概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2章.ppt

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1、P43習(xí)題一 18,解: 設(shè),經(jīng)過n次交換后，黑球出現(xiàn)在甲袋中,即,2.3 幾種常見的離散型分布,一、兩點分布,二、二項分布,三、泊松(Poisson)分布,定義,其分布為,且,特別地,點分布,即,一、兩點分布,兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點分布.,說明,例1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,有兩種可能的結(jié)果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入變量X，令,pi=P X=i =0.5 ( i = 0, 1 ),X的概率分布表：,概率分布為,例2,200 件產(chǎn)品中,有 196 件是正品,則,服從參數(shù)為

2、0.98 的兩點分布.,于是,4 件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定,二、二項分布,很顯然, n重伯努利試驗中成功的次數(shù)服從二項分布,事實上,二項分布就是來源于n重伯努利試驗?zāi)Ｐ?n=1時，,即 PX=0=1-p, PX=1= p,PX=k=pk(1-p)1-k , (k=0,1)，,(0-1)分布,性質(zhì),二項分布的圖形特點:,二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo),則稱 為最可能出現(xiàn)的次數(shù),當(dāng)( n + 1) p 整數(shù)時, 在 k = ( n + 1) p 處的概率取得最大值,例如: 獨立射擊5000次, 命中率為0.001,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1

3、)0.001 =5,求 (1) 最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；,(2) 命中次數(shù)不少于1 次的概率.,(2) 令X 表示命中次數(shù),則 X B(5000,0.001),本例 啟示,例3 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個 可能答案，其中只有一個答案是正確的某學(xué) 生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？,解 每答一道題相當(dāng)于做一次伯努利試驗，,則,例4,一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后, 求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。,解,XB（10, 0.9）,(1) P(X=8)=,P(X=8)+P(X=9)+P(X=10),練習(xí) 設(shè)X B(2, p)， Y B(

4、4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).,解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9.,由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0),所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，,從而解得: p = 2/3.,= 1- (1p)4 = 80/81.,隨機變量X所有可能取值為0,1,2,取各個值的概率,稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為XP().,(1) P X=k0.,三、泊松(Poisson)分布,性質(zhì),泊松分布的背景及應(yīng)用,二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)

5、現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi), 其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.,服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X； 交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y; 礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù); 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目； 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目,體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。,實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從 Poisson分布的,例5,一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poisson分布，問一年中不多于兩次意外斷電的概率.,解,設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為X,所以,一年中不多于兩次斷電的概率為,=0.0619

6、7,查表(P299附表2),例6,解,二項分布的泊松逼近,對二項分布,計,算其概率很麻煩.,例如，,要計算n=5000,故須尋求近似計算方法.,這里先介紹二項分布的,泊松逼近，,在第五章中還將介紹二項分布的正態(tài),逼近.,泊松定理,每次試驗中發(fā)生的概率為,為常數(shù)),則有,該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！,證明:,可見，當(dāng)n充分大,p又很小時,可用泊松分布來近似二項分布！,實際計算中，,時近似效果變很好.,在某個時段內(nèi)：,大賣場的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；,市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)., ,一個容器中的細菌數(shù)；,一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；,一匹布上的疵點個

7、數(shù)；, ,放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；,例7 某一地區(qū)，一個人患某種疾病的概率為0.01，設(shè)各人患病與否相互獨立.現(xiàn)隨機抽取200人，求其中至少4人患這種病的概率.,解以X記200人中患此病的人數(shù)，,所求概率為,查泊松分布表（附表）,則XB(200，0.01).,利用泊松定理，,例8 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品多少件？,解:,設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)=5的泊松分布.,設(shè)商店在月底應(yīng)進某種商品m件,進貨數(shù),銷售數(shù),查泊松分布表得,P(Xm) 0.

8、05,也即,于是得 m+1=10,或,m=9件,例9 設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機變 量 X ,設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是 相互獨立的.,已知X P()，且每個蟲卵發(fā)育,成幼蟲的概率為 p.,求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù) Y 的概率分布.,解,昆蟲,X 個蟲卵,Y 個幼蟲,已知,由全概率公式,故,記為 X H(n, N, M).,超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型 ：,N 個產(chǎn)品中有 M 個不合格品，,從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X .,4. 超幾何分布*,分析,這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.,例,解

9、,圖示概率分布,記為 X Ge(p),X 為獨立重復(fù)的伯努里試驗中， “首次成功”時的試驗次數(shù).,幾何分布具有無記憶性，即：,P( X m+n | X m ) = P( X n ),5. 幾何分布*,6. 負二項分布(巴斯卡分布) *,記為X Nb(r, p).,X 為獨立重復(fù)的伯努利試驗中， “第 r 次成功”時的試驗次數(shù).,作業(yè),P58練習(xí)2.3 1 2 3,2.4 連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù),一、密度函數(shù),二、有關(guān)事件的概率,三、幾種常見的連續(xù)型分布,一 概率密度函數(shù),定義,設(shè)X為一隨機變量，若存在非負實函數(shù) f (x) , 使對任意實數(shù) a b ，有,則稱X為連續(xù)型隨機變量， f (x

10、) 稱為X 的概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度函數(shù).,Probability density function p.d.f.,分布函數(shù),密度函數(shù)在區(qū)間上的積分 = 隨機變量在區(qū)間上取值的概率,概率密度函數(shù)的性質(zhì),非負性,規(guī)范性,密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系,積分關(guān)系,導(dǎo)數(shù)關(guān)系,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)處處連續(xù),P(X=a)=0,P(a X b)= P(aXb)=P(a X b)=P(aXb),X取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上的定積分,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的性質(zhì),因此，連續(xù)型隨機變量取任意指定實數(shù)值a的概率為0,故 X的密度 f (x) 在 x 這一點的值，恰好 是X 落在區(qū)

11、間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì) 量，f (x) 相當(dāng)于線密度,概率密度的意義,要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a 的高度，并不反映 X 取值的概率.但是，這個高度越大，則 X 取 a 附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度,若不計高階無窮小，有,它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于,在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與,在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似,分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義,根據(jù)定義,可以得到密度函數(shù)的如下性質(zhì),常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù).,連續(xù)型,密度函數(shù)

12、X f(x) ( 不唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,離散型,分布律: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 點點計較,5. F(x)為階梯函數(shù)。,5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,例1一個靶子是半徑為 2m 的圓盤, 設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比, 并設(shè)射擊都能中靶, 以X 表示彈著點與圓心的距離. 試求隨機變量X 的分布函數(shù).,由,X,若 , 則 是必然事件,故 X 的分布函數(shù)為,其圖形為一連續(xù)曲線,故， X

13、 的概率函數(shù)為,(2)由 得,(3),故有,即,所以,(3) 由 得,設(shè)X與Y同分布，X的密度為,已知事件 A = X a 和 B = Y a 獨立，,解: 因為 P(A) = P(B),P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B),從中解得,且 P(AB)=3/4,求常數(shù) a .,且由A、B 獨立，得,= 2P(A) P(A)2 = 3/4,從中解得: P(A)=1/2,由此得 0a 2 ,因此 1/2 = P(A) = P( X a ),練習(xí),1.如果隨機變量X的密度函數(shù)為,從密度函數(shù)的意義可知,三、幾種常見的連續(xù)型分布,均勻分布的分布函數(shù)為,X,X,a,b,x,l,l,0,即,在區(qū)

14、間（a , b） 上服從均勻分布的 隨機變量 X ，落在區(qū)間（a , b）中任意 等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的,說 明,還可以將密度 寫成,2. 采用 的示性函數(shù),上的均勻分布,1. 類似地，我們可以定義區(qū)間,例4,某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一,班車,即7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等時刻有汽車到達,此站,如果乘客到達此站時間,是7:00到7:30之,間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的,概率.,解,以7:00為起點 0,以分為單位,依題意,解,以 7:00 為起點 0,以分為單位,依題意,為使候車時間少于 5 分鐘,乘客必須在 7:10 到,7:15

15、之間,或在 7:25 到 7:30 之間到達車站,故所,求概率為,即乘客候車時間少于5分鐘的概率是 1/3.,例5 設(shè)隨機變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn) 對 X 進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值 大于3 的概率.,X 的分布密度函數(shù)為, X 3 表示“對 X 的觀測值大于 3 的概率”,解,因而有,設(shè)Y 表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則,思考,設(shè)在-1，5上服從均勻分布，求方程,有實根的概率。,解 方程有實數(shù)根,即,而 的密度函數(shù)為,所求概率為,均勻分布的背景材料,均勻分布在隨機模擬 ( Monte Carlo 方法) 理論中有重要的應(yīng)用。,假設(shè)連續(xù)隨機變量 X

16、有分布函數(shù) F (x) ， 則隨機變量 F (X) U (0,1) ； 反之，如果隨機變量 u U (0,1) ， 則隨機變量 F 1(u) 的分布函數(shù)就是 F (x) 。,(0,1) 區(qū)間上的均勻分布 U (0,1) 在概率論的理論研究中具有特殊的意義。,2.如果隨機變量 X的密度函數(shù)為,則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,的幾何圖形如圖.,注：,指數(shù)分布常用來描述對某,一事件發(fā)生的等待時間.例如，,乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等， 因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應(yīng)用.,指數(shù)分布的重要作用,是常用它來作為各種“壽命”的近似,如通訊、保險、隨機服務(wù)系統(tǒng)等方面,指數(shù)分布在排隊論和可靠

17、性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常用它來作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,機器的維修時間, 生物體的壽命,隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都可認為是近似服從指數(shù)分布.,指數(shù)分布的一個重要性質(zhì)就是“無后效性”或“無記憶性”.具體敘述如下：,證,假如把服從指數(shù)分布的隨機變量解釋為等待時間,則上式表明,在在等待時間已經(jīng)超過s小時的條件下,至少需要再等待時間t 的統(tǒng)計規(guī)律與已經(jīng)等待了多長時間無關(guān)，就像重新開始等待一樣，所以統(tǒng)計學(xué)中常稱指數(shù)分布為“永遠年青”的分布. . 值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有“無記憶性”的連續(xù)型分布.,對任意的正數(shù) s 0 ，t 0 ，都有 P X s +

18、t | X s = P X t ,比較，幾何分布的 “無記憶性” ： P X = k = P X = m + k | X m ,所有離散分布里只有幾何分布具有 “無記憶性” 所有連續(xù)分布里只有指數(shù)分布才具有“無記憶性” 它們實際上都是某種 “等待分布” 。,補充 指數(shù)分布的“無記憶性”,例6,已知其參數(shù),求 3 個這樣的元件使用 1000 小時,至,少已有一個損壞的概率.,解,由題設(shè)知,的分布函數(shù)為,由此得到,各元件的壽命是否超過 1000 小時是獨立的,用,表示三個元件中使用 1000 小時損壞的元件數(shù),例6,已知其參數(shù),求 3 個這樣的元件使用 1000 小時,至,少已有一個損壞的概率.,

19、解,各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用,表示三個元件中使用 1000 小時損壞的元件數(shù),所求概率為,則,例7,電話亭時乙人恰好剛剛拿起話筒通話，試求：,(1) 甲人等待時間超過10分鐘的概率； (2) 甲人等待時間在10到20分鐘之間的概率； (3) 甲等待5分鐘以后至少再等待10分鐘的概率,解,由題意可知，甲人等待的時間與乙人通話的時間是一致的，所以實際上本題分別求的是乙人通話時間超過10分鐘的概率以及乙人通話時間在10到20分鐘之間的概率,由 知X的分布密度為,(1)“甲人等待時間超過10分鐘”的概率為,(2)“甲人等待時間在10到20分鐘之間”的概率為,(3)“甲等待5分鐘以后

20、至少再等待10分鐘”的概率為,可見，(1)與(3)結(jié)果相同，這恰與指數(shù)分布的“無記憶性”相吻合.,例8 設(shè)時間 內(nèi)有 粒子放射出來,設(shè)X 為第一個粒子發(fā)射出來的時刻，則,對任何 有,即X 的概率密度為,3. Gamma 分布,設(shè) 是正常數(shù), 由積分,定義. 如果 X 的密度是,則稱X服從參數(shù) 的Gamma分布,記作,這正是參數(shù)為 的指數(shù)分布,說 明,1、當(dāng) 時， 即,此時,我們稱此分布為自由度為 n 的 分布，記作 . 它是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中重要的分布之一,2、如果 ， ，其中 n 為 自然數(shù)，則有,作業(yè),P63 練習(xí)2.4 1 2 4,2.5 正態(tài)分布,一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點,二、標(biāo)準正態(tài)

21、分布,三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準正態(tài)分布的關(guān)系,正態(tài)分布是概率分布中最重要的一種分布，這有實踐與理論兩方面的原因。實踐方面的原因是，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，例如測量的誤差、炮彈的落點、人的身高與體重、農(nóng)作物的收獲量、波浪的高度等等都近似服從正態(tài)分布。一般來說，如果影響某一隨機變量的因素很多，而每一個因素都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的，則這個隨機變量服從正態(tài)分布，這點可用第5章的中心極限定理來加以證明。從理論方面來說，正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，如正態(tài)分布可以導(dǎo)出一些其它分布，而某些分布（如二項分布、泊松分布等）在一定的條件下可用正態(tài)分布來近似。,若連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度函

22、數(shù)為,則稱 X 服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布，,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.,十九世紀前葉,高斯加以推廣得到正態(tài)分布，,德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.,定義 (P64),記為 XN( , 2 ).,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.,其中 - 0 為常數(shù)，,一 正態(tài)分布,所以通常稱為高斯分布.,由于連續(xù)型隨機變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點.,在各種分布中具首要地位,正態(tài)分布密度的性質(zhì),(1) 在 x = 處取到最大值,故 f (x) 以為對稱軸，,令 x=+c, x=-c (c0), 分別代入f (

23、x), 可得,且 f (+c)=f (-c),f (+c) f (), f (-c)f (),x =為 f (x) 的兩個拐點的橫坐標(biāo).,(2) 正態(tài)分布的密度曲線位于 x 軸的上方,且關(guān)于 x = 對稱，,對密度函數(shù)求導(dǎo)：,= 0 ，,(3) 密度曲線 y = f (x) 有拐點,即曲線 y = f (x) 向左右伸展時,越來越貼近 x 軸.,當(dāng) x 時，f (x) 0+, 決定了圖形中峰的陡峭程度,若固定 ，改變 的值，,反之亦然，,則密度曲線左右整體平移.,(4) f (x) 以 x 軸為水平漸近線;,正態(tài)分布 N( , 2 )的密度函數(shù)圖形的特點:,兩頭低,中間高,左右對稱的 “峰”

24、狀,若固定 ，改變 的值，, 決定了圖形的中心位置, 決定圖形的中心位置;,大量的隨機變量都服從或者近似服從正態(tài)分布.,但每個因素所起的作用不大.,經(jīng)濟學(xué)中的股票價格、產(chǎn)品的銷量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.,正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強度；,射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差，測量誤差，,如某地的年降雨量,某地區(qū)成年男子的身高、體重，,農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；,生物學(xué)中同一群體的形態(tài)指標(biāo)，,電子元器件的信號噪聲、電壓、電流；,有很多分布還可以用正態(tài)分布近似.,而正態(tài)分布自身還有很多良好的性質(zhì).,若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多，,每一因素獨立，,服從正態(tài)分布,在自然現(xiàn)

25、象和社會現(xiàn)象中,若隨機變量 X N( , 2 )， 則,正態(tài)分布的分布函數(shù),X 的分布函數(shù),下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布 標(biāo)準正態(tài)分布, = 0 , = 1 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 (x) 和 (x)表示：,可查表得其值,標(biāo)準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準正態(tài)分布.,求 P(X 2. 5)及,Y N(0, 1),設(shè) XN ( , 2 )，,P(-1.64 X 0.82).,解,P(X 2. 5)= 1-(2. 5),P(X 0. 5)= F(0. 5),查表得,= 0. 6915 ;,= 1 - 0. 9938 =

26、0. 0062 ;,P(-1.64 X 0.82) = (0. 82)- (-1. 64),= (0. 82)-1- (1. 64),= 0. 7434 ;,=,即若 X N( , 2 ),=,只需將標(biāo)準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決正態(tài)分布的概率計算問題.,例1,設(shè) XN(0 , 1 )，,X 的概率密度為,其中 和 2 都是常數(shù), 任意, 0,整個概率密度曲線都在 x 軸的上方 以為對稱軸 在 x=處達到最大值 f ( x)以 x 軸為漸近線 x=為f ( x) 的兩個拐點的橫坐標(biāo),正態(tài)分布通過線性變換可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準正態(tài)分布,最重要的正態(tài)分布標(biāo)準正態(tài)分布X N(0,1),正態(tài)分布,X

27、N( , 2 ),并求該地區(qū)明年 8 月份降雨量超過250mm的概率.,例2 某地區(qū)8月份降雨量 X 服從 =185mm , = 28mm 的正態(tài)分布，, XN (185 , 282)，,寫出 X 的概率密度，,解,所求概率為,P(X 250) = 1- P(X 250),= 1-(2. 32),= 1- 0. 9898 = 0. 0102 .,再看幾個應(yīng)用正態(tài)分布的例子,我們已經(jīng)看到，當(dāng) n 很大，p 接近 0 或 1 時，二項分布近似泊松分布;,可以證明，如果 n 很大，而 p 不接近于 0 或 1 時，,二項分布近似于正態(tài)分布.,例3 公共汽車車門高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在 0.0

28、1以下來設(shè)計的.,問門高度應(yīng)如何確定?,解 設(shè)車門高度為 h cm,按設(shè)計要求應(yīng)有 P(Xh)0.01,或 P(Xh) 0.99，,下面求滿足上式的最小 h：,若男子身高 XN(170, 62), XN(170,62),查表得 (2. 33) = 0. 9901 0. 99 ，, h=170+13.98, 184 .,設(shè)計車門高度為184mm時，可使男子與車門頂碰頭機會不超過0.01.,若 XN( , 2 )時，要求滿足 P(X x0)= p 的 x0 ：,P(X x0)= p ,如果某考生得48分, 求有多少考生名列該考生之前?,已知1987年全國普通高校統(tǒng)考物理成績 XN(42,36),這

29、表明有16% 的考生成績超過48分，,例4 (確定超前百分位數(shù)、排定名次),解,由條件知即求 P(X 48)，,查表可知,即 84% 的考生名列該考生之后.,= 1 - (1),即成績高于甲的人數(shù)應(yīng)占考生 的16.9%,對于錄取考試人們最關(guān)心的是 自己能否達到錄取分數(shù)線？ 自己的名次？,某公司招工300名(正式工280,臨時工20名),例5(預(yù)測錄取分數(shù)和考生名次),解,166, X N(166,932)，,(1)(預(yù)測分數(shù)線),考生甲得256分,問他能否被錄用？如錄用能否被錄為正式工？,考后由媒體得知：考試總平均成績?yōu)?66分, 360分以上的高分考生有31人.,有1657人參加考試,考試滿

30、分為400分.,高于此線的 考生頻率為 300 / 1657, 高于360分的考生頻率為,(2)(預(yù)測甲的名次),當(dāng) X=256 時, P(X256),這表明高于256分的頻率應(yīng)為0.169,排在甲前應(yīng)有,甲大約排在283名.,故甲能被錄取,但成為正式工的可能性不大., P(X360),設(shè)考生成績?yōu)閄,最低分數(shù)線為 x0,類似計算可得，,= 0. 9974,例6,解,求 P(|X-| k ) k=1,2,3 .,P(|X-| 3 ) = P( - 3 X + 3 ),這表明 X 的取值幾乎全部集中在區(qū)間 - 3 , +3內(nèi)，,這在統(tǒng)計學(xué)上稱作 3 準則(三倍標(biāo)準差原則).,超出這個范圍的可能性

31、不到 0. 3 % ，,從而可以忽略不計.,為應(yīng)用方便，下面引入標(biāo)準正態(tài)分布分位數(shù)的概念：,設(shè) XN( , 2 )，,由三 原則,可認為 X 落在(-3, 3)內(nèi),-3 3,若某校有200名初一學(xué)生,按能力分成 5 組參加某項測驗,求各組分別應(yīng)有多少人?,例7(按能力分組),學(xué)生學(xué)習(xí)能力一般服從正態(tài)分布,解,設(shè)學(xué)習(xí)能力X N (0,1),由三 原則,則每組應(yīng)占 6/5 的范圍,查表可知,由對稱性可知 A 組和E 組應(yīng)有2000.034587 (人), B 組和D 組應(yīng)有2000.2383747 (人), C 組應(yīng)有200-472-72 = 92 (人).,現(xiàn)分成組距相同的五組 A,B,C,D,

32、E(如圖),-1.8 -0.6 0.6 1.8,為應(yīng)用方便，更一般地可以建立標(biāo)準正態(tài)分布分位數(shù)的概念：,則稱 滿足等式 P(X u ) = 的數(shù) u 為標(biāo)準正態(tài)分布的上側(cè) 分位數(shù)；,定義,設(shè) XN(0 , 1 )，,0 1 ,P(X u )= 1- P(Xu ),稱滿足等式 P(|X|u/2 ) = 的數(shù) u/2 為標(biāo)準正態(tài)分布的雙側(cè) 分位數(shù)；,u,-u/2,u/2,= ，,= 1-(u ), (u )= 1- ，,可查表得值,類似可得 (u/2 )= 1- /2 ，,若 XN( , 2 )時，要求滿足 P(X x0 )= 的 x0 ：,(u )= 1- u,例8 已知某機器生產(chǎn)的螺栓長度XN

33、(10.05,0.0036)。若規(guī)定螺栓長度在10.050.12內(nèi)為合格品, 試求螺栓為合格品的概率。,解: 由于螺栓長度XN(10.05,0.0036), 因此,即螺栓為合格品的概率為95.44%。,已知 X N(3, 22), 且 PXk = PXk, 則 k = ( ).,3,練習(xí)(1),設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則( ) 對任意的 ，都有 p1 = p2 對任意的 ，都有 p1 p2,練習(xí)(2),作業(yè),P68 練習(xí)2.5 2 3 4,2.6 隨機變量函數(shù)及其分布,一、隨機變量函數(shù)的定義,二、離散型隨機變量函數(shù)的分布,

34、三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,已知圓軸截面直徑 d 的分布，,求截面面積 A= 的分布.,再如,求功率 W=V 2/ R (R為電阻）的分布等.,已知t =t 0 時刻噪聲電壓V 的分布,在實際中，人們常常對隨機變量 X 的函數(shù)Y= g (X)所表示的隨機變量 Y 更感興趣,設(shè)隨機變量X 的分布已知,又Y= g (X) (設(shè)g是連續(xù)函數(shù)),無論在實踐中還是 在理論上都是重要的,如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,通過實例找方法,例1,( X 取某值與 Y 取其對應(yīng)值是相同的事件,兩者的概率應(yīng)相同 ),一、離散型隨機變量函數(shù)的分布,解,則 Y=g( X )的分布列為,X 取值分別為 -2, -

35、1, 0, 1, 2 時, Y=2X+1 對應(yīng)值為-3, -1, 1, 3, 5.,求Y=2X+1,Y=X 2 的分布列.,X Y=X 2 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4,-2, 2 4 -1, 1 1 0 0,一般地，離散型隨機變量 X 的分布列為,將它們對應(yīng)的概率相加后和并成一項即可,若g(xk)中有相等值,(報童問題) 假定報童有 5 份報紙，賣出的數(shù)量 X 分布律如下,k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1,他每賣掉一份報紙將獲得報酬 1 元，沒有賣出 而剩下的每份賠償 0.5 元。計算最終所得的分布。,解. 以 Y 記報童最終的所

36、得，因此有 Y = 1X 0.5( 5 X) = 1.5 X 2.5,k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1,X 的分布律,k 2.5 1 0.5 2 3.5 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1,Y = 1.5 X 2.5 的分布律,則 FY ( y ) = P(Y y),解 設(shè)Y 的分布函數(shù)為 FY ( y )，,例2,設(shè) X 具有概率密度,求 Y = -2X + 8 的概率密度.,于是Y 的概率密度為,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,注意到 0 x 4 時，,即 0 y 8 時，,此時,= P(-2X+8 y),設(shè) X 具有概率

37、密度,求導(dǎo)可得,當(dāng) y 0 時,注意到 Y = X 2 0，故當(dāng) y 0時，F(xiàn)Y ( y) = 0;,解 設(shè)Y 和X 的分布函數(shù)分別為FY ( y) 和 FX (x)，,例3,則 Y=X 2 的概率密度為,Y 服從自由度為 1 的 分布,求Y=X 2 的概率密度.,從上述兩例中可看到，在求P Y y 的過程中, 關(guān)鍵是第一步中: 設(shè)法從 g(X) y 中解出X, 從而得到與 g(X) y 等價的關(guān)于 X 的不等式 .,用 代替 X 2 y ,即利用已知的 X 的分布,求出 X 的函數(shù)的分布,用 代替 -2 X + 8 y ,求連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布的常用方法,如例2中,如例3中,定理,則

38、Y = g(X) 是一個連續(xù)型隨機變量,其概率密度為,又 y = g(x) 處處可導(dǎo),且有g(shù) (x)0 (或恒有g(shù) (x)0),類似可證 g (x)0 時,定理的證明與前面的解題思路完全類似.,設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 具有概率密度 fX(x),定理,下面求Y 的分布函數(shù)FY(y):,證,由于,g 保號,h( y)是g(x) 的反函數(shù),綜合以上即有結(jié)論成立.,a b a b,試證 X 的線性函數(shù) Y=aX+b (a 0) 也服從正態(tài)分布.,證 X 的概率密度為,例4 設(shè)隨機變量 XN(, 2 ),顯然 y = g(x) = a x+b可導(dǎo)且g =a 保號,Y=aX+b 的概率密度為,由定理知, Y

39、 = aX + b (a + b , (|a| )2 ),即,注 取 , 驗證函數(shù)可導(dǎo)且單調(diào), 求反函數(shù)及其導(dǎo)數(shù), 代入定理公式即得函數(shù)的密度,注意取絕對值,有 , 確定y的取值范圍,求 Y = 1- e X 的概率密度.,解,例5 設(shè) X 的概率密度為,顯然 y = g(x) = 1- e x 可導(dǎo), 且g = - e x 保號,Y = 1- e X 的概率密度為,由定理知,即,注意取絕對值,先轉(zhuǎn)化為分布函數(shù), 再求導(dǎo),已知 X 的概率密度為,求Y = sinX 的概率密度.,例6,利用分布函數(shù)求概率密度：,函數(shù) y = g(x) = sinx 在0,上為非單調(diào)函數(shù)，,解,故不能用定理求.,x0, 時,y 0 時,0y1時,= P(0 X arcsin y)( -arcsin y X ),y 1時,= P(0 X arcsin y) + P( -arcsin y X ),= 1.,分布函數(shù)法,不必計算積分,作業(yè),P71練習(xí)2.6 1 2,P72習(xí)題二,