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1、4.1.2圓 的 一 般 方 程 222 )()( rbyax 圓 心 C(a,b),半 徑 r圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 復(fù) 習(xí) xyO C(a,b) Ar x2 y 2 Dx Ey F 0 把 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 （ x-a)2+(y-b)2=r2 展 開 ， 得2 2222 2 02 rbabyaxyx由 于 a, b, r均 為 常 數(shù) FrbaEbDa 222,2,2令結(jié) 論 ： 任 何 一 個 圓 方 程 可 以 寫 成 下 面 形 式 動 動 手 結(jié) 論 ： 任 何 一 個 圓 方 程 可 以 寫 成 下 面 形 式 x2 y 2 Dx Ey F 0問 ： 是 不 是 任 何 一
2、 個 形 如 x2 y 2 Dx Ey F 0 方 程 表 示 的 曲 線 是 圓 呢 ？ 結(jié) 論 配 方 可 得 ：把 方 程 ： x2 y 2 Dx Ey F 0 (1) 當(dāng) D2+E2-4F0時 ,表 示 以 （ ） 為 圓 心 ， 以 ( ) 為 半 徑 的 圓 .2,2 ED FED 421 22 2 22 2 4( ) ( )2 2 4D E D E Fx y (2) 當(dāng) D2+E2-4F=0時 ,方 程 只 有 一 組 解 x=-D/2 y=-E/2， 表 示 一 個 點 （ ） .2,2 ED 動 動 腦(3) 當(dāng) D2+E2-4F 0時 ,方 程 無 實 數(shù) 解 ,所以 不
3、表 示 任 何 圖 形 . 圓 的 一 般 方 程 ：x2 y 2 Dx Ey F 0 (D2+E2-4F0)2.沒 有 xy這 樣 的 二 次 項一 般 方 程 的 特 點 ：1.x2與 y2系 數(shù) 相 同 并 且 不 等 于 0；3.D2+E2-4F0 判 斷 下 列 方 程 能 否 表 示 圓 的 方 程 ,若 能 寫出 圓 心 與 半 徑(3) x2+y2-2x+4y-4=0(5) 2x2+2y2-12x+4y=0(1) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(2) x2+y2-3xy+5x+2y=0是 圓 心 （ 1， -2） 半 徑 3是 圓 心
4、 （ 3， -1） 半 徑 10不 是不 是不 是 練 習(xí) 例 1 求 過 點 的 圓 的 方 程 ， 并 求 出這 個 圓 的 半 徑 和 圓 心 坐 標(biāo) . )2,4(),1,1(),0,0( NMO解 : 設(shè) 所 求 圓 的 方 程 為2 2 0 x y Dx Ey F 其 中 D,E,F待 定 .由 題 意 得 0 2 0 ,4 2 20 0FD E FD E F 解 得 86 .0DEF 于 是 所 求 圓 的 方 程 為 2 2 8 6 0.x y x y 將 這 個 方 程 配 方 ， 得 .25)3()4( 22 yx故 所 求 圓 的 圓 心 坐 標(biāo) 是 半 徑 為 ),3,
5、4( .58, 6, 0,D E F 2 214, 3, 4 5,2 2 2D E D E F 典 例 精 析 xy oM N (1)依 題 意 選 擇 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 或 一 般 方 程 (2)根 據(jù) 條 件 列 出 關(guān) 于 a,b,r或 D,E,F的 方 程 組 (3)解 出 a,b,r或 D,E,F， 代 入 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 或 一 般 方 程求 圓 的 方 程 常 用 “ 待 定 系 數(shù) 法 ” ， 用 “ 待 定 系 數(shù) 法 ” 求 圓的 方 程 的 步 驟 是 ：例 題 小 結(jié) ： 變 式 訓(xùn) 練 1 求 經(jīng) 過 三 點 （ 0,0） ， （ 2， -2） ， （ 4,0） 的 圓
6、 的方 程解 設(shè) 所 求 圓 的 方 程 是 x2+y2+Dx+Ey+F=0由 題 意 得 ： 02 016 4 08+2 - ,+ FD E FD F 解 得 400 .DEF 于 是 所 求 圓 的 方 程 為 : x2+y2-4x=0 例 2、 如 下 圖 ， 已 知 線 段 AB的 端 點 B的 坐 標(biāo) 是 (4,3),端 點 A在 圓 (x+1)2+y2=4上 運 動 ， 求 線 段 AB的 中 點 M的 軌 跡 方 程 . xy解 設(shè) 點 M的 坐 標(biāo) 是 (x,y),點 A的 坐 標(biāo) 是 (x0,y0),由 于點 B的 坐 標(biāo) 是 (4,3),且 點 M是 AB的 中 點 ,所
7、以0 0 0 04 3, ,2 22 4, 2 3x yx yx x y y 于 是 有因 為 點 A在 圓 (x+1)2+y2=4上 運 動 ， 所 以 點A的 坐 標(biāo) 滿 足 方 程 (x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4 把 代 入 ， 得 2 22 4 1 2 3 4,x y 2 23 1,2y 3整 理 ， 得 線 段 AB的 中 點 M的 軌 跡 方 程 是 x-2 例 2動 畫如 果 軌 跡 動 點 M(x,y)依 賴于 另 一 動 點 A(x0,y0),而A(x0,y0)又 在 某 已 知 曲 線上 ,則 可 先 列 出 關(guān) 于 x,y, x0,y0的 方 程 組
8、 ,利 用 x,y表示 出 x0,y0把 x0,y0代 入 已知 曲 線 方 程 便 得 動 點 M的軌 跡 方 程 .這 種 求 軌 跡 方程 的 方 法 叫 “ 相 關(guān) 點法 ” 。 P M A xoy變 式 訓(xùn) 練 2 動 畫 演 示答 案 : (x-6)2+y2=4 1. 圓 的 一 般 方 程 的 定 義 及 特 點3. 用 待 定 系 數(shù) 法 ， 求 圓 的 一 般 方 程 04 022 22 FED FEyDxyx 配 方 展 開2. 圓 的 一 般 方 程 與 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 聯(lián) 系一 般 方 程 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 (圓 心 ,半 徑 ) 課 堂 小 結(jié)4. 用 相 關(guān) 點 法 ， 求 點 的 軌 跡 方 程 達 標(biāo) 檢 測1.求 下 列 各 方 程 表 示 的 圓 的 圓 心 坐 標(biāo) 和 半 徑 長 ：（ 1） x2+y2-6x=0 (2) x2+y2+2by=0（ 3） x2+y2-2ax-2 ay+3a2=02.判 斷 下 列 方 程 分 別 表 示 什 么 圖 形 ：（ 1） x 2+y2=0 (2) x2+y2-2x+4y-6=0 (3) x2+y2+2ax-b2=03 作 業(yè) :課 本 P124 必 做 A組 1,2題 選 做 B組 1題
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