概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗

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1、概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 實 驗隨 機 數(shù) 的 產(chǎn) 生 數(shù) 據(jù) 的 統(tǒng) 計 描 述 實 驗 目 的實 驗 內(nèi) 容 學(xué) 習(xí) 隨 機 數(shù) 的 產(chǎn) 生 方 法直 觀 了 解 統(tǒng) 計 描 述 的 基 本 內(nèi) 容 。2、 統(tǒng) 計 的 基 本 概 念 。4、 計 算 實 例 。3、 計 算 統(tǒng) 計 描 述 的 命 令 。1、 隨 機 數(shù) 的 產(chǎn) 生 在 Matlab軟 件 中 ， 可 以 直 接 產(chǎn) 生 滿 足 各 種 常 用分 布 的 隨 機 數(shù) ， 命 令 如 下 ：一 、 隨 機 數(shù) 的 產(chǎn) 生10常 用 分 布 隨 機 數(shù) 的 產(chǎn) 生定 義 ： 設(shè) 隨 機 變 量 XF(x),則 稱 隨 機

2、 變 量 X的抽 樣 序 列 Xi為 分 布 F(x)的 隨 機 數(shù) 函 數(shù) 名 對 應(yīng) 分 布 的 隨 機 數(shù)binornd 二 項 分 布 的 隨 機 數(shù)chi2rnd 卡 方 分 布 的 隨 機 數(shù)exprnd 指 數(shù) 分 布 的 隨 機 數(shù)frnd f分 布 的 隨 機 數(shù)gamrnd 伽 瑪 分 布 的 隨 機 數(shù)geornd 幾 何 分 布 的 隨 機 數(shù)hygernd 超 幾 何 分 布 的 隨 機 數(shù)normrnd 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 數(shù)poissrnd 泊 松 分 布 的 隨 機 數(shù)trnd 學(xué) 生 氏 t分 布 的 隨 機 數(shù)unidrnd 離 散 均 勻 分 布

3、的 隨 機 數(shù) unifrnd 連 續(xù) 均 勻 分 布 的 隨 機 數(shù) 調(diào) 用 格 式 ：1、 y=random(name, A1, A2, A3, m, n)其 中 ： name為 相 應(yīng) 分 布 的 名 稱 ， A1, A2, A3為 分 布參 數(shù) ， m為 產(chǎn) 生 隨 機 數(shù) 的 行 數(shù) ， n為 列 數(shù) 。2、 直 接 調(diào) 用 。如 ： y=binornd(n, p, 1,10) 產(chǎn) 生 參 數(shù) 位 n， p的 1行 10列 的 二 項 分 布 隨 機 數(shù) 當(dāng) 只 知 道 一 個 隨 機 變 量 取 值 在 （ a， b） 內(nèi) ， 但 不知 道 （ 也 沒 理 由 假 設(shè) ） 它 在

4、何 處 取 值 的 概 率 大 ， 在何 處 取 值 的 概 率 小 ， 就 只 好 用 U（ a， b） 來 模 擬 它 。1、 均 勻 分 布 U(a,b)1)unifrnd (a,b)產(chǎn) 生 一 個 a,b 均 勻 分 布 的 隨 機 數(shù)2)unifrnd (a,b,m, n)產(chǎn) 生 m行 n列 的 均 勻 分 布 隨 機 數(shù) 矩 陣 例 1、 產(chǎn) 生 U(2,8)上 的 一 個 隨 機 數(shù) ， 10個 隨 機 數(shù) ， 2行 5列 的 隨 機 數(shù) 。命 令 ： (1) y1=unifrnd(2,8)(2) y2=unifrnd(2,8,1,10)(3) y3=unifrnd(2,8,2,

5、5)y1=7.7008y2=3.3868 5.6411 4.9159 7.3478 6.5726 4.7388 2.1110 6.9284 4.6682 5.6926y3=6.7516 6.4292 4.4342 7.5014 7.3619； 7.5309 3.0576 7.6128 4.4616 2.3473 2、 正 態(tài) 分 布 隨 機 數(shù)例 2、 產(chǎn) 生 N(10,4)上 的 一 個 隨 機 數(shù) ， 10個 隨 機 數(shù) ， 2行 5列 的 隨 機 數(shù) .命 令(1) y1=normrnd(10,2)(2) y2=normrnd(10,2,1,10)(3) y3=normrnd(10,2,

6、2,5)1)R = normrnd(, ,)： 產(chǎn) 生 一 個 正 態(tài) 分 布 隨 機 數(shù)2)R = normrnd(, ,m,n)產(chǎn) 生 m行 n列 的 正 態(tài) 分 布 隨 機 數(shù) 當(dāng) 研 究 對 象 視 為 大 量 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 之 和 ，且 其 中 每 一 種 變 量 對 總 和 的 影 響 都 很 小 時 ， 可 以 認(rèn)為 該 對 象 服 從 正 態(tài) 分 布 。 機 械 加 工 得 到 的 零 件 尺 寸 的 偏 差 、 射 擊 命 中 點與 目 標(biāo) 的 偏 差 、 各 種 測 量 誤 差 、 人 的 身 高 、 體 重 等 ，都 可 近 似 看 成 服 從 正

7、態(tài) 分 布 。 3、 指 數(shù) 分 布 隨 機 數(shù)例 3、 產(chǎn) 生 E(0.1)上 的 一 個 隨 機 數(shù) ， 20個 隨 機 數(shù) ， 2行 6列 的 隨 機 數(shù) 。命 令(1) y1=exprnd(0.1)(2) y2=exprnd(0.1,1,20)(3) y3=exprnd(0.1,2,6)1) R = exprnd()： 產(chǎn) 生 一 個 指 數(shù) 分 布 隨 機 數(shù)2)R = exprnd(,m,n)產(chǎn) 生 m行 n列 的 指 數(shù) 分 布 隨 機 數(shù) 結(jié) 果(1) y1=0.0051(2) y2=0.1465 0.0499 0.0722 0.0115 0.0272 0.0784 0.399

8、0 0.0197 0.0810 0.0485 0.0233(3) y3=0.1042 0.4619 0.1596 0.0505 0.1615 0.0292； 0.0207 0.1974 0.1616 0.1301 0.4182 0.0809 排 隊 服 務(wù) 系 統(tǒng) 中 顧 客 到 達(dá) 率 為 常 數(shù) 時 的 到 達(dá) 間 隔 、故 障 率 為 常 數(shù) 時 零 件 的 壽 命 都 服 從 指 數(shù) 分 布 。指 數(shù) 分 布 在 排 隊 論 、 可 靠 性 分 析 中 有 廣 泛 應(yīng) 用 。例 顧 客 到 達(dá) 某 商 店 的 間 隔 時 間 服 從 參 數(shù) 為 0.1的 指數(shù) 分 布 指 數(shù) 分 布

9、的 均 值 為 1/0.1=10。 指 兩 個 顧 客 到 達(dá) 商 店 的 平 均 間 隔 時 間 是 10個單 位 時 間 .即 平 均 10個 單 位 時 間 到 達(dá) 1個 顧 客 . 顧客 到 達(dá) 的 間 隔 時 間 可 用 exprnd(10)模 擬 。 4、 二 項 分 布 隨 機 數(shù)例 4、 產(chǎn) 生 B(10,0.8)上 的 一 個 隨 機 數(shù) ， 15個 隨 機 數(shù) ， 3行 6列 的 隨 機 數(shù) 。命 令(1) y1=binornd(10,0.8)(2) y2=binornd(10,0.8,1,15)(3) y3=binornd(10,0.8,3,6)1)R = binornd

10、(n, p)： 產(chǎn) 生 一 個 二 項 分 布 隨 機 數(shù)2) R = binornd(n,p,m,n)產(chǎn) 生 m行 n列 的 二 項 分 布 隨 機 數(shù) 20、 其 他 分 布 隨 機 數(shù) 的 產(chǎn) 生 方 法定 理 設(shè) X的 分 布 函 數(shù) 為 F(x)， 連 續(xù) 且 嚴(yán) 格 單 調(diào) 上 升 ，它 的 反 函 數(shù) 存 在 ， 且 記 為 F-1(x)，則 F(X)U(0,1) 若 隨 機 變 量 UU(0,1),則 F-1(U) 的 分 布 函 數(shù) 為 F(x)。 此 定 理 給 出 的 構(gòu) 造 分 布 函 數(shù) 為 F(x)的 隨 機數(shù) 的 產(chǎn) 生 方 法 為 ： 取 U(0,1)隨 機 數(shù)

11、 Ui,(i=1,2),令 Xi=F-1(Ui),則Xi ,(i=1,2),就 是 F(x)隨 機 數(shù) ， 如 果 Ui獨 立 ， 則X i也 互 相 獨 立 。 （ 一 ） 直 接 抽 樣 法 （ 反 函 數(shù) 法 ）（ 1） 連 續(xù) 分 布 的 直 接 抽 樣 法設(shè) 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X的 分 布 函 數(shù) 為 F(x)，則 產(chǎn) 生 隨 機 數(shù) 的 方 法 為 ：取 U(0,1)隨 機 數(shù) Ui,(i=1,2),令 Xi=F(Ui),則 Xi ,(i=1,2),就 是 F(x)隨 機 數(shù) ， 如 果 Ui獨 立 ， 則 Xi也 互 相 獨 立 。 設(shè) 分 布 律 為 P(X=xi)=

12、 pi , i=1, 2, .， 其 分 布 函 數(shù) 為 F(x) （ 2） 離 散 分 布 的 直 接 抽 樣 法 產(chǎn) 生 均 勻 隨 機 數(shù) R， 即 RU(0,1) )( ,(),()( 11 i1ii xFRx 32ixFRxFxX 若若 則 XF(x) （ 二 ） 變 換 抽 樣 法（ 三 ） 值 序 抽 樣 法（ 四 ） 舍 選 抽 樣 法（ 五 ） 復(fù) 合 抽 樣 法 （ 合 成 法 ）（ 六 ） 近 似 抽 樣 法詳 見 ： 高 惠 璇 北 京 大 學(xué) 出 版 社 統(tǒng) 計 計 算 的 隨 機 數(shù)生 成 ,min 21 nXXXY 例 5、 設(shè) X分 布 函 數(shù) 為 nnXY y

13、yFyF 11)(11)( ， 11 10 00)( xxx xxFX nY yyF )1(1)(1 解 ： Y的 分 布 函 數(shù) 為其 反 函 數(shù) 為 nY URand 1)1(1 生 成 n=20的 1行 10列 隨 機 數(shù)命 令 ： U=unifrnd(0,1,1,10); Y=1-(1-U).(1/20);)1,0(UU設(shè)則 例 6 生 成 單 位 圓 上 均 勻 分 布 的 1行 10000列 隨 機 數(shù) ， 并畫 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 曲 線 。Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);%(0,2pi)上 均 勻 分 布 隨 機 數(shù)xRandnum=cos(

14、Randnum);%橫 坐 標(biāo)yRandnum=sin(Randnum);%叢 坐 標(biāo)plot(xRandnum,yRandnum); 例 6 頻 率 的 穩(wěn) 定 性1、 事 件 的 頻 率 在 一 組 不 變 的 條 件 下 ， 重 復(fù) 作 n次 試 驗 ， 記 m是 n次 試 驗 中 事 件 A發(fā) 生 的 次 數(shù) 。 頻 率 f=m/n 2.頻 率 的 穩(wěn) 定 性 在 重 復(fù) 試 驗 中 ， 事 件 A的 頻 率 總 在 一 個 定 值 附 近 擺 動 ，而 且 ， 隨 著 重 復(fù) 試 驗 次 數(shù) 的 增 加 ， 頻 率 的 擺 動 幅 度越 來 越 小 ， 呈 現(xiàn) 出 一 定 的 穩(wěn) 定

15、 性 . 擲 一 枚 硬 幣 ， 記 錄 擲 硬 幣 試 驗 中 頻 率 P*的 波 動 情 況 。(1)模 擬 產(chǎn) 生 n個 0-1分 布 隨 機 數(shù) randnum(n)(2)對 模 擬 產(chǎn) 生 的 隨 機 數(shù) ， xrandnum (i)表 示第 i次 試 驗 的 結(jié) 果 ， 1表 示 正 面 向 上 ， 0表 示 反面 向 上 。(3)統(tǒng) 計 前 i次 試 驗 中 正 面 向 上 的 次 數(shù) ， 并 計 算 頻 率（ 4） 作 圖 (關(guān) 于 頻 率 和 試 驗 次 數(shù) 的 圖 像 ）p為 正 面 向 上 的 概 率 ， n為 試 驗 次 數(shù) 在 Matlab中 編 輯 .m文 件 輸

16、入 以 下 命 令 ：function binomoni(p,n)pro=zeros(1,n); %頻 率 向 量randnum = binornd(1,p,1,n);%產(chǎn) 生 二 項 分 布 隨 機 數(shù)a=0;for i=1:n a=a+randnum(1,i);%頻 數(shù) pro(i)=a/i;%頻 率end pro=pro;num=1:n;plot(num,pro,num,p) 在 Matlab命 令 行 中 輸 入 以 下 命 令 ：binomoni(0.5,1000) 在 Matlab命 令 行 中 輸 入 以 下 命 令 ：binomoni(0.5,10000) 在 Matlab命

17、令 行 中 輸 入 以 下 命 令 ：binomoni(0.3,1000) 1、 表 示 位 置 的 統(tǒng) 計 量 平 均 值 和 中 位 數(shù)平 均 值 （ 或 均 值 ， 數(shù) 學(xué) 期 望 ） ： ni iXnX 11中 位 數(shù) ： 將 數(shù) 據(jù) 由 小 到 大 排 序 后 位 于 中 間 位 置 的 那 個 數(shù) 值 . 二 、 常 用 統(tǒng) 計 量平 均 值 ： mean(x)中 位 數(shù) ： median(x)若 x為 矢 量 ， 返 回 平 均 值 和 中 位 數(shù) ， 若 x為矩 陣 ， 結(jié) 果 為 行 向 量 ， 每 個 元 素 對 應(yīng) x中列 元 素 的 平 均 值 和 中 位 數(shù) 2、 表

18、 示 變 異 （ 離 散 ） 程 度 的 統(tǒng) 計 量 方 差 、 標(biāo) 準(zhǔn) 差 、 極 差 樣 本 方 差 ： )( n1i 2i2 XX1n1S它 是 各 個 數(shù) 據(jù) 與 均 值 偏 離 程 度 的 度 量 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ： 是 方 差 的 開 方 極 差 ： 樣 本 中 最 大 值 與 最 小 值 之 差 . 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ： std(x) 方 差 ： var(x)極 差 ： range(x) 例 7： 產(chǎn) 生 5組 正 態(tài) 分 布 隨 機 數(shù) ， 每 組 100個 ，計 算 均 值 、 中 位 數(shù) 、 標(biāo) 準(zhǔn) 差 、 極 差 、 方 差 。x=normrnd(0,1,100,5);mean1=

19、mean(x)median1=median(x)std1=std(x)var1=var(x)rang1=range(x) 3.表 示 分 布 形 狀 的 量 偏 度 和 峰 度 分 布 偏 度 ： 31 31 )(1 s XXnG ni i 3 31 )( XEXEg 其 估 計 量 為 ： 其 中 2)(1 XXns i 命 令 ： y=skewness(x)若 x為 矢 量 ， 返 回 樣 本 偏 度 ， 若 x為 矩 陣 ，結(jié) 果 為 行 向 量 ， 每 個 元 素 對 應(yīng) x中 列 元 素的 樣 本 偏 度 。正 態(tài) 分 布 偏 度 為 0， 偏 度 反 映 分 布 的 對 稱 性 ，

20、g1 0稱 為 右 偏 態(tài) ， 此 時 數(shù) 據(jù) 位 于 均 值 右 邊 的比 位 于 左 邊 的 多 ； g1 0稱 為 左 偏 態(tài) ， 情 況 相反 ； 而 g1接 近 0則 可 認(rèn) 為 分 布 是 對 稱 的 . 分 布 峰 度 4 42 )(1 s XXnG i 42 4)( XEXEg 其 估 計 量 為 ： 其 中 2)(1 XXns i 命 令 ： y=kurtosis(x)若 x為 矢 量 ， 返 回 x的 樣 本 峰 度 ， 若 x為 矩陣 ， 結(jié) 果 為 行 向 量 ， 每 個 元 素 對 應(yīng) x中 列元 素 的 樣 本 峰 度 。峰 度 是 分 布 形 狀 的 另 一 種

21、度 量 ， 正 態(tài) 分 布的 峰 度 為 3， 若 g2比 3大 很 多 ， 表 示 分 布 有 沉重 的 尾 巴 ， 說 明 樣 本 中 含 有 較 多 遠(yuǎn) 離 均 值 的數(shù) 據(jù) ， 因 而 峰 度 可 用 作 衡 量 偏 離 正 態(tài) 分 布 的尺 度 之 一 例 8： 產(chǎn) 生 5組 正 態(tài) 分 布 隨 機 數(shù) ， 每 組 100個 ，計 算 樣 本 偏 度 和 峰 度 。x=normrnd(0,1,100,5);skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x)例 9： 產(chǎn) 生 5組 指 數(shù) 分 布 隨 機 數(shù) ， 每 組 100個 ，計 算 樣 本 偏

22、度 和 峰 度 。x=exprnd(10,100,5); skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x) 三 、 分 布 函 數(shù) 的 近 似 求 法 （ 直 方 圖 ）1、 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) （ 累 計 頻 率 直 方 圖 ）Empirical Cumulative Distribution Function 定 義 ： 設(shè) x1， x2， ， xn是 總 體 的 容 量 為 n的 樣本 值 ， 將 其 按 由 小 到 大 的 順 序 排 列 ， 并重 新 編 號 ， 記 為 *2*1 nxxx 則 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 為 ：總 體 分 布 函

23、數(shù) 的 近 似 * * 1* *110)( n kkn xx xxxnk xxxF2、 頻 率 直 方 圖 近 似 概 率 密 度 函 數(shù)下 面 介 紹 頻 率 直 方 圖 和 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 的 做 法 1、 整 理 資 料 ： 把 樣 本 值 x1， x2， ， xn進(jìn) 行 分 組 ， 先將 它 們 依 大 小 次 序 排 列 ， 得 *2*1 nxxx 在 包 含 , *1 nxx 的 區(qū) 間 a， b內(nèi) 插 入 m-1個 等 分 點 ： 121 mttt 注 意 要 使 每 一 個 區(qū) 間 (i=1， 2， ， m)內(nèi) 都 有 樣 本 觀 測 值 x i（ i=1， 2， ，

24、n-1） 落 入 其 中 .記 t0=a,tm=b。 第 i個 小 區(qū) 間 為 ), 1 ii tt ), 1 ii tt 2、 求 出 各 組 的 頻 數(shù) 和 頻 率 ：統(tǒng) 計 出 樣 本 觀 測 值 在 每 個 區(qū) 間 中 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) i 它 就 是 這 區(qū) 間 或 這 組 的 頻 數(shù) ， 計 算 頻 率 nf ii 累 計 頻 數(shù) 為 ij iiv 1 累 計 頻 率 為 nvg ii ), 1 ii tt 3、 作 圖 ： 記 ： dfy ii 其 中 d為 區(qū) 間 長 度 ， 以 小 區(qū) 間), 1 ii tt 為 底 ， 以 iy 為 高 作 長 方 形 (i=1,2,m)

25、這 樣 畫 出 一 排 豎 著 的 長 方 形 極 為 頻 率 直 方 圖若 以 dg i 為 高 既 得 累 計 頻 率 直 方 圖 (1)、 描 繪 數(shù) 組 data的 頻 數(shù) 直 方 圖 的 命 令 為 ： hist(data, k)4、 頻 數(shù) 直 方 圖 的 描 繪(2)、 描 繪 附 加 帶 有 正 態(tài) 密 度 曲 線 的 直 方 圖 命 令 為 ： histfit(data , k)(3)、 描 繪 數(shù) 組 data的 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 的 命 令 為 ： cdfplot(data) 例 10 一 道 工 序 用 自 動 化 車 床 連 續(xù) 加 工 某 種 零 件 ，由 于

26、 刀 具 損 壞 等 會 出 現(xiàn) 故 障 .故 障 是 完 全 隨 機 的 ，并 假 定 生 產(chǎn) 任 一 零 件 時 出 現(xiàn) 故 障 機 會 均 相 同 .工 作人 員 是 通 過 檢 查 零 件 來 確 定 工 序 是 否 出 現(xiàn) 故 障 的 .現(xiàn) 積 累 有 100次 故 障 紀(jì) 錄 ， 故 障 出 現(xiàn) 時 該 刀 具 完 成的 零 件 數(shù) 如 下 ： 作 頻 數(shù) 直 方 圖 及 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 圖 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 48

27、7 734 608 428 1153 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 49 697 515 628 954 771 609402 960 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 解

28、x=459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 hist(x,10) histfit(x,10) 作 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 圖cdfplot(x) 例 11、 產(chǎn) 生 參 數(shù) 為 10的 指 數(shù) 分 布 隨 機 數(shù) 500個 ，并 畫 出 直 方 圖 和 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 圖 。x=exprnd(10,100,1);作 經(jīng) 驗 分 布 函 數(shù) 圖cdfplot(x) hist(x,9)作 直 方 圖產(chǎn) 生 隨 機 數(shù)