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1、第3章 時域分析,一、時間響應(yīng)及其組成,1、時間響應(yīng),定義：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）在時域的表現(xiàn)形式 在數(shù)學(xué)上，就是系統(tǒng)的動力學(xué)方程在一定初始條件下的解。 時間響應(yīng)能完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程。,第一節(jié)概述,2時域分析的目的 在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。 3 時域分析法 時域分析法就是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，采用拉氏變法直接解出系統(tǒng)的時間響應(yīng)，再根據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及對應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的性能。 用時域分析法分析系統(tǒng)性能具有直接、準(zhǔn)確、易于接受等特點。,二、典型輸入信號,1、在時間域進(jìn)行分析時，為了比較不
2、同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。,一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機(jī)的，即使對控制輸入，有時其函數(shù)形式也不可能事先獲得。,2、作用:,在實際中，輸入信號很少是典型輸入信號，但由于在系統(tǒng)對典型輸入信號的時間響應(yīng)和系統(tǒng)對任意輸入信號的時間響應(yīng)之間存在一定的關(guān)系，所以，只要知道系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)，再利用關(guān)系式：,就能求出系統(tǒng)對任何輸入的響應(yīng)。,3、常用的典型輸入信號,（1）能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際情況；,4、典型輸入信號的選擇原則,如：若實際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可選階躍信號；若
3、實際系統(tǒng)的輸入隨時間逐漸變化，則可選速度信號。,（2）形式簡單，便于解析分析；,（3）實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。,第二節(jié)一階系統(tǒng)的時間響應(yīng),1、 一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）,極點（特征根）：-1/T,Xi(s),X0(s),如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié),2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點,瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T )e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；,xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；,對于實際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬 度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈 沖代替理想脈沖信號。,3、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點,響應(yīng)分為兩部分,瞬態(tài)響應(yīng)：,表示系統(tǒng)
4、輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程 （動態(tài)/過渡過程）,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1,表示t時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài),xo(0) = 0，隨時間的推移， xo(t) 指數(shù)增大，且無振蕩。 xo() = 1，無穩(wěn)態(tài)誤差；,4、一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng),一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點,瞬態(tài)響應(yīng)：T e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t T；,經(jīng)過足夠長的時間(穩(wěn)態(tài)時，如t 4T)，輸 出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為： t T，即輸出相對于輸入滯后時間T；,5、不同時間常數(shù)下的響應(yīng)情況,由上圖可知，T越大，慣性越大。,第三節(jié)、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng),例如圖所示機(jī)械系統(tǒng),解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出,輸入為f(t),輸出為x(t),2)列寫
5、微分方程，受力分析,3)整理可得：,4)傳遞函數(shù),5)單位階躍響應(yīng),若m=1,c=1,k=1,t=0:0.01:20; x=1-exp(-0.5*t).*sin(sqrt(3)/2*t)-1/sqrt(3)*exp(-0.5*t).*cos(sqrt(3)/2*t); plot(t,x);,Matlab命令,Matlab命令,num1=0 0 1; den1=1 1 1; sys=tf(num1,den1) ; step(num1,den1);,m=1,c=1,k=1時階躍響應(yīng),若m=1,c=2,k=1,則運動方程為：,t=0:0.01:20; x=1-exp(-t)-t.*exp(-t);
6、plot(t,x);,Matlab命令,Matlab命令,num1=0 0 1; den1=1 2 1; sys=tf(num1,den1) ; step(num1,den1);,m=1,c=2,k=1時階躍響應(yīng)（Matlab計算）,若m=1,c=5,k=4,則運動方程為：,t=0:0.01:20; x=1-4/3*exp(-t)+1/3*exp(-4*t); plot(t,x);,Matlab命令,Matlab命令,num1=0 0 4; den1=1 5 4; sys=tf(num1,den1) ; step(num1,den1);,m=1,c=5,k=4時階躍響應(yīng),若m=1,c=0,k=
7、1,則運動方程為：,Matlab命令,num1=0 0 1; den1=1 0 1; sys=tf(num1,den1) ; step(num1,den1);,m=1,c=0,k=1時階躍響應(yīng),二階系統(tǒng),其中，T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩 周期， 為阻尼比； 為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。,二階系統(tǒng)的特征方程：,極點（特征根）：,欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）： 01,具有一對共軛復(fù)數(shù)極點：,稱為阻尼振蕩頻率。,臨界阻尼二階系統(tǒng)： 1,具有兩個相等的負(fù)實數(shù)極點：,過阻尼二階系統(tǒng)： 1,具有兩個不相等的負(fù)實數(shù)極點：,零阻尼二階系統(tǒng)： 0,具有一對共軛虛極點：,負(fù)阻尼二階系統(tǒng)： 0,極點實部大于零，響
8、應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),01：,num1=0 0 1; den1=1 1 1; sys=tf(num1,den1) ; impulse(sys), = 0：,num1=0 0 1; den1=1 0 1; sys=tf(num1,den1) ; t=0:0.01:50; impulse(sys,t), = 1：,num1=0 0 1; den1=1 2 1; sys=tf(num1,den1) ; t=0:0.01:20; impulse(sys,t), 1：,num1=0 0 1; den1=1 3 1; sys=tf(num1,den1) ; t=0:0.01:2
9、0; impulse(sys,t),3、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),欠阻尼（01）狀態(tài),其中，,欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點,xo() = 1，穩(wěn)態(tài)；,瞬態(tài)分量為振幅等于 的阻尼 正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。,振蕩幅值隨減小而加大。,特點,單調(diào)上升，無 振蕩、無超調(diào)；,c () = 1，無 穩(wěn)態(tài)誤差。,臨界阻尼（=1）狀態(tài),過阻尼（1）狀態(tài),特點,單調(diào)上升，無振蕩， 過渡過程時間長,c () = 1，無穩(wěn)態(tài) 誤差。,其中，,幾點結(jié)論,二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性：, 0 時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；, 1 時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；,01時，有振蕩， 愈小，振蕩愈嚴(yán)重，
10、 但響應(yīng)愈快，, = 0時，出現(xiàn)等幅振蕩。,工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.40.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。,5、 二階系統(tǒng)的性能指標(biāo),控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo),控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。,系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見的性能指標(biāo)有： 上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)整時間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N。,評價系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo),上升時間tr,響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)
11、態(tài)值的10%上升到90%所需 的時間。,峰值時間tp,響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。,調(diào)整時間ts,響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。,最大超調(diào)量Mp,響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示：,評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標(biāo),若xo(tp) xo()，則響應(yīng)無超調(diào)。,振蕩次數(shù)N,在調(diào)整時間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。,實測時，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)。,欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo),上升時間tr,根據(jù)上升時間的定義有：,欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：,從而：,即：,顯然， 一定時，n越大，tr越?。?n一定時， 越大，tr 越大。,峰值
12、時間tp,即：,根據(jù)tp的定義解上方程可得：,一定，n越大，tp越??；n一定， 越大，tp 越大。,最大超調(diào)量 Mp,顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng) = 0.40.8時，可以求得相應(yīng)的 Mp = 25.4%1.5%。,調(diào)整時間ts,對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量 1 的指數(shù)曲線：,當(dāng)包絡(luò)線進(jìn)入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用：,可以求得：,由上式求得的ts包通常偏保守。,當(dāng)一定時，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。,當(dāng)00.7時，,振蕩次數(shù)N,N 僅與
13、有關(guān)。與Mp 一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。,對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期,重要公式小結(jié),其中，,其中，,例題,1、某數(shù)控機(jī)床的位置隨動系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=9/(s(s+1)。試計算系統(tǒng)的Mp、tp、ts和N。,解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,峰值時間,例2控制系統(tǒng)框圖所示。若要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)超調(diào)量Mp=20%，調(diào)節(jié)時間ts=1.5s,試確定K與 的值,K/s(s+1),1+ts,K/s(s+1),1+ts,例3,圖a)所示機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)在質(zhì)量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性系數(shù)K和粘 性
14、阻尼系數(shù)C的值。,解：根據(jù)牛頓定律：,其中，,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此,根據(jù)拉氏變換的終值定理：,由圖b)知 xo() = 0.03m，因此：,K=8.9/0.03=297N/m,又由圖b)知：,解得： = 0.6,又由：,代入，可得n=1.96rad/s,根據(jù),解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s,例4,解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,1）K = 200時,n=31.6rad/s，=0.545,2）K = 1500時,n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計算得：,tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7% ts=0
15、.174s，N=2.34,可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化,即系統(tǒng)可以視為由兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s,3）K = 13.5時,n=8.22rad/s，=2.1 ，系統(tǒng)工作于過阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為：,五、高階系統(tǒng)的時間響應(yīng),1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),考慮系統(tǒng),若在系統(tǒng)極點中包含q個實數(shù)極點和r對共軛復(fù)數(shù)極點 可以求得高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，其包含有指數(shù)函數(shù)分量和衰減正弦函數(shù)分量。 主導(dǎo)極點：距離虛軸很近的極點，對系統(tǒng)時間起主導(dǎo)作用,六、誤差分析和計算,1、控制系統(tǒng)的誤差,考慮反饋控制系統(tǒng),偏差信號E(
16、s)即輸入R(s)與反饋信號B(s)之差 E(s)= R(s)B(s) R(s)H(s) C(s),誤差傳遞函數(shù),閉環(huán)傳遞函數(shù),開環(huán)傳遞函數(shù),偏差信號,誤差與偏差,動態(tài)誤差：誤差隨時間變化的過程值 穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后其實際輸出量與希望輸出量之間的相差程度,2、穩(wěn)態(tài)偏差及其計算,穩(wěn)態(tài)偏差ess,誤差是時間的函數(shù)e(t) 穩(wěn)態(tài)偏差：若誤差信號在（t）存在，即e(t) 的穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)誤差：,根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：,穩(wěn)態(tài)偏差的計算,利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：,例題,已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： G(s)=1/Ts 求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入下
17、的穩(wěn)態(tài)偏差。,解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：,在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為：,在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為：,在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為：,例: 一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 求：r(t)=1(t)及t時的穩(wěn)態(tài)誤差 解:,r(t) = 1(t) 時, R(s)=1/s,r(t) = t 時, R(s)=1/s2,3、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù),穩(wěn)態(tài)偏差系數(shù)的概念,穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù),單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(位置誤差),稱為穩(wěn)態(tài)位置偏差系數(shù)。,其中，,穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù),單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,稱為穩(wěn)態(tài)速度偏差系數(shù)。,其中，,穩(wěn)態(tài)加速度偏差系數(shù),單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(加速度偏差
18、),稱為穩(wěn)態(tài)加速度偏差系數(shù)。,其中，,系統(tǒng)類型,將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：,根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當(dāng) v = 0, 1, 2, 時，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、型、系統(tǒng)。,不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差,0型系統(tǒng),I型系統(tǒng),型系統(tǒng),不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。,七擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差和系統(tǒng)總誤差,擾動作用下的傳遞函數(shù),擾動單獨作用時即R(s)=0,輸入信號單獨作用時,總誤差,擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差,擾動誤差傳遞函數(shù)為：,所以，擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差：,對于單位階躍擾動，,系統(tǒng)總誤差,當(dāng)系統(tǒng)同時受到輸入信號R(s)和擾動信號N(s)作用時，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差：,開環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)傳遞函數(shù),II型和二階系統(tǒng)的區(qū)別,求穩(wěn)態(tài)偏差,求運動方程,2）對比二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式：,解：1）,例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試求：(1)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位速度響應(yīng)；(2) 確定位置誤差系統(tǒng)、速度誤差系數(shù)和當(dāng)輸入為xi(t)=2t時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,例：設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。如果該系統(tǒng)屬于單位反饋控制系統(tǒng)，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。,
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