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1、基礎實驗,實驗一 一元函數(shù)及其圖形,實驗目的 通過圖形來認識函數(shù)，運用函數(shù)的圖形來觀察和分析函數(shù)的有關特性，建立數(shù)形結合的思想,有關實驗報告的說明,每章教學內容后安排一次大實驗，大實驗用漢字表示序號，如“實驗一：一元函數(shù)及其圖形” 每個大實驗中包括若干個小實驗，用阿拉伯數(shù)字表示序號，如“實驗1” 每個小實驗中又包含若干練習，如“練習3” 實驗一中共有14個練習，實驗報告就是有關這14個練習的解答。,有關實驗報告的說明,實驗報告以郵件的形式提交到： fling_ 郵件主題請按照如下格式： 學號后4位_姓名_實驗編號 如：1001_張三_實驗一 附件的名稱同郵件主題！不按規(guī)范的郵件將不接受！ 郵件
2、從自己的郵箱直接發(fā)送，不要通過中轉或網(wǎng)盤提交。,1.1 函數(shù)及其圖形,Mathematica繪制區(qū)間a,b上函數(shù)y=f(x)的圖形的命令為Plotf,x,a,b，詳見教材P48 繪制參數(shù)方程x=f(t),y=g(t), a=t=b所表示的曲線的圖形的命令為 ParametricPlotf,g,t,a,b parametric adj. 數(shù)物參(變) 數(shù)的,參(變)量的,1.1 函數(shù)及其圖形,plot n.小塊土地, 地區(qū)圖, 圖, 秘密計劃(特指陰謀), (小說的)情節(jié).結構 vt. 劃分, 繪圖, 密謀 vi. 密謀, 策劃,1.1 函數(shù)及其圖形,? Plot Plotf, x, xmin,
3、 xmax generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. Plotf1, f2, . , x, xmin, xmax plots several functions fi.,二維參數(shù)圖,在二維平面內，有時無法將隱函數(shù) 化成顯函數(shù) 的形式，所以無法使用Plot命令直接繪圖。 在某些情況下，可以把平面上的 曲線化成： 的形式，其中變量t為方程式的參數(shù)，而這個方程式則被稱為參數(shù)方程。 隨著t的變化，可以在平面上描繪出曲線的軌跡，所得的曲線稱為參數(shù)圖。,參數(shù)方程,圓心在原點，半徑為r的圓的方程為 x2+y2=r2 你能從其中得到
4、圓上某點的x坐標和y坐標間的普通方程嗎？ y=SQRT(r2-x2) 繪制圓可用參數(shù)方程或專門的隱函數(shù)繪圖函數(shù)(P16) x=cos(),y= sin(),二維參數(shù)圖,Mathematica用ParametricPlot命令繪制二維參數(shù)圖。它的使用形式有兩種： (1) ParametricPlotx(t),y(t),t,下限,上限,可選項 繪制二維參數(shù)圖 (2) ParametricPlotx1(t),y1(t),x2(t),y2(t), t,下限,上限 同時繪制多個參數(shù)圖 繪制參數(shù)方程x=f(t),y=g(t), a=t=b所表示的曲線的圖形的命令為 ParametricPlotf,g,t,
5、a,b,x坐標,y坐標,參數(shù)方程,對于Plot命令，第一個參數(shù)也可以是一個列表，但其含義與ParametricPlot是不同的 Plotfx,gx,x,a,b PlotSinx,Cosx,x,0,4 Pi,繪制多條曲線,如果用Plot函數(shù)畫兩個或多個函數(shù)的圖形，可以用PlotStyle為每條曲線設定不同格式 把描述一條曲線的項放在一個表里作為PlotStyle值的一個子表。 例 分別用紅、綠、藍三種顏色畫出的圖形。 PlotSinx,Sin2x,Sin3x,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1,1.1 函數(shù)及其圖
6、形,實驗1 給定函數(shù)f(x)=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2) 畫出f(x)在區(qū)間-4,4上的圖形； 畫出區(qū)間-4,4上f(x)與(sinx)f(x)的圖形,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗1 解(a)： fx_=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2); g1=Plotfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0;,定義一個函數(shù)，以x為啞元,指名要設置Plot函數(shù)的具體參數(shù),設定顏色為紅色,函數(shù)f作為函數(shù)Plot的參數(shù),x的范圍,1.1 函數(shù)及其圖形,解(b)： g2=PlotSinx fx,x,-4,4, PlotStyle-RGBColor0,1,0;
7、Showg1,g2; Show的用法見教材P88 有關顏色的設定見教材P93,同時顯示g1，g2兩個圖形,設定顏色為綠色,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗1 練習1 觀察第二個圖，解釋為什么兩個圖形在此區(qū)域內有一個交點 練習2 畫出基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)的圖形，觀察它們的特點(函數(shù)的名稱見教材P27),1.1 函數(shù)及其圖形,實驗2 觀察函數(shù)y=sin(1/x)的圖形 PlotSin1/x,x,-1,1 解釋函數(shù)在x=0附近震蕩的原因 觀察圖形在x=0附近的最大最小值 練習3 分別作出以下函數(shù)的圖形，觀察函數(shù)的復合 (a) f(x)=Sqrt(1+x2)在區(qū)間-
8、5,5 PlotSqrt1+x2,x,-5,5,PlotStyle- Dashing0.02,0.01;,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗2 練習3 分別作出以下函數(shù)的圖形，觀察函數(shù)的復合 (b) f(x)=sin cos sin x,在-Pi，Pi PlotSinCosSinx,x,-Pi,Pi; 注意函數(shù)圖形的周期和值域 (c) f(x)=(tan sin x-sin tan x)/x2，在-5,5 Plot(TanSinx-SinTanx)/x2,x,-5,5,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗2 練習3 (d)同時繪制多個函數(shù)的圖形 f1(x)=exp(x),f2(x)=arctan x,f3(x)
9、=exp(arctanx)在-6,6 PlotExpx,ArcTanx,ExpArcTanx,x,-6,6, PlotPoints-100,1.1 函數(shù)及其圖形,數(shù)學軟件包做圖時在選定區(qū)間插入15個點分別計算函數(shù)值做圖，然后用光滑曲線將這些點連起來（注意：數(shù)學軟件包有自動光滑功能） PlotPoint-50 表示將插入50個點進行計算。 如果繪制的參數(shù)圖不平滑或有明顯的誤差，可以更改PlotPoints的值獲得比較準確的圖形。 ParametricPlotCos2t,Sin3t,t,0,2Pi ParametricPlotCos2t,Sin3t,t,0,2Pi,PlotPoints-200,1
10、.1 函數(shù)及其圖形,實驗2 改變PlotPoints的值和定義域，觀察圖形的變化。 PlotSin1/x,x,-1,1, PlotPoints-100,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗3 參數(shù)方程的圖形 繪制以下參數(shù)方程的圖形 1、x(t)=2(cost)3,y(t)=2(sint)3 2、x(t)=2(t-sint),y(t)=2(1-cost) 解 x1t_=2Cost3;y1t_=2Sint3; ParametricPlotx1t,y1t,t,0,2Pi; x2t_=2(t-Sint);y2t_=2(1-Cost); ParametricPlotx2t,y2t,t,0,4Pi;,極坐標作圖,極
11、坐標方程也可以轉化為參數(shù)方程的形式從而在直角坐標系中用命令ParametricPlot繪圖。 極坐標方程式可以寫成 的形式，而極坐標上的點在x-y直角坐標系統(tǒng)上的坐標，根據(jù)幾何關系可以寫成 如果把ParametricPlotx,y,t,下限,上限命令中的x和y改成 ，則參數(shù)方程式的圖形即為極坐標方程式的圖形。,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗3 練習4 極坐標圖形的繪制：心形線、三葉玫瑰線 心形線 r1t_:=2(1-Cost);ParametricPlotr1t Cost, r1t Sint,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic 將r1的定義改為參數(shù)形式：a(1-b*Cost
12、)，其中a、b為實數(shù)。改變a、b的值，你能發(fā)現(xiàn)圖形隨a和b變化的規(guī)律嗎？,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗3 練習4 極坐標圖形的繪制：心形線、三葉玫瑰線 三葉玫瑰線 rt_:=2Sin3t;ParametricPlotrtCost,rtSint,t,0,2Pi 注：這里的“:=”與“=”作用相同,極坐標繪圖,也有專門的極坐標繪圖命令： PolarPlotr_,t_,下限,上限,可選項 它與下述命令等價： ParametricPlotr*Cost,r*Sint,t,下限,上限,可選項 如前面的三葉玫瑰線 rt_:=2Sin3t; PolarPlotrt,t,0,2Pi,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗4
13、用條件語句繪制分段函數(shù) 分段函數(shù)可以用“/;”條件語句定義，格式為 fx_:=表達式/;條件,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗4 用條件語句繪制分段函數(shù) fx_:=x2Sin1/x/;x!=0; fx_:=0/;x=0; Plotfx, x,-1,1 注：此時只能用“:=”定義函數(shù)，區(qū)別見教材P38 嘗試去掉x=0處的表達式，會有什么變化？,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗5 列表的圖形繪制 在很多實際問題中，并不知道函數(shù)的表達式，僅能測量到函數(shù)在某些點處的值，這些值可以列成數(shù)據(jù)表，稱為函數(shù)的列表表示 例 分別畫出坐標為(i,i2)，(i2,4i2+i3)，(i=1,2,10)的散點圖，并畫出折線圖 有關
14、Table命令的用法見教材P62,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗5 列表的圖形繪制 ListPlot命令常用的可選項,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗5 解 t1=Tablei2,i,10; (*定義一個列表*) g1=ListPlott1,PlotStyle-PointSize0.02; g2=ListPlott1,PlotJoined-True; Showg1,g2;,指定點的大小,在點之間用線相連,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗5 解 t2=Tablei2,4i2+i3,i,10; g1=ListPlott2,PlotStyle-PointSize0.02; g2=ListPlott2,PlotJoi
15、ned-True; Showg1,g2;,把離散點按順序連線,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗5 練習5 運行以下語句，觀察所得圖形，體會參數(shù)PlotRange的作用 Plotx4+Sin10 x,x,0,5; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-All; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-1,1; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-0,1,-1,2;,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗5 練習6 利用函數(shù)的圖形研究函數(shù)的性質。函數(shù)f(x)= sinx/x當x=0時沒有定義，然而函數(shù)的圖形在x=0點有很好的性質。 a、在區(qū)間-
16、2,2上畫出函數(shù)的圖形，并另外給出一個不具有這個性質的函數(shù) b、當x很小時，f(x)接近于1，在同一坐標系中，畫出f(x)和常函數(shù)x=0.9，并觀察它們的圖形 c、選擇更小的x，重復b的操作,1.1 函數(shù)及其圖形,注意繪圖命令的工作方式 計算機顯示器上的點是有限個數(shù)的 而定義在一個區(qū)間上的函數(shù)圖形包含無限多點 繪圖命令只能繪制區(qū)間內函數(shù)圖形上有限的點，再將點連成線 可不可以設置繪圖區(qū)間為(-,+ )? 可不可以設置繪圖區(qū)間為一個開區(qū)間(0,1?,1.1 函數(shù)及其圖形,實驗5 練習7 a、在區(qū)間-1.3,2.5上畫出函數(shù)f(x)=1/(x-1)的圖形，并觀察所得的圖形，哪一部分是正確的，哪一部分
17、是錯誤的？ b、盡可能找出不正確的部分，并用以下語句在同一區(qū)間畫出f(x)的圖形： Plot1/(1-x),x,-1.3,2.5,PlotRange-0.95,1.05,All;,1.1 函數(shù)及其圖形,練習7 a、在區(qū)間-1.3,2.5上畫出函數(shù)f(x)=1/(x-1)的圖形，并觀察所得的圖形，哪一部分是正確的，哪一部分是錯誤的？ 問題：在x=1處f(x)沒有定義 在先繪點后連線的方式中，Mathematica能計算到x=1這個點嗎？ Plot1/(1-x),x,1,2.5,1.2 函數(shù)性質的研究,從圖形觀察函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性 實驗6 研究函數(shù)f(x)=x5+3exp(x)+log3
18、(3-x)在區(qū)間-2,2上圖形的特性 Plotx5+3Ex+Log3,3-x,x,-2,2; 結論：增函數(shù),1.2 函數(shù)性質的研究,實驗6 練習8 選用不同的區(qū)間，如-3,3，-10,10畫出函數(shù)f(x)=x5-x的圖形，并判斷其單調性，試解釋兩種不同的結果,1.2 函數(shù)性質的研究,實驗7 判斷函數(shù)f(x)=sin2 Pi x+cos2 Pi x是否為周期函數(shù) 解：選一個比較大的范圍，如-4,4，在此區(qū)間上畫出函數(shù)f(x)的圖形，如果函數(shù)的圖形以某一寬度為單位重復出現(xiàn)，則該函數(shù)為周期函數(shù)。 PlotSin2 Pi x+Cos2 Pi x,x,-4,4;,反函數(shù),實驗8 若一個函數(shù)滿足：一個y對
19、應著一個x（單射），則其反函數(shù)一定存在，且在表達式中將y換成常量求解x，即將所得表達式中y換成x，x換成y即得到反函數(shù)的表達式。 判斷函數(shù)y=f(x)=x3+3x2+3x+1的反函數(shù)的存在性。若存在，求反函數(shù)的表達式，并畫出圖形,1.2 函數(shù)性質的研究,實驗8 從方程y=x3+3x2+3x+1種求出x關于y的表達式 Solvey = x3+3x2+3x+1,x 有關Solve命令的詳細信息請看課本P150 能不能在同一個圖中繪制這兩個函數(shù)及第一象限對角線y=x的圖形？ Plot-1+x(1/3),x,0,3,1.2 函數(shù)性質的研究,實驗8 練習9 給定f(x)=x3+2x2-3x+4 a、觀察
20、f(x)與f(-x)的圖形，給出它們之間的關系 b、f(x)與f(x+3)的圖形之間有什么關系 c、f(x)與f(x+3)-3的圖形之間有什么關系 d、觀察f(x)、f(|x|)、|f(x)|、|f(|x|)|之間的關系,1.2 函數(shù)性質的研究,可借助于Mathematica中的動畫功能來理解不同圖形之間的關系 實驗9 用循環(huán)實現(xiàn)動畫 制作函數(shù)sincx的圖形動畫，觀察參數(shù)c對圖形的影響 DoPlotSinc x,x,-Pi,Pi,PlotRange-1,1, c,1,4,1/3;,1.2 函數(shù)性質的研究,實驗10 作出函數(shù)f(x)=x2+sincx的圖形動畫，觀察參數(shù)c對函數(shù)圖形的影響 Do
21、Plotx2+Sinc x,x,-3,3,PlotRange-1,5,c,1,5,1/3; 有關Do命令的用法請看課本P45 練習 10 觀察冪函數(shù)y=xp，當p連續(xù)變化時函數(shù)圖形的變化 練習 11 觀察函數(shù)y=sin xp，當p連續(xù)變化時函數(shù)圖形的變化,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,利用Mathematica，我們可以畫出一些難以想象的圖形 實驗 11 畫出以下參數(shù)方程的圖形 a、x(t)=5cos(-11t/5)+7cost y(t)=5sin(-11t/5)+7sint b、x(t)=cos t cos 5t y(t)=sin t cos 3t c、x(t)=(1+sin t-2co
22、s 4t)cos t y(t)=(1+sin t-2cos 4t)sin t,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,實驗 11 解 ParametricPlot5Cos-11/5 t+7Cost,5 Sin-11/5 t+7Sint,t,0,10 Pi,AspectRatio-Automatic; ParametricPlotCos5 tCost, SintCos3 t,t,0,Pi,AspectRatio-Automatic; ParametricPlot(1+Sint-2Cos4 t)*Cost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio-Automatic,Axes-None;,1.
23、3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,實驗12 畫出前25個素數(shù)的散點圖 解 TablePrimen,n,25; ListPlotTablePrimen,n,25,PlotStyle-PointSize0.015;,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,練習12 敏感多項式 一個n次多項式最多有n個根。例如三次多項式(x-1)(x-2)(x-3)當x=1,2,3時為0 a、畫出這個三次多項式的圖形，然后在區(qū)間 -1,7.5上畫出7次多項式(x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) (x-6) (x-7)的圖形,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,練習12 敏感多項式 一個n次多項式最多有n個
24、根。例如三次多項式(x-1)(x-2)(x-3)當x=1,2,3時為0 b、利用命令Expand 將這個7次多項式展開，將得到x6的系數(shù)為-28。將該系數(shù)變?yōu)?28.01，并在相同的區(qū)間上畫出改變后的多項式的圖形，與之前的圖形作比較，觀察有多少個根發(fā)生了變化？ Expand命令用法見教材P167,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,練習13 首先回憶sinx的性質，研究一個函數(shù)f(x)乘以sinx后圖形變化的趨勢 a、區(qū)間0,15上作出函數(shù)y1=x,y2=-x,y3=x sinx的圖形 b、在區(qū)間0,15上作出函數(shù)y1=lnx,y2=-lnx,y3=lnx sinx的圖形 c、任取函數(shù)f(x)和
25、一個區(qū)間，做函數(shù)y1=f(x)和y2=sinf(x)的圖形 d、試給出函數(shù)y1=f(x)和y2=f(x)sin x之間的關系,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,練習14 a、任取一個x0，觀察sin(x0),sin(sin(x0), sin(sin(sin(x0)等等，能得到什么結論？ b、畫出sin(sinx) 以及sinx的等多重復合函數(shù)的圖形，能得出什么結論？ 回顧區(qū)間套定理，有什么相似的地方嗎？,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,定義域實軸(-,+ )在Sin的映射下映射到值域 -1,1 定義域-1,1在Sin的映射下映射到值域Sin-1, Sin1 定義域Sin-1, Sin1在Si
26、n的映射下映射到值域SinSin-1, SinSin1 . 當x!=0時，|Sinx|x|,1.3 關于函數(shù)圖形的進一步研究,每做一次映射，區(qū)間長度縮小，極限是多少？ 在這個區(qū)間套中，唯一始終包含的點是哪一個？ x=0是Sinx的不動點 你怎樣證明呢？,Plot命令,Plot命令表達式中的可選項是對畫圖的細節(jié)提出的各種要求和設置 每個選項都有一個確定的名字和選項值以“選項名-選項值”的形式放在Plot命令的最后位置，一次可設置多個選項，以逗號相隔依次排列。,Plot命令常用的可選項,PlotRange：指定作圖范圍 默認：Automatic 可用y1,y2的形式要求繪出坐標在y1,y2內的圖形
27、 AspectRation：圖形的高度與寬度的比例 默認：黃金分割值0.618. 如果要圖形按實際情況顯示,則需要設置為Automatic PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio-Automatic,Plot命令常用的可選項,Axes 是否畫出坐標軸以及設置坐標軸的原點位置 默認值：True，表示畫出坐標軸 Axes None：不畫坐標軸 Axes x0,y0：設置坐標原點為x0,y0,Plot命令常用的可選項,AxesLabel：設置坐標軸上的標記符號 默認：None，不作標記 AxesLabel字符串1，字符串2：定義軸的縱坐標和橫坐標標記。 PlotSinhx,x,0,
28、10,AxesLabel-Sinhx Plot2Sinx,x,0,10,AxesLabel-x,2Sinx,Plot命令常用的可選項,Ticks：設置坐標軸上刻度的位置 默認：Automatic，由系統(tǒng)自動定位 Ticks None：不標坐標刻度 Ticks xi,yi：規(guī)定x軸和y軸的刻度值 Ticks t1,t2,: 在一個軸上按t1，t2,設置刻度。 PlotSinx,x,0,10,Ticks-None PlotSinx,x,0,10,Ticks-Automatic PlotSinx,x,0,10,Ticks-0,Pi,2Pi,3Pi,-1,1,PlotStyle命令的可選項,曲線的樣式
29、通過PlotStyle命令來調用 默認值Automatica下線型為黑實線 Thichnesst指定線的寬度t，以占整個圖形的寬度的比來量度 GrayLeveli描述曲線使用的灰度其中i是區(qū)間0,1中的一個數(shù)，0表示白色，1表示黑色。 RGBColorr,g,b曲線紅、綠、藍三色的強度 ，r,g 和b取0到1之間的數(shù)。,PlotStyle命令的可選項,Dashingd1,d2,曲線用虛線表示，虛線長度為d1,d2， PointSized給出一個點的大小，以圖形的寬度為單位1。,TableShowGraphics Dashingr, 0.1 - r, Line0, 0, 2, 1, r, 0.01, 0.07, 0.02 TableShowGraphics3DDashingr,0.1-r,Line0,0,0,2,1,1,r,0.01,0.07,0.02,
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