10 12)( xdxdxxf即 7. 求 與 密 度 函 數(shù) 對(duì) 應(yīng) 的 分 布 函 數(shù) . 2,0 20,25.0 0,5.0)( x xxexf x 0 x2時(shí) , F(x)= 解 xa=1 PX a=1 F(a) (A) F( a)=

26、1 ; (B) F( a)=1/2 ;a dxx0 )( a dxx0 )( aaa tx dttdttdxxaF )()()()( 可 見 , (C), (D)都 不 對(duì) . 取 a=0可 得 : F(0)=1/2. 于 是 , aa a dxxaFdxxdxxdxx 000 )()()()()(2/1 所 以 , 應(yīng) 選 (B). 13. 設(shè) X1和 X2是 任 意 兩 個(gè) 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 , 它 們 的 密 度函 數(shù) 分 別 為 f1(x)和 f2(x), 分 布 函 數(shù) 分 別 為 F1(x)和 F2(x), 則 下列 選 項(xiàng) 正 確 的 是 . (A) f1(x)+f2(

27、x)必 為 某 一 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù) ; (A)中 有 , (C)中 F 1( )+F2( )=2. 解 (D)中 的 F(x) F1F2滿 足 : 0 F(x) 1, 單 調(diào) 不 減 , 右連 續(xù) , 且 F( )=0, F(+ )=1. 所 以 F(x)是 分 布 函 數(shù) . 選 D. (B) f1(x)f2(x)必 為 某 一 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù) ; (C) F1(x)+F2(x)必 為 某 一 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) ; (D) F1(x)F2(x)必 為 某 一 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) ; 2)()( 21 dxxfxf (B

28、)中 若 取 X1U(0,1), X2U(2,3), 則 f1(x)f2(x)=0. 第 二 章 章 末 習(xí) 題 2(第 72頁(yè) ) 18. 設(shè) X的 分 布 函 數(shù) 為 , 2,1 21,12/ 10, 0,)( 22 x xxCx xBx xAxF(1) 求 常 數(shù) A, B, C; (2) 求 PX1/2; (3) X是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量嗎 ？ 若 是 則 求 X的 密 度 函 數(shù) . 解 (1) 由 F( )=0得 A=0,由 F(2+)=F(2)得 C=2, 再 由F(1+)=F(1)得 B=1/2. (2) PX1/2=1 F(1/2)=1 1/8=7/8. 其它,0 2

29、1,2 10,)( xx xxxf由 于 F(x)是 連 續(xù) 函 數(shù) , 所 以 X是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 , 密 度 函 數(shù)為 : 19. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù) 為 , 3,1 30, 0,0)( 3 x xcx xxF若 PX 3 0.1, 求 常 數(shù) c. 這 時(shí) X是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 嗎 ？ 說(shuō)明 理 由 . 解 由 于 PX=3=F(3) F(3 ) 1 27c=0.1所 以 , c=1/30 . X不 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 . 下 列 任 何 理 由 都 可 說(shuō) 明 : F(x)在 x=3處 不 連 續(xù) ， PX=3=0.1 0.

30、1. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 分 布 為習(xí) 題 2.5(第 58頁(yè) )X 1 0 1 1.5P 0.1 0.2 0.3 0.4Y 3 1 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4 解 Y和 Z的 分 布 律 分 別 為 :求 隨 機(jī) 變 量 Y=2X 1和 Z=X2的 分 布 律 .Z 0 1 2.25P 0.2 0.4 0.4 FY(x)=PY x=PX x/2= 解 對(duì) 任 意 0 x2, 有 42)( 22/02/ xtdtdttf xx 3. 設(shè) X的 密 度 函 數(shù) 為 , 求 Y=2X,Z= X+1和 U=X2的 密 度 函 數(shù) . 其他,0 10,2)( xxxf

31、其它,0 20,2)( xxxfY所 以 , fY(x)= FY(x)=x/2. 即 Y的 密 度 函 數(shù) 為 : FZ(x)=PZ x=PX 1 x= 對(duì) 任 意 0 x1, 有 211 )1(12 xtdtx 所 以 , fZ(x)= FZ(x)=2(1 x). 即 Z的 密 度 為 : 其它,0 10,)1(2)( xxxfZ FU(x)=PU x=P x1/2 X x1/2= 對(duì) 任 意 0 x1, 有 xtdtx 0 2所 以 , fU(x)= FU(x)=1. 即 U的 密 度 函 數(shù) 為 : 其它,0 10,1)( xxf U 解 (1) FY(y)=PY y=pX3 y=PX

32、y1/3 3 )(y dxxf 5. (1) 設(shè) Xf(x), 求 Y=X3的 密 度 函 數(shù) ； (2) 設(shè) XE(), 求 Y=X3的 密 度 函 數(shù) ; (3) 設(shè) XE(1), 求 Y=eX的 密 度 函 數(shù) . 0,0 0,)(3 1)( 33 2 yyyfyyfY所 以 , Y的 密 度 函 數(shù) 為 : (2) 由 (1)得 , Y的 密 度 函 數(shù) 為 : 0,0 0,3)( 33 2 yyeyyf yY FY(y)=PY y=peX y=PX lnyydxey x 11ln0 (3) 對(duì) 任 意 y 1有 1,0 1,1)( 2 yyyyf Y所 以 , FY(y)=1/y2,

33、 于 是 Y的 密 度 函 數(shù) 為 : 解 (1) 對(duì) 任 意 1y0, 有 FY(y)=PY y=p 2lnX y=PX e y/2 1 222 11)( yy e ye X edxdxxf 00 0,21)( 2 yyeyf yY，所 以 , Y的 密 度 函 數(shù) 為 YE(1/2). (3) 對(duì) 任 意 1ye, 有 yy X ydxdxxf ln0ln ln1)( 其它，0 1,1)( eyyyf Y所 以 , Y的 密 度 函 數(shù) 為 FY(y)=PY y=peX y=PX lny 0,1 0,0 0,1 XXX 10. 設(shè) XU( 1, 2), 隨 機(jī) 變 量 Y= , 試 求 隨

34、機(jī) 變 量 Y的 分 布 律 . 解 Y只 能 取 1, 0, 1三 個(gè) 值 , Y的 分 布 律 為 : PY= 1=PX0=P 1X0=P0X2=2/3.或 寫 成 : Y 1 0 1P 1/3 0 2/3 11. 假 設(shè) 由 自 動(dòng) 線 加 工 的 某 種 零 件 的 內(nèi) 徑 (單 位 mm)服從 正 態(tài) 分 布 N(11, 1),內(nèi) 徑 小 于 10或 大 于 12的 為 不 合 格 品 , 其余 為 合 格 品 , 銷 售 每 件 合 格 品 獲 利 , 銷 售 每 件 不 合 格 品 則 虧損 . 已 知 銷 售 利 潤(rùn) Y(單 位 :元 )與 銷 售 零 件 的 內(nèi) 徑 X有 關(guān)

35、 系 : 12,5 1210,20 10,1 X XXY求 Y的 分 布 律 . PY= 1=PX12=1 (1)=0.1587 解 Y只 能 取 5, 1, 20三 個(gè) 值 , Y的 分 布 律 為 : 第 二 章 章 末 習(xí) 題 2(第 72頁(yè) ) 20. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 律 為 ： 求 X+2, X+1與 X2的 分 布 律 . 解 分 布 律 分 別 為 :X 2 0 1 1.5 3P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1X+2 0 2 3 3.5 5P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 X+1 2 0.5 0 1 3P 0.1 0.3 0.3 0.1 0

36、.2X 2 0 1 2.25 4 9P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 21. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X E(2), 證 明 : Y=1 e 2X U(0, 1). 證 明 對(duì) 任 意 0y1, 有 2 )1ln(0 22 )1ln( 2)( y xy X dxedxxf FY(y)=PY y=P1 e 2X y=P 2X ln(1 y) =PX ln(1 y)/2 yy )1(1所 以 ， Y的 密 度 函 數(shù) 為 : 其它,0 10,1)( yyfY即 , YU(0, 1). 解 F(y)=PY y=PlnX y=PX ey yee edxxdxxf yy arctan2)1( 2)

37、( 0 2 22. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X , 求 Y=lnX的密 度 函 數(shù) . 0,0 0,)1( 2)( 2 xxxxf .)1(2 2yyee所 以 , FY(y)=即 Y的 密 度 函 數(shù) 為 : yeeyf yyY ,)1(2)( 2 (A) 連 續(xù) 函 數(shù) ； (B) 至 少 有 兩 個(gè) 間 斷 點(diǎn) ； 24. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X E(5), 則 隨 機(jī) 變 量 Y=minX, 2的 分布 函 數(shù) 是 . (C) 階 躍 函 數(shù) ； (D) 恰 好 有 一 個(gè) 間 斷 點(diǎn) . 解 由 于 X2時(shí) Y=X, X 2時(shí) Y=2. 所 以 2,1 20,1 0,0)( 5 y ye

38、 yyF y Y可 見 , FY(y)不 是 階 躍 函 數(shù) , 也 不 連 續(xù) , 只 有 y=2一 個(gè) 間 斷 點(diǎn) .故 ， 應(yīng) 選 (D). 第 三 章 習(xí) 題 3.1(第 75頁(yè) ) 例 如 : 舉 出 幾 個(gè) 你 所 熟 悉 的 能 用 多 維 隨 機(jī) 變 量 來(lái) 描 述 的 社 會(huì)或 生 活 現(xiàn) 象 . 描 述 某 種 器 件 的 長(zhǎng) 度 H和 重 量 M; 描 述 某 學(xué) 生 各 科 考 試 的 成 績(jī) Xi; 描 述 平 面 上 隨 機(jī) 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) (X, Y)等 等 。 2. 袋 中 裝 有 1個(gè) 紅 球 , 2個(gè) 黑 球 與 3個(gè) 白 球 , 現(xiàn) 從 袋 中 取兩 次

39、, 每 次 取 一 個(gè) 球 , 以 X, Y, Z分 別 表 示 兩 次 取 球 所 取 得 的紅 球 , 黑 球 與 白 球 的 個(gè) 數(shù) . 若 每 次 取 出 的 球 (1)立 即 放 回 袋 中 ,再 取 下 一 個(gè) , 或 者 (2)不 再 放 回 袋 中 接 著 便 取 下 一 個(gè) , 就 這 兩種 取 球 方 式 , 寫 出 (X, Y)的 概 率 分 布 , 求 PX=1|Z=0.第 三 章 習(xí) 題 3.2(第 82頁(yè) )(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(2,0)P 解 X, Y, Z可 取 0, 1, 2. 且 X+Y+Z=2所 以 ， (X, Y)

40、的 分 布 律 為 : PX=1|Z=0=(2/15)/(3/15)=2/3(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)P 1/4 1/3 1/9 1/6 1/9 1/361/5 2/5 1/15 1/5 2/15(1)(2) PX=1|Z=0=(1/9)/(9/36)=4/9 解 X可 取 0, 1, 2, 3, Y可 取 1, 3. 且 Y=1對(duì) 應(yīng) X=1或 X=2, Y=3對(duì) 應(yīng) X=0或 X=3. 所 以 , (X,Y)的 分 布 律 為 : 3. 將 一 硬 幣 連 擲 三 次 , 以 X表 示 三 次 中 出 現(xiàn) 正 面 的 次 數(shù) ,以 Y表 示 三 次 中 出

41、 現(xiàn) 正 面 的 次 數(shù) 與 出 現(xiàn) 反 面 的 次 數(shù) 之 差 的 絕對(duì) 值 , 試 寫 出 X和 Y的 聯(lián) 合 分 布 律 . PX=0,Y=3=PX=0=1/8 PX=3,Y=3=PX=3=1/8 PX=1,Y=1=PX=1=3/8 PX=2,Y=1=PX=2=3/8 或 寫 成 : (X,Y) (0,3) (1,1) (2,1) (3,3)P 1/8 3/8 3/8 1/8 解 X, Y可 取 0, 1, 2, , 且 XY, 所 以 , (X,Y)的 分 布 律 為 : 5. 一 射 手 射 擊 命 中 目 標(biāo) 的 概 率 為 p(0p1=0 PX=1,Y= 1=P 11=1/4或

42、寫 成 : (X,Y) ( 1, 1) (1, 1) (1,1)P 1/4 1/2 1/4 Y X1 11 1/4 01 1/2 1/4 解 由 于 PX1X2=0=1, 所 以 9. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X1, X2的 分 布 律 為 : PX1= 1, X2=1=PX1=1, X2=1=0且 PX1X2=0=1, 求 X1和 X2的 聯(lián) 合 概 率 分 布 .又 由 于 , PX1= 1=PX1= 1,X2=0+PX1= 1,X2=1所 以 , PX1= 1, X2=0=PX1= 1=1/4 2/12/1 10,4/12/14/1 101 21 XX同 理 , PX1=1, X2=0=

43、PX1=1=1/4 PX1=0, X2=1=PX2=1=1/2 02/101 4/104/10 101 12 XX PX1=0, X2=0=PX2=0 PX1=0,X2=1=0, 即 解 由 于 PX=0=0.4, PX=1=0.6, 所 以 11. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X服 從 參 數(shù) 為 p=0.6的 0 1分 布 , 且 在X=0, X=1條 件 下 隨 機(jī) 變 量 Y的 條 件 分 布 律 為 : PX=0,Y=j=PY=j|X=0PX=0=0.4PY=j|X=0求 (X, Y)的 分 布 律 . PX=1,Y=j=PY=j|X=1PX=1=0.6PY=j|X=1所 以 , (X,

44、 Y)的 分 布 律 為 :Y|X=0 1 2 3P 1/4 1/2 1/4 Y|X=1 1 2 3P 1/2 1/6 1/3X Y 1 2 30 1/10 1/5 1/101 3/10 1/10 1/5 第 三 章 章 末 習(xí) 題 3(第 110頁(yè) ) 25/225/31 25/125/21 210 b aXY 3. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X與 Y的 聯(lián) 合 分 布 律 為且 PY=1|X=0=3/5, 求 常 數(shù) a, b的 值 . 解 由 于 PY=1|X=0=PX=0,Y=1/PX=0 =b/(2/25+b)=3/5所 以 , b=3/25.又 由 于 p ij=1, 所 以 ， a=1

45、4/25.即 ， a=14/25， b=3/25. 解 (1) (X, Y)的 邊 緣 分 布 律 分 別 為 : 7. 設(shè) 二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 (X, Y)的 分 布 律 為求 :(1)邊 緣 分 布 律 ; (2)在 X= 1, Y=2條 件 下 的 條 件 分 布 律 ; (3) PX Y, PX 0. Y X 1 2 3 4 1 0.20 0.03 0.21 0.100 0 0.08 0.11 0.091 0.07 0.11 0 018.028.054.0 101PX 19.032.022.027.0 4321PY (2) 在 X= 1, Y=2條 件 下 的 條 件

46、分 布 律 分 別 為 : PX 0=1 PX0=1 PX=1=1 0.18 0.82 Y X 1 2 3 4 1 0.20 0.03 0.21 0.100 0 0.08 0.11 0.091 0.07 0.11 0 0 18.028.054.0 101PX 19.032.022.027.0 4321PY (3) PX Y=1 PX=Y=1 0.07=0.93 21114223 1012|PYX 2751871812710 43211| PXY 8. 設(shè) X, Y為 兩 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 , 且 PX 0, Y 0=3/7, PX 0=PY 0=4/7, 求 Pmax(X, Y) 0. 解

47、Pmax(X,Y) 0=PX 0或 Y 0 =PX 0+PY 0 PX 0, Y 0 =4/7+4/7 3/7=5/7 1. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 (X, Y)的 密 度 函 數(shù) 為第 三 章 習(xí) 題 3.3(第 92頁(yè) ) 解 (1) 由 于所 以 ， a=21/4. 其它，0 1,),( 22 yxyaxyxf求 : (1) 常 數(shù) a; (2) PX0.5, PY0.5. 214)1(2),(1 11 4211 1 22 adxxxaydyxdxadxdyyxf x (2) PX0.5= 3936.0421 15.0 1 22 x ydyxdx PY0.5= 9116.0421 1 5.0

48、 2 yy ydxxdy 3. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 (X, Y) , 解 (1) 由 于所 以 ， c=1. 其它，0 0,),( xyceyxf x求 : (1) 常 數(shù) c; (2) PX 1|Y 1. cdxxecdyedxcdxdyyxf xx x 00 0),(1 (2) PX 1,Y 1= 10 110 0 21 edxxedyedx xx x PY 1= 10 110 1 edyedxedy yy x PX 1|Y 1= 418.0121 21 11 eeee 5. 設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 (X,Y)在 平 面 區(qū) 域 D上 服 從 均 勻 分 布 ,其 中 區(qū) 域 D由 曲

49、 線 y=1/x及 直 線 y=0, x=1, x=e2圍 成 , 寫 出(X,Y)的 密 度 函 數(shù) , 并 求 (X, Y)關(guān) 于 X的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 在 x=2的 值 . 解 由 于 區(qū) 域 D的 面 積 為所 以 ， (X, Y)的 密 度 函 數(shù) 為 : 2|ln/1 22 11 ee xdxxA Dx Dxyxf ,0 ,2/1),(X, Y)關(guān) 于 X的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 為 : 其它，0 1),2/(1),()( 2exxdyyxfxfX所 以 , fX(2)=1/4. 或 4/12/1),2()2( 2/10 dydyyffX 6. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 (X,

50、Y)在 區(qū) 域 D上 服 從 均 勻 分 布 , 其 中 D為x軸 , y軸 及 直 線 y=2x 1圍 成 的 三 角 形 區(qū) 域 , 求 條 件 密 度 函數(shù) fY|X(y|x). 解 由 于 區(qū) 域 D的 面 積 為 A=1/4. 所 以 (X,Y)的 密 度 函 數(shù) : Dx Dxyxf ,0,4),(X, Y)關(guān) 于 X的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 為 : 其它,0 02/1,484),()( 120 xxdydyyxfxf xX所 以 , 對(duì) 任 意 1/2x0, 條 件 密 度 函 數(shù) 為 : 其它，0 120,12 1)( ),()|(| xyxxf yxfxyf XXY Dyx

51、 Dyxyxf ),(,0 ),(,2/),( 1. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 (X, Y)在 區(qū) 域 D=(x,y)|x2+y2 1且 y 0內(nèi) 服 從 均 勻 分 布 , 在 三 次 重 復(fù) 獨(dú) 立 觀 察 中 事 件 X Y出 現(xiàn) 的次 數(shù) 為 Z, 試 求 PZ=2.第 三 章 章 末 習(xí) 題 3(第 110頁(yè) ) 解 由 于 D的 面 積 為 /2, 所 以 , (X,Y)的 密 度 函 數(shù) 為 : yx dxdyyxf 4/1),( p=PX Y=所 以 , ZB(3, p), 因 此 , PZ=2=C32p2(1 p) 3 (1/16) (3/4)=9/64 11. 已 知 隨 機(jī) 變

52、 量 (X,Y)的 密 度 函 數(shù) f(x,y)= , 求 (X,Y)的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 和 條 件 密 度 函 數(shù) . 解 (X,Y)的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 為 : )52(21 221 yxyxe dyeedyyxfxf xyxX 2 )5/(552 221),()( 可 見 , XN(0, 5/4), YN(0, 1/4). 52252 222 5251 xtx edtee dxeedxyxfyf yxyY 2 )(2 221),()( 222 222 21 yty edtee )51,41,45,0,0(),( NYX 所 以 , 對(duì) 任 意 的 y和 x, 條 件 密 度

53、 函 數(shù) 為 : )2(21| 2221)( ),()|( yxyxYX eyf yxfyxf 可 見 , X|Y=yN( y, 1), Y|X=xN( x/5, 5). xe yx ,21 2 )( 2 )5251(21| 2225)( ),()|( yxyxXXY exf yxfxyf ye yx ,25 10 )5( 2 1. 對(duì) 習(xí) 題 3.2的 第 1題 , 求 隨 機(jī) 變 量 (X, Y)的 分 布 函 數(shù) .第 三 章 習(xí) 題 3.4(第 96頁(yè) ) 解 由 習(xí) 題 3.2第 1題 知 , (X, Y)的 分 布 律 為 : 有 放 回 : 無(wú) 放 回 : 所 以 , 分 布 函

54、 數(shù) 分 別 為 : 3/13/13/1 )2,2()1,2()2,1(),( PYX9/49/29/29/1 )2,2()1,2()2,1()1,1(),( PYX 0, X1,或 Y1 1/9, 1 X2,1 Y2 1/3, 1 X2,Y 2,或 X 2,1 Y2 1, X 2, Y 2有 放 回 : F(x, y)= 0, x1,或 y1,或 x2, y2 1/3, 1 x2,y 2, 或 x 2, 1 Y0, y x時(shí) 有 ： F(x,y)=x0, 0y0, y x所 以 , (X,Y)的 分 布 函 數(shù) 為 : 其它，0 0,),( xyeyxf x xxx u uy x xeedv

55、duedudvvuf 1),( 0 0F(x,y)= 0 , x 0或 y 0 xyy x v u yeedudve 10 1 e y ye x , x0, 0y0.1,Y0.1求 :(1)(X,Y)的 邊 緣 分 布 函 數(shù) ; (2) X,Y皆 大 于 0.1的 概 率 . 0,0 0,1 5.0 xxe x 4. 已 知 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 X, Y的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為 其它，0 0,0,1),( )(5.05.05.0 yxeeeyxF yxyx FY(y)=F(+ , y)= 0,0 0,1 5.0 yye y =1 FX(0.1) FY(0.1)+F(0.1,0.

56、1)=e 0.1 =1 PX 0.1 PY 0.1 PX 0.1,Y 0.1 解而 Y=X2, F(x,y)為 隨 機(jī) 變 量 (X,Y)的 分 布 函 數(shù) ,求 F( 1/2,4). 5. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 密 度 函 數(shù) 為 其它，0 204/1 01,2/1)( xxxfX F( 1/2, 4)=PX 1/2, Y 4=P 2 X 1/24/12/1)( 2/112/12 dxdxxfX 證 明 因 為 1=F(0+,0)=F(0, 0+) F(0,0)=0 6. 證 明 還 是 F(x,y) 不 是 分 布 函 數(shù) . 0,0 0,1 yx yx即 F(x, y)在 點(diǎn) (0,

57、0)處 關(guān) 于 x, y都 不 是 右 連 續(xù) 的 , 所 以 F(x, y)不 是 分 布 函 數(shù) 。 1. 0F(x, y)1, x( ,+), y( ,+); 2. F(x, y)對(duì) 每 個(gè) 變 量 都 是 非 減 函 數(shù) ; 3. x( ,+)有 F(x, )=0, F( , )=0, y( ,+)有 F( ,y)=0, F(+ , + )=1. 4. F(x,y)關(guān) 于 x和 y都 右 連 續(xù) ， 即 ： F(x +, y)=F(x, y), F(x, y+)=F(x, y) Dyx Dyxyxf ),(,0 ),(,2/),( 2. 第 三 章 章 末 習(xí) 題 3(第 110頁(yè) )

58、 解 由 于 D的 面 積 為 /2, 所 以 , (X,Y)的 密 度 函 數(shù) 為 : yx dxdyyxf 4/1),( p=PX Y=所 以 , ZB(3, p), 因 此 , PZ=2=C32p2(1 p) 3 (1/16) (3/4)=9/64 3. 隨 機(jī) 變 量 X, Y相 互 獨(dú) 立 , X, Y的 分 布 律 為 :第 三 章 習(xí) 題 3.5(第 100頁(yè) )寫 出 (X,Y)的 分 布 律 , 并 求 PX+Y=1和 PXY=0.2/12/1 22PY 3/13/13/1 101PX PX=i,Y=j=PX=iPY=j=1/6, i= 1,0,1, j= 2, 2. PX+

59、Y=1=PX= 1, Y=2=1/6. PXY=0=PX=0,Y= 2+PX=0, Y=2=1/3. 解 因 為 X, Y相 互 獨(dú) 立 , 所 以 (X, Y)的 分 布 律 為 : 4. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X, Y相 互 獨(dú) 立 且 有 相 同 的 分 布 , X的 分 布律 為 :記 U=maxX, Y, V=minX, Y, 求 (U, V)的 分 布 律 . 3/13/2 21PX PU=1,V=1=PX=1PY=1=4/9, 解 顯 然 U, V只 能 取 1, 2, 且 U V, (U, V)的 分 布 律 為 : PU=2,V=1=PX=1PY=2+PX=2PY=1=4/9,

60、 PU=2,V=2=PX=2PY=2=1/9,或 寫 成 : 9/19/49/4 )2,2()1,2()1,1(),( PVU 9/19/42 09/41 21VU 5. 下 表 列 出 了 隨 機(jī) 變 量 X, Y的 聯(lián) 合 分 布 律 和 邊 緣 分 布律 中 的 部 分 數(shù) 值 , 如 果 X與 Y相 互 獨(dú) 立 , 試 在 表 中 的 空 白 處 填上 其 余 數(shù) 值 . 16/1 8/1 8/1 21 321Y XPxx PyyyYX 解 由 邊 緣 分 布 的 概 念 有 ： 又 由 于 X,Y相 互 獨(dú) 立 ， 所 以 1/24 3/4 1/4 1/2 3/8 1/12 1/4

61、1/3 解 由 于 事 件 X=0與 X+Y=1相 互 獨(dú) 立 , 所 以 X=0與X+Y 也 相 互 獨(dú) 立 . 又 由 于 7. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X, Y的 概 率 分 布 為 :且 事 件 X=0與 X+Y=1相 互 獨(dú) 立 , 求 常 數(shù) a, b. 1.01 4.00 10 b aYX PX=0=0.4+a, PX Y=1 a+b, PX+Y 1=0.5 PX=0且 X+Y=1=a, PX=0, X Y 1=0.4所 以 , (0.4+a)(a+b)=a, (0.4+a) 0.5=0.4因 此 , a=0.4, b=0.1.也 可 以 由 X 0與 X+Y 1獨(dú) 立 得 : (b

62、+0.1) 0.5=0.1 解 易 得 : 8. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X和 Y的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為 :求 X和 Y的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) F(x, y)及 P0X0.5, 0Y 0.5. 其它,0 10,10,4),( yxxyyxf所 以 , X和 Y相 互 獨(dú) 立 , 所 以 P=FX(0.5) FX(0)FY(0.5) FY(0) 0.0625 其它其它,0 10,2)(,0 10,2)( yyyfxxxf YX 其它,0 1,1,1 10,1, 1,10, 10,10,)()(),( 22 22 yx yxy yxx yxyxyFxFyxF YX 也 可 以 不 用

63、獨(dú) 立 性 , 直 接 按 定 義 計(jì) 算 :x0或 y1時(shí) , 210 0 4),( yuvdvduyxF y x1, 0 y 1時(shí) , 14),( 10 10 uvdvduyxFX1, y1時(shí) , 0625.04 5.00 5.00 xydxdy P0X0.5, 0Y0.5 解 (1)由 已 知 : 12. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X和 Y相 互 獨(dú) 立 , X U(0, 0.2), YE(5), (1) 寫 成 (X, Y)的 密 度 函 數(shù) ; (2) 求 PYX.又 由 于 X和 Y相 互 獨(dú) 立 , 所 以 (X, Y)的 密 度 函 數(shù) 為 : (2) PYX=P0YX45=PX1=

64、12PX2=15PX3=19=0.001. PX1+X2+X3 45=PX1=10PX2=13PX3=17=0.006. 所 以 , 進(jìn) 貨 45件 不 夠 賣 的 概 率 為 0.001, 進(jìn) 貨 40件 夠 賣的 概 率 為 0.006。 其它，0 20,10,3/),( 2 yxxyxyxf 12. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 (X, Y) 的 概 率 密 度 為求 : (1) PX+Y 1; (2) 邊 緣 密 度 函 數(shù) 與 條 件 密 度 函 數(shù) ; (3) 判 斷 X, Y的 獨(dú) 立 性 . 解 (1) PX+Y 1= 1 ),(yx dxdyyxf dyxyxdx x )3(10 21

65、 2 x0 1y12 D 10 22 )1(46)1( dxxxxx =1/3+1/4 1/4 1/9 1/24 65/72 (2) fX(x)= dyyxf ),( 10,322)3( 220 2 xxxdyxyx 其它，其它，0 20,631)(,0 10,322)( 2 yyyfxxxxf YX 對(duì) 任 意 0 x 1, 有即 ： fY(y)= dxyxf ),( 20,631)3(10 2 yydxxyx fY|X(y|x) 20,263)( ),( yx yxxf yxf X即 , 其它，0 20,263)|(| yx yxxyf XY類 似 地 , 對(duì) 任 意 0 y 2有 : 其

66、它，0 10,2 26)|( 2| xyxyxyxf YX (3) 顯 然 有 : f(x,y) fX(x)fY(y)所 以 X,Y不 獨(dú) 立 . 證 明 由 已 知 : 15. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X1,X2相 互 獨(dú) 立 , X1 B(n1, p),X2B(n2,p), 證 明 X1+X2B(n1+n2, p).所 以 , X1+X2可 取 0,1,n1+n2, 而 且 11 ,.,1,0,)1( 11 nkppCkXP knkkn 22 ,.,1,0,)1( 22 nkppCkXP knkkn ki ikXPiXPkXXP 0 2121 k minn1, n2時(shí) , iknikikniniki in ppCppC 2211 )1()1(0 knnkk nniknki inknnk ppCCCpp 21212121 )1()1( 0 10 2121 ni ikXPiXPkXXPn1 kn2時(shí) , (n2 kmaxn1, n2時(shí) , iknikikninin kni in ppCppC 22112 1 )1()1( knnkk nniknn kni inknnk ppCCCpp 21