概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第章

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第章》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第章（75頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 二 章 隨 機(jī) 變 量 與 概 率 分 布 1 隨 機(jī) 變 量 2 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 分 布 3 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 4 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 5 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 1 隨 機(jī) 變 量 1、 有 些 試 驗(yàn) 結(jié) 果 本 身 與 數(shù)值 有 關(guān) （ 本 身 就 是 一 個(gè) 數(shù) ） . 例 如 :擲 一 顆 骰 子 面 上 出 現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù) ；七 月 份 鄭 州 的 最 高 溫 度 ； 每 天 從 北 京 下 火 車 的 人 數(shù) ；昆 蟲 的 產(chǎn) 卵 數(shù) ； 2、 在 有 些 試 驗(yàn) 中 ， 試 驗(yàn) 結(jié) 果 看

2、來 與 數(shù) 值 無關(guān) ， 但 我 們 可 以 引 進(jìn) 一 個(gè) 變 量 來 表 示 它 的 各種 結(jié) 果 .也 就 是 說 ， 把 試 驗(yàn) 結(jié) 果 數(shù) 值 化 . 正 如 裁 判 員 在 運(yùn) 動(dòng)場(chǎng) 上 不 叫 運(yùn) 動(dòng) 員 的名 字 而 叫 號(hào) 碼 一 樣 ，二 者 建 立 了 一 種 對(duì)應(yīng) 關(guān) 系 . 在 擲 硬 幣 試 驗(yàn) E1中 ,引 入 變 量 ： X 1 出 正 面0 出 反 面在 摸 球 試 驗(yàn) E3中 ,引 入 變 量 ： Y為 取 出 的 白 球 數(shù) . 1.定 義 :隨 機(jī) 試 驗(yàn) E的 樣 本空 間 為 S e,若 對(duì) 于 每 個(gè)eS, 有 唯 一 實(shí) 數(shù) X(e)與 之 對(duì)應(yīng)

3、 ,這 樣 就 得 到 一 個(gè) 定 義 在 S上 的 實(shí) 的 單 值 函 數(shù) X(e),稱 其為 ： 隨 機(jī) 變 量 . Se1 e 2 e3e4X(e1) X(e2) X(e3)X(e4) 隨 機(jī) 變 量 所 取 值 一 般用 小 寫 字 母 x,y,z等 表 示 .隨 機(jī) 變 量 通 常 用 大寫 字 母 X,Y,Z或 希 臘 字母 、 、 等 表 示 引 入 隨 機(jī) 變 量 ， 使 得 現(xiàn) 代數(shù) 學(xué) 工 具 進(jìn) 入 概 率 統(tǒng) 計(jì) 。 從 而使 概 率 統(tǒng) 計(jì) 有 了 飛 速 發(fā) 展 。 例 1. 設(shè) 盒 中 有 其 中 2白 、 3黑 5個(gè) 球 , 從 中 隨便 抽 取 3個(gè) 球 ,

4、則 “ 抽 得 的 白 球 數(shù) ” X是 個(gè) 隨機(jī) 變 量 . “ 抽 得 的 黑 球 數(shù) ” Y也 是 隨 機(jī) 變 量 。事 件 ： 取 到 2白 、 1黑 X=2=Y=13. 用 隨 機(jī) 變 量 取 值 表 示 事 件 ：2. 隨 機(jī) 變 量 與 一 般 函 數(shù) 的 區(qū) 別 函 數(shù) 定 義 域 隨 機(jī) 性 概 率一 般 函 數(shù) 實(shí) 數(shù) 軸 某 個(gè) 范 圍 無 無隨 機(jī) 變 量 樣 本 空 間不 一 定 是 實(shí) 數(shù) 集 有 取 每 個(gè) 值 都有 確 定 的 概 率 三 、 隨 機(jī) 變 量 的 分 類 通 常 分 為 兩 類 ： 如 “ 取 到 次 品 的 個(gè) 數(shù) ” ， “ 收 到 的 呼

5、叫 數(shù) ” 等 .隨機(jī)變量 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量所 有 取 值 可 以 逐個(gè) 一 一 列 舉 例 如 ， “ 電 視 機(jī) 的 壽 命 ” ， 實(shí) 際 中 常 遇 到的 “ 測(cè) 量 誤 差 ” 等 . 全 部 可 能 取 值 不 僅無 窮 多 ， 而 且 還 不 能一 一 列 舉 ， 而 是 充 滿滿 一 個(gè) 或 幾 個(gè) 區(qū) 間 .非 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 非 離 散 型 非 連 續(xù) 型 2.離 散 型 隨 機(jī) 變 量 及 其 概 率 分 布這 樣 ， 我 們 就 掌 握 了 X這 個(gè)隨 機(jī) 變 量 取 值 的 概 率 規(guī) 律 .從 中 任 取 3 個(gè) 球

6、取 到 的 白 球 數(shù) X是 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量X可 能 取 的 值 是 0,1,2取 每 個(gè) 值 的 概 率 為 ： 101)0( 3533 CCXP 106)1( 35 1223 CCCXP 103)2( 35 2213 CCCXP例 1且 31 1i iXP )( 其 中 (k=1,2, ) 滿 足 ：kp ,0kp k=1,2, （ 1） k kp 1（ 2） 定 義 1 ： 設(shè) xk(k=1,2, )是 離 散 型 隨 機(jī)變 量 X所 取 的 一 切 可 能 值 ， 稱 k=1,2, ,)( kk pxXP 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 函 數(shù) 或 分 布律 ，

7、也 稱 概 率 分 布 . 這 兩 條 性 質(zhì) 判斷 某 函 數(shù) 是 否是 概 率 分 布一 .離 散 型 隨 機(jī) 變 量 概 率 分 布 定 義 二 、 表 示 方 法（ 1） 列 表 法 ：（ 2） 圖 示 法（ 3） 公 式 法 103106101 210X 2,1,0,)( 35 233 kCCCkXP kk 再 看 例 1任 取 3 個(gè) 球X為 取 到 的 白 球 數(shù)X可 能 取 的 值 是 0,1,20.10.30.6 kPK0 1 2 例 2. 汽 車 通 過 4盞 信 號(hào) 燈 才 能 到 達(dá) 目 的 地 ，設(shè) 汽 車 在 每 盞 信 號(hào) 燈 處 通 過 的 概 率 為 0.6求

8、 ：(1). 汽 車 首 次 停 車 通 過 的 信 號(hào) 燈 數(shù) X的 概 率 分 布 。(2). 半 路 停 車 次 數(shù) Y的 概 率 分 布 。(3). 半 路 最 多 停 一 次 車 的 概 率 。PX k= (0.6)k 0.4； k=0、 1、 2、 3。 (0.6) k ； k=4 解 ： X的 概 率 分 布 ： Y的 概 率 分 布 ： kkkC44 )6.0()4.0( k=0、 1、 2、 3、 4。PY=k=P半 路 最 多 停 一 次 車 =PY1 PY=0+PY=1=(0.6)4 + 3114 )6.0()4.0(C2. 幾 個(gè) 常 見 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的

9、 概 率 分 布(1). 二 項(xiàng) 分 布若 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 分 布 為 ： n21kqpCkXP knkkn 、 0 則 稱 X服 從 參 數(shù) 為 n、 p的 二 項(xiàng) 分 布 .其 中 q=1 p記 為 : X b(n、 p) 實(shí) 例 ： 一 批 產(chǎn) 品 中 次 品 率 為 p， 有 放 回 取 n次 ， 每 次 取 1個(gè) ， 取 出 的 次 品 數(shù) X b(n, p). 背 景 ： 只 有 兩 個(gè) 可 能 結(jié) 果 的 試 驗(yàn) 稱 為 Bernoulli試 驗(yàn) . 其 樣 本 空 間 為 S A、 A； 0PA=p0。則 對(duì) 任 一 非 負(fù) 整 數(shù) k有 ： knnknknn q

10、pCmli !kk 其 中 ： npn. 例 3. 某 人 打 靶 命 中 率 為 0.001, 重 復(fù) 射 擊5000次 ， 求 至 少 命 中 2次 的 概 率 。解 ： 設(shè) X為 至 命 中 次 數(shù) 。P(X2) =1 P(X2) =1 P(X=0) P(X=1) 1 (1 0.001)5000 1500015000 )001.01(001.0 C0.9598用 Poissn定 理 ： 其 中 np=5000 0.001=5P(X 2) =1 P(X20=PX=30+PX=40=0.6解 因 代 營(yíng) 業(yè) 務(wù) 得 到 的 收 入 大于 當(dāng) 天 的 額 外 支 出 費(fèi) 用 的 概 率 為 ：

11、P3X60 即 PX20 3 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù)1.分 布 函 數(shù) 定 義 : F(x)=PX x， (- x +) 為 X的 分 布 函 數(shù) . x設(shè) X是 隨 機(jī) 變 量 , 稱 函 數(shù) ：對(duì) 于 任 意 兩 點(diǎn) x1、 x2 :P(x 1 X x2)=F(x2) F(x1) 分 布 函 數(shù) 的 性質(zhì)(1) F(x) 非 降 ， 即 若 x1x2， 則 F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 xlim(3) F(x) 右 連 續(xù) ， 即 )()(lim 00 xFxFxx 如 果 一 個(gè) 函 數(shù) 具 有 上 述 性 質(zhì) ， 則 一 定是 某 個(gè) r

12、.v X 的 分 布 函 數(shù) . 也 就 是 說 ，性 質(zhì) (1)-(3)是 鑒 別 一 個(gè) 函 數(shù) 是 否 是 某r.v的 分 布 函 數(shù) 的 充 分 必 要 條 件 .F( ) = F(x) = 1xlim 例 4. 3個(gè) 人 抓 鬮 決 定 取 一 物 。 第 X人 抓 到 有 物之 鬮 。 求 X的 概 率 分 布 及 其 分 布 函 數(shù) 。解 ： PX=1=1/3PX=2=2/3 1/2=1/3PX=3=2/3 1/2 1/1=1/3X的 概 率 分 布 :X的 分 布 函 數(shù) :F(x)= 0 x 11/3 1 x 22/3 2 x 31 3 x 1 2 312/ 31/ 3 XY

13、 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為 跳 躍 函 數(shù) ， 在 xi處 的 跳 躍 高 度 恰 為 PX= xi.0 4. 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 1. 定 義 ： 對(duì) 于 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 F(x)，如 果 存 在 非 負(fù) 函 數(shù) f(x),使 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù) x有 ：dttfxF x )()(則 稱 X為 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ； 稱 f(x)為 X的 概 率密 度 函 數(shù) 。 簡(jiǎn) 稱 密 度 函 數(shù) 。密 度 函 數(shù) 的 性 質(zhì) ：(1). f(x)0; 1)().2( dxxf f (x) xo 面 積 為 1 (4)

14、. 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 X對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù) a, PX=a=0 21 1221 21 )( )()().3( xxdxxf xFxFxXxP xx x1 x2f(x)xF(x) Px11解 : (1)由 分 布 函 數(shù) 性 質(zhì) ： F( )=0, F(+)=1 12)arctan(lim 02)arctan(lim baxba baxbaxx 得 ：解 得 ： a=1/2 b=1/ X的 密 度 為 : f(x) = F(x) = 1 (1+ x2 ) (-x1=1 P 1X 1 1 F(1) F( 1) 1/ 2例 6. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 密 度 函 數(shù) 為 ：f(x)

15、 = k 3x x00 x0求 ： k=? PX0.1=? X的 分 布 函 數(shù) 。 解 (1). 1)( dxxf 0 3 1dxk x解 得 ： k=3 f(x) = 3 3x x00 x0 1.0 331.0).2( dxXP x 0.7408(3). x dxxfxF )()(當(dāng) x0 時(shí) ： F(x)=0當(dāng) x 0時(shí) ： xx xdxdxxF 30 30 130)( F(x)= 1 3x x00 x0 （ 1） 若 r.vX的 概 率 密 度 為 ：則 稱 X服 從 區(qū) 間 ( a, b)上 的 均 勻 分 布 ， 記 作 ：X U(a, b) 背 景 ： r.v X 在 區(qū) 間 (

16、a, b) 上 取 值 ， 并 且 在(a, b)中 任 意 小 區(qū) 間 G取 值 的 概 率 僅 與 G的 長(zhǎng) 度 成正 比 ,與 G的 位 置 無 關(guān) .則 X 服 從 (a,b)上 均 勻 分 布 . 其 它,0 ,1)( bxaabxf2. 幾 個(gè) 常 見 的 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 )(xf ba 例 7. 某 人 睡 醒 后 ， 發(fā) 現(xiàn) 表 停 了 。 打 開 收 音機(jī) 對(duì) 表 (假 設(shè) 收 音 機(jī) 只 正 點(diǎn) 報(bào) 時(shí) )。 求 他 等 待 時(shí)間 不 超 過 10分 鐘 的 概 率 。解 ： 設(shè) X為 他 等 待 的 時(shí) 間 ，X的 密 度 函 數(shù) 為 ： 0 x0)的 概 率

17、 ； 已 知該 器 件 已 使 用 t (t 0)年 ， 求 再 使 用 a年 的 概 率 。X的 密 度 函 數(shù) 為 ：解 ： PXa= a xdx = a x x00 x0f(x)=PXa+t / Xt= PXa+t且 XtPXtPXa+tPXt= = a 兩概率相同此性質(zhì)稱為無記憶性 (3)、 正 態(tài) 分 布 的 定 義 及 圖 形 特 點(diǎn)若 r.v X的 概 率 密 度 為 ),( 2NX記 作 f (x)所 確 定 的 曲 線 叫 作 正 態(tài) 曲 線 . xexf x ,21)( 2 22 )( 其 中 和 都 是 常 數(shù) ， 任 意 ， 0，則 稱 X服 從 參 數(shù) 為 和 的 正

18、 態(tài) 分 布 . 2 2 正 態(tài) 分 布 的 密 度 函 數(shù) 圖 形 特 點(diǎn)),( 2N (1)正 態(tài) 分 布 的 密 度 曲 線是 一 條 關(guān) 于 對(duì) 稱 的 鐘 形曲 線 . (2).當(dāng) x 時(shí) ， 以 X軸 為 漸 近 線 .(3).在 x=處 取 最 大 值 。(4). 越 大 越 平 緩 ， 越 小 越 陡 峭 。 決 定 了 圖 形 的 中 心 位 置 ， 決 定 了 圖 形中 峰 的 陡 峭 程 度 . 正 態(tài) 分 布 的 圖 形 特 點(diǎn)),( 2N 設(shè) X ,),( 2N X的 分 布 函 數(shù) 是 xdtexF x t ,)( )( 2 2221 dtex x t 2221)(

19、 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布1,0 的 正 態(tài) 分 布 稱 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 . xex x ,21)( 2 2其 密 度 函 數(shù) 和 分 布 函 數(shù) 常 用 和 表 示 ：)(x )(x)(x )(x ),( 2NX XY,則 N(0,1) 設(shè)定 理 1： 書 末 的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 數(shù) 值 表 ， 可 解 決正 態(tài) 分 布 的 概 率 計(jì) 算 . )(1)( xx dtex x t 2221)( 表 中 給 的 是 x0時(shí) , (x)的 值 .x x ),( 2NX若 XY N(0,1) 若 X N(0,1), )( bYaP)( bXaP )()()( abbXaP

20、 )()( ab 例 9.設(shè) 電 源 電 壓 U N(220, 625) (單 位 :V)，通 常 有 3種 狀 態(tài) ； .不 超 過 200V； .在 200 240之 間 ； . 超 過 240V。 在 上 述 3狀 態(tài) , 某 電 子 元 件損 壞 的 概 率 分 別 為 0.1， 0.001， 0.2。 求 :(1).元 件 損 壞 的 概 率 。(2).在 元 件 損 壞 情 況 下 ， 分 析 電 壓 所 處 狀 態(tài) 。 U N(220, 625) PA 1=( 200 22025 ) =0.2119=1 (0.8)考 慮 到 對(duì) 稱 性 PA3= PA1= 0.2119 解 ：

21、設(shè) Ai為 電 壓 處 在 i狀 態(tài) 。 i=1, 2, 3 設(shè) B為 元 件 損 壞 ； P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)= 0.2119 0.1+0.5762 0.001+0.2119 0.2 0.0642PA1 /B= P(A1)P(B/A1)P(B) 0.330類 似 ： PA2 / B 0.009; PA2 / B 0.660 所 以 電 器 損 壞 時(shí) , 電 壓 處 在 高 壓 狀 態(tài) 可 能 性 最大 , 而 處 在 (200240)可 能 性 很 小 , 幾 乎 是 不 會(huì) 的 。PA2=1 2 0.2119=0.5762

22、 例 10. 某 大 型 設(shè) 備 在 t時(shí) 間 內(nèi) 發(fā) 生 故 障 次數(shù) N(t) 服 從 參 數(shù) 為 t的 Poisson分 布 ， T表 示相 鄰 兩 次 故 障 之 間 的 時(shí) 間 間 隔 ； 求 ： (1).T的 密 度 函 數(shù) 。 (2).1次 故 障 修 復(fù) 后 無 故 障 運(yùn) 行8小 時(shí) 的 概 率 。 (3).設(shè) 備 已 無 故 障 工 作 t0小 時(shí) ，再 無 故 障 工 作 8小 時(shí) 的 概 率 。 解 ： (1)先 求 T的 分 布 函 數(shù) 。當(dāng) t0時(shí) ： F(t)=PTt=0當(dāng) t0時(shí) ： F(t) =PTt = 1 t=1 PN(t)=0 =F(t)= 1 t t0

23、0 tt t t00 t8=1 F(8)= 8 (3). 根 據(jù) 指 數(shù) 分 布 無 記 憶 性 ： PTt 0+8 / Tt0= 8 例 2 公 共 汽 車 車 門 的 高 度 是 按 男 子 與 車 門頂 頭 碰 頭 機(jī) 會(huì) 在 0.01以 下 來 設(shè) 計(jì) 的 .設(shè) 男 子身 高 X N(170,62),問 車 門 高 度 應(yīng) 如 何 確 定 ? 解 : 設(shè) 車 門 高 度 為 h cm,按 設(shè) 計(jì) 要 求P(X h) 0.01 或 P(X h) 0.99下 面 我 們 來 求 滿 足 上 式 的 最 小 的 h.再 看 一 個(gè) 應(yīng) 用 正 態(tài) 分 布 的 例 子 : 因 為 X N(17

24、0,62), )1,0(6170 NX )6170( h 故 P(X0.996170h所 以 =2.33,即 h=170+13.98 184 設(shè) 計(jì) 車 門 高 度 為184厘 米 時(shí) ， 可 使男 子 與 車 門 碰 頭機(jī) 會(huì) 不 超 過 0.01.P(X h ) 0.99求 滿 足 的 最 小 的 h . 由 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 查 表 計(jì) 算 可 以 求 得 ，這 說 明 ， X的 取 值 幾 乎 全 部 集 中 在 -3,3區(qū) 間內(nèi) ， 超 出 這 個(gè) 范 圍 的 可 能 性 僅 占 不 到 0.3%.當(dāng) X N(0,1)時(shí) ，P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P

25、(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.99743 準(zhǔn) 則 將 上 述 結(jié) 論 推 廣 到 一 般 的 正 態(tài) 分 布 ,),( 2NY 時(shí) ， 6826.0)|(| YP 9544.0)2|(| YP 9974.0)3|(| YP可 以 認(rèn) 為 ， Y 的 取 值 幾 乎 全 部 集 中 在3,3 區(qū) 間 內(nèi) . 這 在 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 上 稱 作 “ 3 準(zhǔn) 則 ” （ 三 倍 標(biāo) 準(zhǔn) 差 原 則 ） . 解 ： 當(dāng) X 取 值 1， 2， 5 時(shí) ， Y 取 對(duì) 應(yīng) 值 5， 7， 13，例 1 設(shè) X 3.055.02.0 21求 Y= 2X +

26、 3 的 概 率 函 數(shù) . 30135020 75 .Y而 且 X取 某 值 與 Y取 其 對(duì) 應(yīng) 值 是 兩 個(gè) 同 時(shí) 發(fā) 生的 事 件 ， 兩 者 具 有 相 同 的 概 率 .故 5 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布1.離 散 型 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 如 果 g(xk)中 有 一 些 相 同 ,把 它 們 適 當(dāng) 并 項(xiàng) 即 可 .一 般 ， 若 X是 離 散 型 r.v ， X的 概 率 函 數(shù) 為X nnppp xxx 21 21則 Y=g(X) n nppp xgxgxg 21 21 )()()(如 ： X 1.016.03.0 01則 Y=X2 的 概 率

27、函 數(shù) 為 ： 4.06.0 10Y 例 11. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 分 布 為 ：X 0 1 2 3 4 5 P 1/ 12 1/ 6 1/ 3 1/12 2/ 9 1/ 9 求 ： Y (X 2)2的 概 率 分 布 。X 0 1 2 3 4 5 P 1/ 12 1/ 6 1/ 3 1/12 2/ 9 1/ 9 解 ： Y 4 1 0 1 4 9故 Y的 概 率 分 布 為 ： Y 0 1 4 9 P 1/3 1/4 11/36 1/9 二 、 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布解 ： 設(shè) Y的 分 布 函 數(shù) 為 FY(y)，例 2 設(shè) X 其它,0 40,

28、8/)( xxxfX求 Y=2X+8 的 概 率 密 度 . FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( ) 2 8y2 8y于 是 Y 的 密 度 函 數(shù) 21)2 8()()( yfdy ydFyf XYY 0)28(yfX168)28(yyfX故 其它,0 168,328)( yyyf Y 21)2 8()()( yfdy ydFyf XYY注 意 到 0 x 4 時(shí) ， 0)( xf X即 8 y 0 時(shí) , )()( yYPyFY )( 2 yXP 注 意 到 Y=X2 0， 故 當(dāng) y 0時(shí) ， 0)(yFY )(xFX)(yFY解 ： 設(shè) Y和 X的

29、分 布 函 數(shù) 分 別 為 和 ，)()( yFyF XX 若 e xxfX 2221 )(則 Y=X2 的 概 率 密 度 為 ： 0,0 0,21)( 221 yyyf ey yY 0,0 0,)()(21)()( yyyfyfydyydFyf XXYY x 例 4 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 密 度 為 其 它0 02)( 2 xxxf求 Y=sinX的 概 率 密 度 . ,0)( yF Y當(dāng) y 0時(shí) , 1)( yFY當(dāng) y 1時(shí) , 因 為 ： 當(dāng) 10 yx0 時(shí)故解 ： dyydFyf YY )()( 其 它,0 10,12)( 2 yyyfY )arcsin()()0

30、()(arcsin yFFFyF XXXX 21 y2)()( yYPyFY )(sin yXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 當(dāng) 0y1, G(y)=1;對(duì) y0 , G(y)=0;10 Y由 于證 明 :Y=F(X)服 從 0,1上 的 均 勻 分 布 . 若 RU(0,1), 則 F-1(R)的 分 布 函 數(shù) 為 F(x). 對(duì) 0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y)=P(X (y)1F 1F=F( (y)= y 1,1 10, 0,0)( yyy yyG即 Y的 分 布 函 數(shù) ： 其它,0 10,1)( yyg求 導(dǎo) 得 Y的 密

31、度 函 數(shù) ：可 見 , Y 服 從 0， 1上 的 均 勻 分 布 . (2)設(shè) ： F-1(R)的 分 布 函 數(shù) 為 F2 (x),則F2 (x)=PF-1(R) x=PR F(x)=FR F(x)=F(x)因 為 ： RU(0,1),所 以 ： R的 分 布 函 數(shù) 為 ： 1,1 10, 0,0)( xxx xxFR又 因 為 ： F(x)0,1則 F -1(R)的 分 布 函 數(shù) 為 F(x). 本 例 的 結(jié) 論 給 出 構(gòu) 造 分 布 函 數(shù) 為 F(x) 的隨 機(jī) 數(shù) 的 方 法 ： 取 U(0,1) 隨 機(jī) 數(shù) i (i=1,2, )令 : i =F-1(i )， 則 i

32、(i=1,2, ) 就 是 F(x)隨 機(jī) 數(shù) ，若 1, 2, 相 互 獨(dú) 立 , 則 1, 2, 也 相 互 獨(dú) 立 。 其 它,0 ,)()()( ydyydhyhfyfY ),(min xgbxa ),(max xgbxa 其 中 ， x=h(y)是 y=g(x)的 反 函 數(shù)定 理 : 設(shè) X是 一 個(gè) 取 值 于 區(qū) 間 a,b， 具 有 概 率密 度 f(x)的 連 續(xù) 型 r.v,又 設(shè) y=g(x)處 處 可 導(dǎo) ， 且對(duì) 于 任 意 x, 恒 有 或 恒 有 ， 則Y=g(X)是 一 個(gè) 連 續(xù) 型 r.v， 它 的 概 率 密 度 為0)( xg 0)( xg 證 明 ：

33、 (只 證 明 g(x)0的 情 況 ) g(x)0 恒 成 立 ， g(x)在 (-, )上 嚴(yán) 格 單 調(diào) 減 。先 求 Y的 分 布 函 數(shù) ：當(dāng) y時(shí) ， FY(y)=0當(dāng) y時(shí) ， FY(y)=1 y h(y) g(x)Y X0當(dāng) y 時(shí) ： =Pg(X) y=PX h(y)=1 FXh(y) FY(y)= 0 y 1 FXh(y) y 1 yY的 密 度 函 數(shù) ：fY(y)= fXh(y)|h (y)| y0 (或 恒 有 (ax+b)0)； ax+b的 值 域 為 (-,+) ax+b的 反 函 數(shù) 為 : y ba y ba; ( )= 1aX的 密 度 函 數(shù) ： 2 22

34、 )(21)( xxf -x+Y aX+b的 密 度 ：ay aby 121)( 2 22 )( 2 2)(2 )(21 a baya -y+即 ： Y aX+b N (a+b， (a)2) 特 別 : Y X N(0, 1) 例 6 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X在 (0,1)上 服 從 均 勻 分 布 ， 求Y=-2lnX的 概 率 密 度 .解 ： 在 區(qū) 間 (0,1)上 ,函 數(shù) lnx0, 02 xy于 是 y在 區(qū) 間 (0,1)上 單 調(diào) 下 降 ， 有 反 函 數(shù) 2/)( yeyhx 由 前 述 定 理 得 其 它,0 10,)()()( 2/2/2/ yyyXY edyedefy

35、f 注 意 取絕 對(duì) 值 其 它,0 10,)()()( 2/2/2/ yyyXY edyedefyf 其它,0 10,1)( xxfX已 知 X在 (0,1)上 服 從 均 勻 分 布 ，代 入 的 表 達(dá) 式 中)(yfY 其 它, ,)( /0 021 2 yeyf yY得即 Y服 從 參 數(shù) 為 1/2的 指 數(shù) 分 布 . 例 13. 設(shè) 電 壓 V Asin, 其 中 A是 正 常 數(shù) ， 相角 為 隨 機(jī) 變 量 ,在 區(qū) 間 (- /2, /2)上 服 從 均 勻 分布 ,求 電 壓 的 概 率 密 度 。解 ： v Asin其 反 函 數(shù) arcsin vA = 1A2 v2

36、的 密 度 為 ： 1/ - /2 /2 0 其 它f() =V的 密 度 ： g(v)= -A v A 0 其 它 A 2 v21在 (- /2, /2)上 v=Acos 保 號(hào) 例 14. 點(diǎn) 隨 機(jī) 落 在 中 心 在 原 點(diǎn) ,半 徑 為 R的 圓周 上 ,且 對(duì) 弧 長(zhǎng) 均 勻 分 布 ,求 落 點(diǎn) 橫 坐 標(biāo) X的 概 率密 度 。則 ： Z的 密 度 為 ： f Z(z)= 12R 0z2R0 其 它 X0 M XY Z解 ： 如 圖 設(shè) ： M為 隨 機(jī) 點(diǎn) ，Z為 X軸 正 向 沿 逆 時(shí) 針 方 向 到M點(diǎn) 所 夾 弧 長(zhǎng) 。 X=Rcon ZR下 面 求 X的 分 布 函

37、 數(shù) ： x=PRarccos R Z 2R RarccosxR FZ(Rarccos ) FZ(2R Rarccos )xR xRFX(x)= |X|R 0 x R FZ(2R Rarccos ) x R FZ(Rarccos ) xR1 x R當(dāng) x R時(shí) ： FX(x)=0;當(dāng) xR時(shí) ： FX(x)=1當(dāng) |x|R時(shí) ：FX(x)=PX x=P Rcon ZR x X的 密 度 函 數(shù) ：fZ(2R Rarccos )+ fZ(Rarccos ) xR0 |X| RxR |X|R RR2 x2 RR2 x2fX (x)=FX (x)= f X (x) = 1 R2 x2 |X|R 0

38、|X| R 用 分 布 函 數(shù) 法 求 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 ：由 X的 概 率 密 度 fX (x) Y g(X)的 分 布 函 數(shù) FY(y) FY (y)則 得 Y的 密 度 函 數(shù) fY (y) 例 15. X N(0, 1); 求 Y X2的 概 率 密 度 。解 ： 先 求 Y的 分 布 函 數(shù) FY(y)。當(dāng) y0時(shí) ： FY(y) 0當(dāng) y0時(shí) :F Y(y) PX2y=P X y y 0 y00 y0= y y 121 2 y00 y 0 )1( 2YY服 從 參 數(shù) 為 1的 卡 方 分 布 ， 記 為 ：fY (y)=FY (x)= = FX( ) FX( )y y =2 FX( ) 1y