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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末習題,2015.06.01,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,第五章 大數(shù)定律集中心極限定理,第六章 樣本及抽樣分布,第七章 參數(shù)估計,目錄,1,2,3,4,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,4.（1）設(shè)隨機變量X的分布律為 說明X的數(shù)學期望不存在。 （2）一盒中裝有一只黑球，一只白球，作摸球游戲，規(guī)則如下：一次從盒中隨機摸一只球，若摸到白球，則游戲結(jié)束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再從盒中隨機地摸一只球，試說明要游戲結(jié)束的摸球次數(shù)X的數(shù)學期望不存在。 解：(1)因級數(shù) 不絕對收斂，按定義X的數(shù)學期望不存在。 (2)以 記事件“第k次摸球摸到黑球”，以 記事件“第k次摸球摸到白球
2、”，以 表示事件“游戲在第k次摸球時結(jié)束”，k=1,2,.依題意得,X=k時，盒中共有k+1只球，其中只有一只白球，故 若E(X)存在，則它等于 ，但 故X的數(shù)學期望不存在。,6.(1)設(shè)隨機變量X的分布律為 求E(X),E( ), E( ) (2)設(shè) 求 解：(1) (2)因 故,7.(1)設(shè)隨機變量X的概率密度為 求Y=2X;Y= 的數(shù)學期望。 (2)設(shè)隨機變量 相互獨立，且都服從（0,1）上的均勻分布，求 和 的數(shù)學期望 解：(1)由關(guān)于隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定理，知 (2)因 的分布函數(shù)為 因 相互獨立，故 的分布函數(shù)為,U的概率密度為 的分布函數(shù)為 V的概率密度為,9.(1)設(shè)隨機
3、變量(X,Y)的概率密度為 求E(X),E(Y),E(XY), E( ) (2)設(shè)隨機變量X,Y的聯(lián)合密度為 求E(X),E(Y),E(XY) 解：(1),(2),14.設(shè)隨機變量 的概率密度分別為 (1)求 (2)又設(shè) 相互獨立，求 解:若X服從以 為參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密度為 故 (1) (2)因為 相互獨立，,17.設(shè)X為隨機變量，C為常數(shù)，證明 ,對于 .（由于 ,上式表明 當C=E(X)時取到最小值。） 證： 等號僅當C=E(X)時成立。,20.設(shè)隨機變量X服從幾何分布，其分布律為 其中 0p1是常數(shù)，求E(X),D(X). 解：因為： 兩邊對x求導得： 兩邊對x求導得：,23.五
4、家商店聯(lián)營，它們每兩周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量分別為 已知 相互獨立。 (1)求五家商店兩周的總銷售量的均值和方差。 (2)商店每隔兩周進貨一次，為了使新的供貨到達前商店不會脫銷的概率大于0.99，問商店的倉庫應(yīng)至少儲存多少千克該產(chǎn)品？ 解：以Y記為五家商店該種產(chǎn)品的總銷售量，即 (1)按題設(shè) 相互獨立且均服從正態(tài)分布，即有,(2)設(shè)倉庫應(yīng)至少儲存n kg該產(chǎn)品，才能使該產(chǎn)品不脫銷的概率大于0.99，按題意，n應(yīng)滿足條件 由于 故有 因而上述不等式即為 從而 即需取n=1282 kg.,24.卡車裝運水泥，設(shè)每袋水泥重量X服從 ,問至多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于0.05. 解：
5、設(shè)至多能裝運n袋水泥，各袋水泥的重量分別為 ，則 故卡車所裝運水泥的總重量為 按題意n需滿足 對于像這樣的實際問題，認為 相互獨立是適宜的，此時 于是， 從而， 即 n至多取39.,27.下列各對隨機變量X和Y，問哪幾對是相互獨立的？哪幾對是不相關(guān)的？ 解：(1),(2) (3),(4),(5),33.設(shè)隨機變量 且設(shè)X,Y相互獨立，試求 的相關(guān)系數(shù)。 解：,34.(1)設(shè)隨機變量 求常數(shù) 使E(W)為最小，并求E(W)的最小值。 (2)設(shè)隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且有 證明當 隨機變量 相互獨立。 解：(1) (2)因為(X,Y)是二維正態(tài)變量，而W與V分別為X,Y的線性組合，故由
6、n維正態(tài)隨機變量的性質(zhì)3知(W,V)也為二維正態(tài)變量，現(xiàn)在 ，故知有,即知W,V不相關(guān)，又因(W,V)是二維正態(tài)變量，故知W與V是相互獨立的。,第五章 大數(shù)定律集中心極限定理,4.設(shè)各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立，且服從相同的分布，其數(shù)學期望為0.5kg,均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少。 解：以記第i個零件的重量，以W記5000個零件的總重量： 按題設(shè) ，由中心極限定理，可知 近似服從N(0,1)分布，故求概率為,=1-0.9213=0.0787,8.一復雜的系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件所組成，在整個運行期間每個部件損壞的概率為0.10，
7、為了使整個系統(tǒng)起作用，至少必須有85個部件正常工作，求整個系統(tǒng)起作用的概率。 解：將觀察一個部件是否正常工作看成 一次實驗，由于各部件是否正常工作是相互獨立的，因而觀察100個部件是否正常工作是做100重伯努利實驗，以X表示100個部件中正常工作的部件數(shù)，則Xb(100,0.9)，按題設(shè)需求概率 由棣莫弗-拉普拉斯定理知 近似地服從標準正態(tài)分布N(0,1),故,第六章 樣本及抽樣分布,2.在總體N(12,4)中隨機抽一容量為5的樣本 .(1)求樣本均值和總體均值之差的絕對值大于1的概率。(2)求概率 解：(1),3.求總體N(20,3)的容量分別為10，15的兩個獨立樣本均值差的絕對值大于0.
8、3的概率。 解：將總體N(20,3)的容量分別為10,15的兩獨立樣本的均值分別記為 則,5.(1)已知某種能力測試的得分服從正態(tài)分布，隨機取10個人參與這一測試，求他們得分的聯(lián)合概率密度，并求這10個人得分的平均值小于u的概率 (2)在(1)中設(shè) ，若得分超過70就能得獎，求至少有一人得獎的概率。 解：(1)10個人的得分分別記為 ，它們的聯(lián)合概率密度為,(2)若一人得獎的概率為p，則得獎人數(shù)Yb(10,p).此處p是隨機選取一人，其考分X在70分以上的概率，因XN(63,25),故,9.設(shè)在總體 中抽得一容量為16的樣本，這里均值方差均未知。 (1)求 ,其中 為樣本方差 (2)求 解：(
9、1)因為 ，現(xiàn)在n=16，即有 ，故有 (2)由 ，得,第七章 參數(shù)估計,6.一地質(zhì)學家研究密歇根湖湖灘地區(qū)的巖石成分，隨機地自該地區(qū)取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假設(shè)這100次觀察相互獨立，并且由過去經(jīng)驗知，它們都服從參數(shù)為m=10，p的二項分布，p是這地區(qū)一塊石子是石灰石的概率，求p的最大似然估計值。該地質(zhì)學家所得數(shù)據(jù)如下： 解：設(shè)X為一個樣品中屬于石灰石的石子數(shù)，則b(10,p),p的最大似然估計值 有給出的數(shù)據(jù)得,7.(1)設(shè) 是來自總體X的一個樣本，且 求PX=0的最大似然估計值。 (2)某鐵路局證實一個扳道員在五年內(nèi)引起的嚴重事故的次數(shù)服從
10、珀松分布。求一個扳道員在五年內(nèi)未引起嚴重事故的概率p的最大似然估計。使用下面122個觀察值。下表中，r表示一扳道員五年中引起嚴重事故的次數(shù)，s表示觀察到的扳道員人數(shù)。 解：(1)設(shè) 是相應(yīng)于樣本 的樣本值。本題需求 的最大似然估計值。,由第4題知 的最大似然估計值 ，又由于函數(shù) 具有單值反函數(shù)； ，由最大似然估計的不變性知 的最大似然估計值為 (2)由所給的數(shù)據(jù)，得 由(1)知，扳道員五年內(nèi)未引起嚴重事故的概率 的最大似然估計值為,14.設(shè)從均值為u，方差為大于0的總體中分別抽取容量為 的兩獨立樣本。 分別為兩樣本的均值，試證：對于任意常數(shù)a,b(a+b=1), 都是u的無偏估計，并確定常數(shù)a,b使D(Y)達到最小。 解：由 ,以及a+b=1,得知 即對任意a,b，只要a+b=1,則Y都是u的無偏估計。又 且 相互獨立，由此可得 將b=1-a代入上式，得到,19.設(shè) 是來自分布 的樣本， 已知， 未知 (1)驗證 利用這一結(jié)果構(gòu)造 的置信水平為1-a的置信區(qū)間 (2)設(shè) =6.5，且有樣本值7.5，2.0，12.1，8.8，9.4，7.3，1.9，2.8，7.0，7.3.試求 的置信水平為0.95的置信區(qū)間。 解：(1)因,
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